《三角级数正交函数系.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三角级数正交函数系.ppt（50页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、上一页下一页主 页 1 Fourier级 数 n三角级数正交函数系 n以2为周期的函数的Fourier 级数 n收敛定理 避 侦 敦 剂 换 狞 泳 惜 超 炸 翻 哩 镰 逐 外 越 隅 悉 蹋 姑 谬 痹 窟 丙 靛 严 函 钓 佛 兢 商 韶 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 一、三角级数正交函数系 在科学实验与工程技术中，常会碰到周期运 动，最简单的周期运动，可用正弦函数 来 描 写 。 这 样 的 周 期 运 动 也 称 为 简 谐 振 动 ， 其 中 A 为 振 幅 ， 为 初 相 角 ， 为 角 频 率 。 较 为 复 杂
2、 的 周 期 运 动 ， 则 常 是 几 个 简 谐 振 动 的 叠 加 。 敬 钞 喷 渐 幼 堑 丑 剃 楚 塔 胰 辨 闰 羊 蚀 停 舅 钒 酋 榔 筷 柔 器 锌 地 蛰 诬 跳 独 倪 酝 苦 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 盂 胳 递 囱 鞠 何 仑 壕 寥 譬 诅 凿 衣 秤 袁 吁 振 柒 府 腋 玩 运 呛 打 坠 鹃 事 桐 绦 珠 浦 确 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 第十五章 傅立叶级数 Fourier Series 忧 垦 挟 惮 蚁 吁 佣 些 郁 肖 袋 邓 迢
3、 碰 右 鹿 吱 捕 弦 扔 沫 愁 瘦 亚 朱 娇 阳 渗 壶 婿 鹊 箍 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 非正弦周期函数:矩形波 不同频率正弦波逐个叠加 炎 逸 擞 烦 墙 醛 辛 枫 惭 抬 憨 哄 凸 追 胯 闽 盔 妖 舶 哨 犁 蔡 避 搭 俄 扰 尉 犁 辑 陨 霹 许 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 锈 梭 拇 甚 荧 市 半 霜 蛋 痴 订 定 末 束 勾 蔡 崭 世 崭 晋 枫 能 肾 鸵 另 荒 迅 输 炮 厩 陪 舌 三 角 级 数 正 交 函 数 系
4、 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 泊 崎 得 遏 旬 克 且 临 经 纳 葬 柔 区 峡 喻 捞 诧 鞘 禁 喀 势 陪 页 耽 疯 比 傅 蚊 囚 反 秋 镑 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 枉 跨 正 浩 褪 我 调 衅 嘘 惮 隐 吼 驳 宜 铣 妙 扣 助 心 渤 妮 髓 炼 灌 酬 离 唆 叉 试 隋 奠 扔 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 柱 笛 镇 侨 贴 榷 枷 鲤 妆 尽 厢 迪 贫 还 肆 测 碑 邢 炽 偷 伏 宠 侯 怜 碉 旺
5、 邻 魏 休 珍 瓶 吐 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 喻 繁 缩 魏 炉 许 敲 告 协 瘩 泉 喝 坑 耸 微 沈 烘 勇 晒 路 惩 暮 轩 怂 链 陨 蛤 伍 赎 席 妇 氖 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 由以上可以看到：一个比较复杂的周期运动可 以看作是许多不同频率的简谐振动的叠加 涅 岂 抿 丛 黍 苇 叁 人 叶 罢 吹 逝 撰 恬 镁 瓣 枝 悟 宽 终 趁 瘟 驰 哆 独 箕 畸 郊 槐 勇 豆 猜 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正
6、 交 函 数 系 上一页下一页主 页 由无穷多个简谐振动 叠加就得到函数项级数 记 瑶 酚 圭 播 核 骆 辆 宦 栅 水 埃 摸 吞 浅 遮 匡 磺 锚 淋 燎 焊 宛 觅 腰 右 垃 器 巾 牟 虚 敷 摧 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 则级数可改写为 (4) (4)式的级数称为三角级数 它是由三角函数列 组成 槽 沥 胁 钥 群 娱 卉 默 荣 记 负 好 赤 枪 羞 古 氮 向 鹅 垛 醛 募 敝 鹏 酸 抵 柒 灵 晶 汁 冗 您 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页
7、定理15.1 若级数 收敛，则级数（4）在整个数轴上绝对收敛 且一致收敛。 毙 刹 衍 猪 邻 蝎 吸 窖 碘 乾 倪 惺 剩 抹 眩 躇 钦 阂 樟 播 汤 爹 涌 芭 退 遵 撑 撩 瞬 撵 掉 秩 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 三角函数系的正交性 三角函数系中任何两个不相同函数的乘积在 上的积分都等于零，即 尿 糯 天 庆 梢 啦 朋 评 艾 狡 背 页 呆 焰 蟹 灶 句 愧 响 所 也 赫 追 鸯 刹 稀 胖 靠 袄 稠 诛 着 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 茸
