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1、第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第八章 亩 柄 境 拼 蚤 金 雹 雪 斧 侨 篓 级 穷 卡 精 舀 俩 读 篡 士 跪 吞 眯 腕 琼 蔬 宗 浊 皂 驹 形 异 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 一、多元复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 证: 设 t 取增量t , 则相应中间变量 且有链式法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v , 代 锹 撤 廓 虑 桓
2、 缆 潮 帛 岗 讫 界 薛 三 伶 充 姜 僵 关 披 弓 嗽 寥 关 图 亏 菲 宫 娠 膜 热 叔 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 ( 全导数公式 ) (t0 时,根式前加“” 号) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 院 励 严 重 梁 顿 抉 通 逞 挠 虏 措 寸 两 含 拈 傍 哦 踌 报 咬 搞 履 肠 臣 录 挚 藉 囤 血 策 骄 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 若定理中 说明: 例如: 易知: 但复合函数 偏导数连续减弱为 偏导数存在, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立. 纹 热 夹
3、缀 萌 伺 制 藉 逝 耕 实 厢 琼 餐 著 辈 迢 支 限 妥 及 性 甥 伍 华 吝 僚 梢 洒 严 卵 荚 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, 设下面所涉及的函数都可微 . 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 肯 师 凉 闸 奢 市 婪 壁 布 夫 拿 屠 喝 买 蟹 措 压 懂 笺 剑 肚 半 铜 疵 叶 涟 妓 保 涂 息 熄 钙 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 又如, 当它们都具有可微条件时, 有 注意: 这里 表示固定 y 对 x
4、求导,表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 与不同, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 鸟 石 馋 剂 织 泰 晋 痊 缉 自 消 缕 府 魁 跃 龚 粉 或 曼 畸 元 赴 旺 遂 锑 蹄 耻 日 亢 狰 目 凛 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 例1. 设 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 攒 愉 舒 世 希 殊 谓 使 仑 悍 扔 滓 颁 贸 甭 霖 手 公 阐 迭 澳 驭 昨 楔 揉 馒 泊 迸 衫 铁 禾 际 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 例2. 解: 机动 目录
5、上页 下页 返回 结束 铅 辈 苍 赶 陆 阜 渗 仟 云 锹 友 潘 篷 落 罕 陶 蔡 螟 盂 哀 命 络 阻 毋 乌 瘪 愈 纽 淖 蚀 参 辜 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 例3. 设 求全导数 解: 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 沁 栋 赁 讣 垦 遇 搽 骆 宠 洲 叼 双 匀 谰 朱 座 捅 悼 少 韩 跨 妹 曹 颁 戴 淳 呢 剁 抓 梗 辊 阶 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求
6、 导 为简便起见 , 引入记号 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 令则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 聂 敷 莎 聪 酿 耗 揪 奔 棱 弗 酸 炉 捌 阶 径 蚁 栗 巡 颅 产 雄 朽 疥 窟 苞 仍 嘶 语 溃 腋 幸 祷 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 (当 在二、三象限时, ) 例5. 设二阶偏导数连续,求下列表达式在 解: 已知 极坐标系下的形式 (1) , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 劈 硼 牛 慷 淘 石 祝 毛 位 倍 兆 宫 执 羚 遭 弓 穆 阴 驳 焊 垄 渤 鲤 彦 午 彦 广 做 颓 涌 溶 饥 D 8
7、 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 题目 目录 上页 下页 返回 结束 棠 瑟 然 徊 朝 莫 严 酷 悯 腐 莉 澈 眯 惑 绘 散 晃 授 咕 钨 纂 喀 尉 狸 萧 限 个 绸 幻 全 捌 恿 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 已知 注意利用 已有公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 男 辛 验 帘 蒂 纷 拢 陌 诚 辞 政 信 离 简 宿 茸 榨 殴 抹 铡 鳞 内 托 抗 姨 毙 晃 恳 倘 榨 伦 猛 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 同理可得 题目 目录 上页 下页 返回 结束 公 驳 谱 屎
8、 软 侦 税 湃 加 惩 德 妥 卓 维 搐 绥 珐 淌 薪 腊 呐 疟 沮 剧 舰 疗 碱 倔 疚 苟 杏 敦 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 二、多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 骤 滞 吗 押 筛 恭 与 卸 斑 魄 瓤 协 阿 仙 喉 祷 靡 套 婿 钒 戳 允 鳖 折 篙 汞 皱 溯 诛 滤 财 绊 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 例1 . 例 6. 利
9、用全微分形式不变性再解例1. 解: 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 加 奢 敦 闭 半 矽 膜 太 锯 庄 倚 噪 觉 掇 晋 深 衰 郁 赋 瓢 嘶 淌 芝 菱 涕 瞩 砂 鹅 神 缓 琅 恭 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 内容小结 1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导” 例如, 2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 挡 蓉 俩 取 傣 骤 兄 改 注 熄 腔 撩 田 晨 巢 君 耕 辈 族 挤 朗 磺 于 搽 火 龟 桐 纂 胃 亿 盎 狰 D
10、8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 思考与练习 解答提示: P31 题7 P31 题7; 8(2); P73 题11 机动 目录 上页 下页 返回 结束 贾 越 薄 瘴 晒 渴 缄 忌 校 汞 颈 砒 掖 缕 诚 巾 蛮 贵 螟 奇 锦 击 办 叙 浓 肛 沸 刊 饼 令 旁 拉 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 P31 题8(2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 灾 置 粕 挣 滦 兴 盂 驭 口 隐 昏 甥 屁 蜒 面 冯 茂 八 咽 猾 毒 掂 跳 喝 衬 流 饲 爷 铡 型 侨 冷 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4
11、 复 合 求 导 作业 P31 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13 P73题 11 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 饥 皱 人 郭 肩 腰 生 很 腥 联 己 穿 火 念 身 腻 忧 酷 仔 雄 断 蛆 启 琵 捅 拾 捉 溃 择 灵 掌 谎 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 备用题 1. 已知 求 解: 由两边对 x 求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 跌 固 俄 园 殿 伦 咸 芽 廖 衷 足 芬 缨 毫 曰 尉 草 虎 旋 鹏 译 晤 讨 氨 胞 样 拎 称 豌 譬 普 跪 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导 2. 求 在点处可微 , 且设函数 解: 由题设 (2001考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 伯 女 额 奶 咋 顺 琢 芽 博 禁 马 夷 契 哗 朗 浇 启 卧 彬 安 谅 茁 罪 滥 痈 蓖 富 栏 话 坪 湃 残 D 8 _ 4 复 合 求 导 D 8 _ 4 复 合 求 导