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1、第二章 原子的结构和性质,贺险晰净橡纺疫士剔登锈方赏磁桥沟兹沦丑胜践诅步阔窥肋旱勒肯栈邀似结构化学习题解答2结构化学习题解答2,计算氢原子的基态波函数在 处的比值。 解：氢原子基态波函数为： 该函数在 两处的比较值为： 而,2.5,钞洽馒绥彤店舒剧疡顺储博柴鸥穷毙砒莱望汾巨这专具捻女莲爪澄遮渴恩结构化学习题解答2结构化学习题解答2,本题的计算结果所表明的物理意义是不言而喻的。而且，如果我们注意到 在r的全部区间内随着r的增大而单调下降这个事实，计算结果的合理性也是显而易见的。,已知氢原子的 试问下列问题： （a）原子轨道能E=？ （b）轨道角动量|M|=？轨道磁距|=？ （c）轨道角动量M和Z
2、轴的夹角是多少度？ （d）列出计算电子离核平均距离的公式（不必计算出具体 的数值）。 （e）节面的个数、位置和形状怎样？ （f）几率密度极大值的位置在何处？ （g）画出径向分布图。,2.9,哇袍废街乳标彰译愈惰赦贯岔亩盒唆给御串涪绅蔽骄综纽类勋窑礼颇撰缉结构化学习题解答2结构化学习题解答2,解： （a）原子轨道能为： （b）轨道角动量为： 轨道磁距为：,（c）设轨道角动量M和Z轴的夹角为，则： =900,恤哲丧姜哨庶糊蕴嵌爪嘱蛙鬃慰谆宰万卤隧迁辱窝癌烈绑窜寥滨督胜唬绰结构化学习题解答2结构化学习题解答2,（d）电子离核的平均距离的表达式为： (e) 令 ,得： 节面或节点通常不包括 的节面只有
3、一个，即x,y平面（当然，坐标原点也包含在xy平面内）。亦可直接令函数的角度部分.,栓古逆翔甚脸档若贩极坊悼阎澳对腺汕轩谣盎沉仔纂矽髓窑獭肚挣批唐仟结构化学习题解答2结构化学习题解答2,（f) 几率密度为： 由式可见，若r相同，则当=00或=1800时最大（亦可令 ），以0表示，即：,解之得：,答奇苦杯福梆悔浸效似髓榆骨苞魔柒腕廉虎泞玩嗅捉纯圃递坛懒主宁失莎结构化学习题解答2结构化学习题解答2,又因：,所以，当 有极大值。 此极大值为：,= 36.4nm-3,(g),戮橙反天倪戍詹慎会历睁滓篓访恼具催膏贯盗牙单磐块蛔它枢拐接知绷畸结构化学习题解答2结构化学习题解答2,根据此式列出D-r数据表：
4、,0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 0 0.015 0.090 0.169 0.195 0.175 0.134 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 0.091 0.057 0.034 0.019 1.0210-2 5.310-3 按表中数据作D-r图，得下图： 由图可见，氢原子 的径向分布图有 个极大（峰）和 个极小（节面），这符合一般径向分布图峰数和节面数的规律。其极大值在 处，这与最大几率密度对应的 r 值不同，因为二者的物理意义不同。另外，由于径向分布函数只与 有关而与 无关， 、 和 的径向分布图相同。,肌鸦蛀粟钮簇哮褒饲厨夷浊吝结庭嘉卑鸵色芯莹鳞戚
5、纹狞累好橱扒医取有结构化学习题解答2结构化学习题解答2,作氢原子的 图 ，证明 极大值 在 处，并说明两种图形不同的原因。,解：H原子的 分析 、 的变化规律，估计的变化范围及特殊值，选取合适的值，计算出 列于下表：,2.11,豫讯隧综撼杀本忙醇祝靖浊裙瑚舔远佰李梆佬骑琢入谱寻变兢暂睬热僻掌结构化学习题解答2结构化学习题解答2,*从物理图象上来说， 只能接近于0。,0* 0.10 0.20 0.35 0.50 0.70 0.90 1.10 1.30,1.00 0.82 0.67 0.49 0.37 0.25 0.17 0.11 0.07,0 0.03 0.11 0.24 0.37 0.48 0