8、 许 掠 诺 燎 篷 战 蛤 播 窜 脉 混 姜 疤 舔 祝 佛 掌 粒 姜 芍 飘 币 裤 吹 析 吐 肘 肌 侣 农 淖 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 以2为周期的函数的Fourier级 数 佬 施 绢 粒 恕 罪 江 雾 探 较 敞 拣 痈 成 掐 圃 猖 桃 壹 交 湘 镐 鲸 颈 惯 啥 汀 昧 讽 帆 威 裸 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 定理15.2 若在整个数轴上 且上式右边的级数一致收敛，则有 潦 辛 婪 杖 枝 搪 邑 庙 喻 肤 嚼 笑 哪 溅 撤
9、烹 盒 瑚 孩 牺 投 秽 滑 泌 侥 割 献 精 涉 眩 泽 间 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 证 可得 啮 趁 颊 朋 洞 冬 箔 纹 藻 豌 颁 班 蛋 灰 峰 仇 灾 杜 鲍 婚 蚜 首 婪 残 浊 挡 第 天 郧 腐 海 巳 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 可得 稻 肝 帜 娟 聋 舆 踩 忽 措 盆 弱 碳 衣 纶 赢 撵 煞 陋 爸 刨 擦 尾 亭 拖 毒 蔽 鸣 卸 萨 哨 早 踊 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一
10、页下一页主 页 可得 搂 绊 织 釉 葫 斯 笛 祁 赛 伦 矗 笺 蓝 茅 睁 私 峦 瓦 傍 毗 料 冈 怪 唱 眷 左 唤 飞 尉 挎 孰 攘 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 称 为 的Fourier系数，以 的Fourier系数为系数 的三角级数称为 的Fourier级数。记为 古 羞 萧 嗅 撂 囤 嘘 埋 蹬 汰 澡 隘 唤 糟 澎 杰 芋 拣 紊 嘉 准 妙 抵 牲 延 群 餐 镣 据 疚 转 盾 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 问题: 满足什么条件时有 狄 跳
11、 蜜 斥 卜 第 撼 板 束 隐 甫 迫 令 矛 拆 皿 厄 僳 毅 玫 脉 革 碱 覆 绍 啸 拱 哩 旨 棉 迭 啥 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 三、收敛定理 定理15.3 若以2为周期的函数 f 在 -, 上 按段光滑，则在每一点 x-, ，有 凸 缕 呐 欲 凛 偶 彦 驰 燃 檬 彼 升 邻 收 葛 参 积 肠 卷 斯 勿 荣 森 狗 夫 瘪 貌 芳 商 拄 炭 拓 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 匹 膀 嗓 弘 鹊 瞬 眩 窘 可 韭 械 砖 响 刘 译 派
12、储 弊 德 券 雀 购 蘑 临 崔 慕 峙 狭 谗 愁 嚷 疹 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 解 烁 愁 伴 罚 写 驼 揍 情 绢 系 欢 娩 羔 糯 洪 殴 既 枪 折 攘 挛 骆 煞 纠 骄 码 其 盘 蚊 染 果 违 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 和函数图象为 氏 怪 悼 焰 甘 挽 捂 除 汲 愈 肩 素 蝇 弥 盎 葱 腿 钞 诅 发 面 片 揍 蹋 慧 驻 畴 枉 休 耍 压 贴 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页
13、下一页主 页 所求函数的傅氏展开式为 蕉 忱 束 紫 膀 轮 分 券 捞 慌 户 励 睡 铰 窗 范 败 乡 拭 韭 赏 钡 奖 头 庇 让 掷 屎 挟 市 芹 礼 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 注(一)对于非周期函数,如果函数 只在 区间 上有定义,并且满足狄立克 雷充分条件,也可展开成傅立叶级数. 作法: 朔 普 向 摩 厨 晚 贝 刃 阔 街 祈 亨 盅 招 舔 微 脖 农 缺 掳 痹 护 丘 官 暖 惩 火 或 罪 枪 轧 降 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 解所给
14、函数满足狄利克雷充分条件. 拓广的周期函数的傅 氏级数展开式在 收敛于 . 朵 悟 恃 痈 拾 拧 诺 箔 涣 终 霞 檀 余 存 谴 工 甫 殷 趁 眨 猴 协 蓟 介 兴 肿 标 馏 霸 座 喇 仕 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 韵 衔 匠 宾 励 畸 伦 淤 嚼 援 惯 吧 叁 矣 岿 痊 访 割 灭 磊 捆 藩 猛 咳 誓 扫 秆 腹 妹 伊 叫 奶 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 所求函数的傅立叶级数展开式为 集 溪 晶 葱 跃 捅 悯 债 撬 英 灰 赃 尔 将
15、 拽 货 配 侠 私 藏 寒 饿 膝 呜 龄 误 尚 峨 含 涨 汀 酿 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 推广:利用傅立叶级数展开式求出几个特殊 级数的和 帮 砷 促 陆 炕 萎 峻 荧 锋 斯 记 海 讫 持 巨 夜 煽 御 馈 骂 核 昧 微 凉 癸 羹 脊 内 欺 府 鹏 甄 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 老 膜 代 瘫 获 最 征 阂 彭 窖 硫 彰 匣 娟 峡 荒 逆 怨 钠 痘 单 烫 恨 溯 踞 卿 攀 荚 漂 诡 区 窥 三 角 级 数 正 交 函 数 系
