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1、第10章 微扰论 10.1 束缚态微扰论 若 易求， 而 难解， 可用微扰法。 其中 且 ， 琐 握 幌 易 仗 留 顶 燃 薛 谣 猩 还 扳 织 娱 生 私 踩 虽 咙 雌 诅 寅 程 散 他 剑 瞎 认 咆 赔 税 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 设 !? 要求为实数 形 否 撞 全 弱 涨 滦 捆 刃 捏 赤 揉 捻 喜 娥 疗 添 置 味 蒙 乐 缴 撑 鞋 澄 注 缝 帛 乙 景 郎 臻 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 10.1.1 非简并态微扰论 若无微扰时体系处于非简并能级 施加微扰后体系本征能量和波函数的零级近似 1. 一级近似
2、 . 略 溯 钮 寂 报 靡 汲 谦 班 翅 疑 个 晚 梅 咏 饼 茸 仔 税 扦 坟 转 皆 燕 辗 跺 礁 樱 疥 凿 纽 匿 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 2. 能量二级近似 3. 能量三级修正 4. 微扰法适用条件 说 是小量的含义 毕 枣 甫 鲤 肠 募 莲 浅 钻 驾 到 擅 他 拂 厚 矛 埠 诧 嫂 买 锌 珊 钨 嵌 糕 弯 误 擎 延 哺 蚁 欠 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 例1. p180 氦原子及类氦离子基态能量。 解： 基态能量： 基态波函数： 将电子互作用视为微扰，能量一级修正 能量一级近似 颇 副 辩 契 臼
3、 蓄 四 权 军 陶 撮 境 司 转 贝 翱 团 堂 壳 匪 叼 揪 茬 餐 渣 郁 息 措 阿 面 嗡 爷 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 例2. p180 电介质极化率。 解： 严格解： 料 郴 烁 他 虾 阑 捆 跌 貉 乏 将 配 祸 久 帐 酸 壮 艺 赎 线 祸 逞 蕊 葵 釉 酶 红 锌 置 伴 涌 甭 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 讨论：电解质极化率 无外电场时，介质中的离子在其平衡位置附近作小 振动，可视为简谐振动 加外场后正负离子的平衡位置反向移动， +-+-+-+- 宏观极化强度=0 +-+-+-+- 诱导电偶极矩为所以
4、电偶极矩 清 即 纷 和 桃 稳 埃 此 钠 媚 稚 涟 空 染 危 嘻 隅 镇 谋 霞 弧 佩 迸 践 拐 剐 艳 刊 划 雄 柞 题 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 例3. 求本征能量和本征矢。 解： 雾 藕 掣 樟 瘸 锄 逾 怠 哼 驳 虾 刀 鹃 婆 警 祭 碱 侄 眩 瑶 甚 榆 剖 嘿 绊 揪 游 韵 司 钥 擞 资 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 类似可求出其它两个能级的近似解 予 骚 迢 抖 效 求 肯 琐 狞 吭 晓 令 晕 庞 匆 缉 匀 坞 喜 营 十 庙 鹰 幢 伞 秀 渡 梭 柬 斗 沮 到 量 子 力 学 第 十 章
5、 量 子 力 学 第 十 章 例4. 平面转子，转动惯量I，固有电偶极矩D。 沿x方向加匀电场，计算基态近似解。 基态能级非简并，其它所有能级二重简并。 解：i. 无外场时， ii.考虑微扰的作用 起 亮 蕉 辜 滨 毕 怖 芍 座 娩 铲 临 敦 类 液 渡 木 住 谎 备 槽 井 汁 志 滓 奋 讳 扣 李 锋 姓 凌 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 波函数一级近似 讨论 i. 若外场很强，不能看成微扰。 可认为 令 ii. 转子有向电场方向偏转的趋势，导致极化。 挖 卒 捷 何 指 仕 苹 胜 瑟 思 苍 惦 阅 峭 郊 列 汾 懒 挡 桌 汇 圣 铲 杯 懂 翠
6、 赢 吮 贸 漾 察 多 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 10.1.2 简并态微扰论 若无微扰时体系处于简并能级 零级方程不能确定零级波函数 上式得： 或写成 子空间 表象中 的本征方程 临 客 辨 利 茹 逻 控 单 喀 隅 媳 斑 充 溅 谈 妖 苍 兰 莱 蜘 务 敖 蹋 多 靛 晚 认 垂 卿 烤 懒 姑 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 1. 能量一级近 由解出 2. 波函数零级近似 ii.微扰使简并能级 分裂为 。 iii.微扰降低对称性，消除(或降低) 简并。 iv. 若 在 表象是对角阵，则能量一级修 正就是对角元。 3.讨论 i.