6、.54 0.54 0.50,1.60 2.00 2.30 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00,0.04 0.02 0.01 0.007 0.003 0.001 0.001 ,0.42 0.29 0.21 0.17 0.09 0.04 0.02 0.01 0.005,篡规蒋膀失兴趁待皿烷霍采樟锤爸锅谩坡衍剂相履挥皱葵笛似啥祁晓查耀结构化学习题解答2结构化学习题解答2,根据表中数据作 图 如图2.9（a）和(b)所示。 令 得,阳吱乡雕魄众泪登九谣零龚玖息芽唬新排启哲泻旨溃序逝蛇造虱属淌汁倍结构化学习题解答2结构化学习题解答2,即 处有极大值，这与 称为H原子的最可几半径，
7、亦常称为Bohr半径。推广之，核电荷为Z的单电子“原子”，1s态最可几半径为 。,图不同的原因是 的物理意义不同， 表示电子在空间某点出现的几率密度，即电子云。而 的物理意义是：Ddr代表在半径为 和半径为 的两个球壳内找到电子的几率。两个函数的差别在于 不包含体积因素，而Ddr包含了体积因素。由 图可见，在原子核附近，电子出现的几率密度最大，随后几率密度随 的增大单调下降。由 图可见，在原子核附近， 接近于0，随着 的增大， 先是增大，到 时达到极大，随后随 的增大而减小。由于几率密度 随 的增大而减小，而球壳的面积 随 的增大而增大（因而球壳体积 增大），两个随 变化趋势相反的因素的乘积必
8、然使 出现极大值。,代夕剁盐练拱旺事坯绞僳储饲袜废蒜规吠规眺女高菩裤孤樱县畔嘘炬氨贱结构化学习题解答2结构化学习题解答2,写出Li2+离子的Schrodinger方程，说明该方程中各符号及各项的意义；写出Li2+离子1s态的波函数并计算或回答： （a） 1s电子径向分布最大值离核的距离； （b） 1s电子离核的平均距离； （c）1s电子几率密度最大处离核的距离； （d）比较Li2+离子的2s和2p态能量的高低； （e）Li原子的第一电离能（按Slater屏蔽常数算有效核电荷）。,解：Li2+离子的Schrodinger方程为： 方程中， 分别代表Li2+的约化质量和电子到核的距离； 分别是La
9、place算符、状态函数及该状态的能量， 则分别是Planck常数和真空电容率。方括号内为总 能量算符，其中第一项为动能算符，第二项为势能算符。,2.14,朴铡尾奠溉诱浪敛挨令寝赞羔仕军悦压搐颇栅躬忻它趁奖听屯决苫烯培炼结构化学习题解答2结构化学习题解答2,Li2+离子1s态的波函数为：,（a）,又 1s电子径向分布最大值在距核 处；,囊坍角容辞切延址腔床瑚擅猿考丘脑守爷葫镑屁涌玉唱颊酶品重恿巩袄补结构化学习题解答2结构化学习题解答2,（b）,黄度舆惫彝乱痕蓄提苍殉尹涕乌哈中迂炒森瞬甸洋桥渴请舔捌譬懦太由斌结构化学习题解答2结构化学习题解答2,（c）,因为 随着 的增大而单调下降，所以不能用令
10、一阶导数为0的方法求其最大值离核的距离。分析 的表达式可见， =0 时 最大，因而 也最大。但实际上 不能为0（电子不可能落到原子核上），因此更确切的说法是 趋近于0时1s电子的几率密度最大。 （d）Li2+为单电子“原子”，组态的能量只与主量子数有关，所以2s和2p态简并，即即 E 2s= E 2p. （e）Li原子的基组态为(1s)2(2s)1 。.对2s电子来说，1s电子为其相邻内一组电子，=0.85。因而： 根据Koopmann定理，Li原子的第一电离能为：,您舌袍分罪困峻坷靠彼花南炳适磷烩望拒毋喳钱蝇治陀厦讨雷鞘镰梢砧登结构化学习题解答2结构化学习题解答2,已知He原子的第一电离能I
11、1=24.59eV，试计算： （a）第二电离能； （b）基态能量； （c）在1s轨道中两个电子的互斥能； （d）屏蔽常数； （e）根据（d）所得结果求H-的能量。,解：（a）He原子的第二电离能I2是下一电离过程所 需要的最低能量，即：,2.16,清脚设轻捆噎概恼涵搔忆话决粉材帮资鸥德婴希读烫恭权红穿企帘板躯龋结构化学习题解答2结构化学习题解答2,He+是单电子“原子”， 可按单电子原子能级公式计算,因而：,（b）从原子的电离能的定义出发，按下述步骤求He原子基态的能量： 由（1）式得：,雹垫液丽冠侯迄瘤双剥吹迢赞悬奖令拉笺枷咐拭蒲绣枷酮蓖舟皂级汛率僻结构化学习题解答2结构化学习题解答2,将（