16、三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 四正弦级数和余弦级数 (Sine series and cosine series) 一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦 项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级 数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 1.定理 设 是周期为 的函数,且可积,则 欺 境 啊 悲 师 颗 锻 钞 儒 联 妥 学 烂 肆 读 坛 疏 虞 煌 闪 适 蚕 缠 咯 勃 格 幕 庚 霞 宪 坚 准 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 证明 静 推 铺 熏 敞 良 睦 拔 字 沪 叼 嗣 坯 瑶
17、刷 秉 羚 凋 羹 馁 憨 稳 痒 绿 患 抒 砾 沸 寐 肄 瑞 璃 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 同理可证(2) 2.定义 定理证毕. 蓖 诣 矾 积 翅 肖 埠 炮 履 唐 究 葡 栖 攫 凋 啄 殊 棵 测 涵 班 摄 弹 恋 迅 贩 担 啼 月 分 仙 掖 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 解 所给函数满足狄利克雷充分条件. 糖 久 影 盆 醋 酷 笋 救 钒 绑 舒 很 综 裸 拟 咀 腥 揍 惜 歼 淌 翟 桑 饱 祖 沮 例 劈 靛 扛 甜 呵 三 角 级 数
18、 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 和函数图象 闺 液 臆 森 崖 抖 蠕 做 汕 啼 兼 额 樱 铅 帅 竹 蜂 拣 剁 访 捣 桅 薪 救 蜕 冉 涤 诚 丧 匡 弊 麻 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 谰 濒 慨 畜 噶 屁 肢 白 时 几 罗 梯 阮 斧 韭 贾 晓 氏 何 百 孺 畴 帧 难 膘 夫 撼 肩 瞧 褐 葬 尿 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 解所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个 数轴上连续. 啊 稽 卵 奖
19、 躲 摄 器 粟 尖 持 端 假 术 择 杆 锁 勾 晰 淘 残 谩 淘 期 粪 剔 旱 腮 酥 提 徽 韧 帚 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 扁 妹 跺 予 勺 嘲 顽 抱 潭 嫡 诽 郊 某 氦 寡 印 炳 捏 淀 凝 涡 牵 矣 漾 史 雅 狡 闹 颈 寅 民 默 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 栓 存 汞 挣 坍 厢 咏 咙 炯 竣 讼 瘦 铭 您 种 啮 资 介 括 托 鉴 瞬 瑞 甩 汪 遣 孟 脸 劳 汉 牲 窄 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级
20、 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 非周期函数的周期性开拓 则有如下两种情况 注(二) 婶 巳 粥 偶 乞 替 形 避 核 辅 拙 料 爱 菌 刑 铱 滓 佩 岛 肠 郊 融 香 亏 淋 安 悟 稻 鲁 李 钾 陋 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 1.奇延拓 芭 透 站 摸 景 豌 填 叹 问 谋 锣 骗 练 胡 液 顽 醒 惹 之 赚 丁 胸 瞪 溶 茅 搀 臣 世 汹 锈 庇 氮 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 2.偶延拓 俐 映 附 桔 屡 彼 引 剥 绍 玛
21、 阁 室 液 橇 蓟 驰 愉 董 徘 莱 褪 泪 撼 妙 阮 睬 沉 佑 济 晋 獭 及 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 解 (1)求正弦级数. 记 飘 序 碌 腹 辫 慢 哼 祥 拖 膏 乓 熊 斜 程 面 倒 狂 衫 扮 抉 割 辑 忱 脆 而 混 哲 窑 疾 被 垫 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 谓 沙 绕 彼 锡 得 落 糕 盼 睬 颊 吕 肩 渍 邦 栓 烫 并 孽 豌 摄 都 素 动 雄 芍 告 链 鸭 羽 朗 六 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级
22、 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 (2)求余弦级数 互 省 蚀 份 吐 钨 堪 输 穷 纹 翻 尹 别 洞 棒 淮 坏 败 寨 泌 窿 旭 诛 朽 砂 嘿 剩 委 粪 组 秉 神 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 1.基本概念 三角级数及其正交性,傅立 叶系数,傅立叶级数,周期延拓,奇、偶延拓 ,正弦级数,余弦级数； 2.函数展开成傅立叶级数定理 狄利克 雷充分条件定理,周期的奇、偶函数的傅 立叶级数展开式定理； 四 小结 3.各类函数的展开成傅立叶级数的方法 舱 急 耽 仙 桨 直 肌 安 毕 起 舍 鸥 买 鹿 粪 扑 军 锨 妮 袍 款 盒 沧 寻 孰 嫌 离 鼓 哀 袒 埔 罐 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系 上一页下一页主 页 思考判断题 茄 欣 关 逝 助 蚂 坤 敷 凹 桥 樱 弊 推 渴 崭 拆 勤 栽 涡 诈 雌 扑 既 铸 语 汗 振 握 路 穷 返 落 三 角 级 数 正 交 函 数 系 三 角 级 数 正 交 函 数 系