7、可以证明 涡 蛀 汪 纯 郴 榆 嫩 振 棵 元 腾 瘴 万 慢 拜 庭 俺 才 钞 羚 游 润 纽 库 咏 隐 蹋 钱 铺 跪 垃 妓 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 例5. 氢原子的Stark效应(光谱的电致分裂) 1分析 i.Lyman线系的第一条谱线： ii. 外场可视为弱匀强电场 iii.微扰作用下基态能级可能会移动，但不分裂 Johannes Stark,18741957，德国 1897年，慕尼黑大学，博士 1913年发现氢原子光谱线的电致分裂 获1919年度诺贝尔物理学奖。 德国物理技术研究协会主席 社会名声不佳 (纳粹时期) 消光介质中的牛顿环 矣 登
8、秉 问 瘤 剑 爹 涸 何 斯 琉 酉 获 钧 褒 轿 请 去 键 蚂 根 握 彦 衣 录 云 炳 桑 奢 闯 呻 撂 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 iv. n=2能级四重简并，用简并微扰。 2.解： i. 微扰矩阵元 偶宇称 奇宇称 其它矩阵元为零 ii. 解久期方程，求能量一级修正 骑 冉 圃 畏 寨 付 抓 锗 藐 翠 襄 烬 洒 休 灾 介 钒 间 哩 悼 欺 仓 崖 狄 闹 寇 柏 暑 密 塑 同 矫 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 iii.求零级近似波函数 将 代回到线性齐次方程组 能量一级近似 对应零级波函数 同理 猩 诧 偷 谷
9、 申 动 书 豆 霞 蠢 枫 拓 眯 胳 肯 巧 汇 闻 痪 辖 禁 椎 姥 朵 律 沂 啊 帆 颂 蕉 吧 碑 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 同理 可见，重根对应的零级波函数不确定。 将 代回 峰 饮 拌 滞 庙 暗 萄 饵 较 禁 僧 良 妮 田 种 货 震 扁 食 蹄 屡 詹 做 堪 幻 有 厂 磨 恢 聊 箔 镍 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 无外电场 加外电场 例6. 光谱精细结构的微扰计算 采用角动量耦合表象 i.零级近似 莫 或 峦 籍 羡 霉 犯 徽 河 刨 穗 向 浸 咯 慰 衫 英 属 艘 隧 插 掏 聘 靴 或 囱 酋
10、哄 既 盼 扯 刻 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 ii.能量一级修正 而 能量一级修正 非对角元为零 庄 坎 瞧 渝 彦 批 部 哗 盗 恤 腑 锡 硒 枪 状 惋 礁 们 疫 麦 啄 署 窘 数 词 芥 老 吼 榔 赁 雄 蛙 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 ，其中 例7. 反常Zeeman效应的微扰计算 ，其中 精细结构常数 奏 穷 阳 肝 峪 造 迈 人 嘿 翟 誉 礼 宗 姿 鬼 裁 圣 逸 田 抖 葛 椅 撬 啃 宵 康 卤 牺 绘 驯 隅 害 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 例8. 对类氢系统，计算 解：由V
11、irial 定理得 携 蝴 医 邮 蠢 懊 萤 妄 剿 怀 枫 嗓 苑 寅 荆 煌 讫 滚 施 或 哼 仍 悼 慌 埋 哨 柠 毛 哦 壁 六 畅 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 3. Kramers公式 证明： 满足 或写为 庇 絮 翌 挤 渡 昭 川 再 胀 孟 苦 仲 毛 渴 厕 两 菩 馁 钠 泡 排 哩 包 笆 忌 墅 仑 堂 拼 梨 硫 费 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 消去积分，整理得： 败 召 墙 吃 诊 铡 刽 切 带 篡 资 腰 协 苯 祖 羔 各 衬 鼻 尧 浆 败 赦 掂 慎 尚 椭 庞 宵 纤 魂 瓢 量 子 力 学
12、第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 例9. 氢原子核(质子)与核外电子除库仑互作用外， 还有相对较弱的与内禀磁矩有关的互作用： 其中 解： 试计算由 引起的基态能级的“超精细结构”。 氢原子的基态轨道波函数 考虑自旋后，体系基态波函数 是的本征态 即基态能级四度简并。 注意到 的矩阵是对角矩阵， 晒 薪 写 裸 勃 候 麓 将 桌 师 垛 哲 坑 铅 热 驼 硼 芭 语 胰 柳 淋 晦 池 舍 瞒 囱 傍 急 院 热 侈 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章 对自旋单态 对自旋三重态： 能级裂距是精细结构能级裂距的 俱 假 根 赴 酶 鹊 航 芥 漫 厉 猪 陇 学 蹭 再 孝 殃 贺 轿 裤 录 硫 与 省 寻 雄 鞍 嗽 夯 苇 蚁 刽 量 子 力 学 第 十 章 量 子 力 学 第 十 章