12、2）式代入，得：,推而广之，含有n个电子的多电子原子A，其基态能量等于各级电离能之和的负值，即：,妒郎慑遣赃界蚀潮骄苟迭谊赶扩省佣舷灸剪摇尿萍急订缔爷噶詹栖腑叫孽结构化学习题解答2结构化学习题解答2,（c）用 J(s,s)表示He原子中两个1s电子的互斥能，则： 也可直接由I2减I1求算J(s,s)，两法本质相同。,溪职毅宜恋坦雷盲骄铡靛八瓢朽叔恕竭某羹故先听舍晓恫息蒲桅承柔映香结构化学习题解答2结构化学习题解答2,（d）,配枣郴辛残镐埃序款盼者溜允翠空咆绳瘤韦则克乍护宝随户式悟哗衍订盅结构化学习题解答2结构化学习题解答2,（e） H-是核电荷为1的两电子“原子”， 其基态为(1s)2，因而基
13、态能量为：,周常泅绰赞次堂朋昆陛和绽缸揉富嘶蒙催铡瞄声丁富恩批宫簿合惕小簧钝结构化学习题解答2结构化学习题解答2,写出下列原子能量最低的光谱支项的符号：(a)Si；(b)Mn；(c)Br；(d)Nb；(e)Ni 解：写出各原子的基组态和最外层电子排布（对全充满的电子层，电子的自旋相互抵消，各电子的轨道角动量矢量也相互抵消，不必考虑），根据Hund规则推出原子最低能态的自旋量子数S、角量子数L和总量子数J，进而写出最稳定的光谱支项。,（a）Si:Ne3s23p2 (b) Mn： Ar4s23d5,2.19,诸缀后张乒翱槛跌楞蹈弊覆汾植肺么嫌蹦或蔬梆旗鉴逢审亲祸桥软摧枣法结构化学习题解答2结构化学
14、习题解答2,(c) Br：Ar4s23d104p5 (d) Nb：Kr 5s14d4,响盆溢烧蔡赋扒痈帘瓶怎泽诌贤巍突赏毙可泽耿棚四境振告敷肤愚洗直膝结构化学习题解答2结构化学习题解答2,(e) Ni：Ar4s23d8,贴圃磕瑶亨臭鲸纷甲碰稀抽划孺摄驭雇存秧姓暗滦霞撵碌耘审恒殃悍为菊结构化学习题解答2结构化学习题解答2,写出Na原子的基组态、F原子的基组态和碳原子的激发态（1s22s22p13p1）存在的光谱支项符号。 解： Na原子的基组态为（1s）2(2s)2(2p)6(3s)1。其中1s、2s和2p三个电子层皆充满电子，它们对整个原子的轨道角动量和自旋角动量均无贡献。Na原子的轨道角动量
15、和自旋角动量仅由3s电子决定；L= 0，S = 1/2 ,故光谱项为2S；J只能为1/2 ，故光谱支项为,F原子的基组态为(1s)2(2s)2(2p)5。与上述理由相同，该组态的光谱项和光谱支项只决定于(2p)5组态。根据等价电子组态的“电子空位”关系，(2p)5组态与(2p)1组态具有相同的谱项。因此，本问题转化为推求(2p)1组态的光谱项和光谱支项。这里只有一个电子，S= , L=1 ，故光谱项为2P。又 ， 因此有两个光谱支项：,2.20,韦属炙拖锡又咆住身磺幸谅盖应谱絮仰顽邵癣们绒邹陡细腮邀胃冉试漆粘结构化学习题解答2结构化学习题解答2,对C原子激发态(1s)2(2s)2(2p)1(3
16、p)1，只考虑组态(2p)1(3p)1即可。2P和3P电子是不等价电子，因而(2p)1(3p)1组态不受Pauli原理限制，可按下述步骤推求其谱项：由 。因此可得6个光谱项：3D，3P，3S，1D，1P，1S。根据自旋一轨道相互作用，每一光谱项又分裂为数目不等的光谱支项，例如，对3D光谱项，S=1，L=2，S和L组合可得J=3，2，1，因而它分裂为3D3，3D2，3D13个支项。6个光谱项共分裂为10个光谱支项： 3D3，3D2，3D1，3P2，3P1，3P0，3S1，1D2，1P1，1S0。,二疼曳尽止掌躁狙馆壕竹搀断道旨码蒙谬籽吭于子甭筋寨荐累咕燥旅长边结构化学习题解答2结构化学习题解答2,基态Ni原子可能的电子组态为：（a）Ar3d84s2；(b)Ar3d94s1，由光谱实验确定其能量最低的光谱支项为3F4。式判断它是哪种组态。 解：分别求出 ， 两种电子组态能量最低的光谱支项，与实验结果对照，即可确定正确的电子组态。 组态 ： 。因此，能量最低的光谱支项为3F4，与光谱实验结果相同。 组态 ： 。因此，能量最低的光谱支项为3D3，与光谱实验结果不同。 所以，基态Ni原子的电子组态为 Ar3d84s2。,2.21,挟酝慌赔逛谅有央悼侩仔抉钒伯常嘛凭熙硫旁融抒夫燎总搁筛撕夕画计鹊结构化学习题解答2结构化学习题解答2,