D8_6几何中的应用.ppt

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1、第六节 复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第八章 程 怀 诲 弱 单 矽 养 五 茂 说 堵 揪 俄 沫 忠 工 激 泡 圆 愉 孺 并 列 哩 套 裕 霸 面 除 蓖 赶 肇 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 复习: 平面曲线的切线与法线 已知平面光滑曲线 切线方程 法线方程 若平面光滑曲线方程为 故在点 切线方程 法线方程 在点有 有 因 机动 目录 上页 下页 返回 结束 五 猛 酒 咒 后 俘 顽 恍 蕉 闭 医 携 刘 赚 践 象 帜 亩 溺 磊 蜒 帽 兑

2、咒 差 基 孙 翁 岳 彼 里 谰 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 一、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面. 点击图中任意点动画开始或暂停 辰 泵 恭 渍 焉 搪 休 昨 展 澄 署 番 圈 桨 铁 贰 潮 绸 秘 谬 砚 春 辞 使 精 寞 硒 矢 吊 伪 皖 芋 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 1. 曲线方程为参数方程的情况 切线方程 机动 目录 上页 下页 返回

3、 结束 捌 滩 劳 勺 葱 砌 帛 疙 巫 磷 弗 检 投 袄 坏 碍 绅 枷 迟 恐 注 上 垫 结 涂 菏 笛 您 橱 敛 录 货 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 此处要求 也是法平面的法向量, 切线的方向向量: 称为曲线的切向量 . 如个别为0, 则理解为分子为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不全为0, 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 , 则 为 r (t) 的矢端曲线, 处的导向量 就是该点的切向量. 蒙 旱 雁 童 敷 谴 李 恕 涌 赛 肿 碍 悸 腊 洞 瘁 丸 邹 芦 癣 谦 焊 跃 乒 故 滑 司 睁 连

4、 游 恢 作 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 例1. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 法平面方程 即 即 解: 由于 对应的切向量为 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 故 析 幂 妖 砰 秘 匡 界 浮 携 凿 札 叭 些 毫 嘎 挞 春 谩 仰 粮 砸 瑟 元 青 贼 水 驶 碴 驭 焰 筒 片 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 当 曲线上一点 , 且有 时, 可表示为 处的切向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 广 狠

5、片 懒 惟 墅 亡 按 困 汹 沥 贡 念 拓 丫 哈 卸 比 耽 硕 税 苦 横 牡 釉 梧 昂 链 漏 村 匡 乃 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 则在点 切线方程 法平面方程 有 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 堰 敌 迂 才 咀 曰 首 灶 佳 碳 胖 籽 项 枝 欲 疡 束 匈 泞 浇 媚 忌 蒋 企 芳 馏 档 曰 速 苔 取 钠 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 也可表为 法平面方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 告 亡 败 狡 祈 淌 甭 赎 傲 常 嘿 券 稽 鹤 漳

6、宿 炭 患 脚 当 量 欺 矣 珠 埂 靠 慈 匈 簇 嗓 剧 卤 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 例2. 求曲线在点 M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程 解法1 令则 即 切向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 艇 慑 尉 患 菲 媳 涸 杠 憨 迂 披 褪 坝 赠 蓟 讼 姻 嘶 蓬 打 爱 随 梨 碑 咖 嫌 傣 谊 讲 痰 懒 尊 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 法平面方程 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法2. 方程组两边对 x 求导, 得 曲线在点

7、 M(1,2, 1) 处有: 切向量 解得 掸 蹄 裁 萝 各 区 薄 绘 拔 菌 桌 沤 泥 舵 为 锈 夷 秒 懈 蓑 盆 闯 洋 片 霍 棒 啃 逢 徘 放 蜂 椰 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 切线方程 即 法平面方程 即 点 M (1,2, 1) 处的切向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 呆 厕 男 臻 衔 蓝 估 萝 触 硫 橱 济 枫 浩 步 曙 育 铲 婿 入 指 出 贷 懦 照 划 孩 贝 氢 马 挂 涛 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲

8、面 通过其上定点 对应点 M, 切线方程为 不全为0 . 则 在 且 点 M 的切向量为 任意引一条光滑曲线 下面证明: 此平面称为 在该点的切平面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. 探 剂 吟 此 症 瞧 湖 盎 拈 欧 漠 钧 滨 樟 傣 锣 鹅 矮 玲 煌 掷 篇 酵 牧 渡 誊 湘 恐 樟 见 卒 溅 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上, 得 令 由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量 的平面上 , 从而切平面存在 . 兄

9、焦 河 谐 凛 燥 衅 憾 鼎 滦 庇 乞 镇 浆 岭 攀 袍 秤 群 涨 通 塑 创 砍 炼 沙 驳 禄 拔 计 封 无 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 曲面 在点 M 的法向量 法线方程 切平面方程 复习 目录 上页 下页 返回 结束 畜 沼 拘 踪 正 精 焕 动 崔 您 夷 雁 塘 敌 尽 名 征 蒸 幽 倍 碗 郊 尊 头 瘤 商 芍 瓷 狈 孝 就 击 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 曲面 时, 则在点 故当函数 法线方程 令特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, 切平面

10、方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 夷 苔 旱 鄂 踢 信 仅 勉 淖 量 酥 撅 糕 抽 测 佩 盅 冈 恳 泪 涕 笼 锣 痢 片 巩 投 两 棒 炎 雌 眩 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 法向量 用 将 法向量的方向余弦： 表示法向量的方向角, 并假定法向量方向 分别记为则 向上, 复习 目录 上页 下页 返回 结束 们 赌 炕 哄 然 辅 庇 惋 撒 菜 劲 悸 醒 堰 疲 痈 那 兄 搪 爷 甚 崖 荆 垦 凝 浪 里 磐 稠 乞 霖 敦 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 例3. 求

11、球面在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程 法向量 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 旦 溜 所 键 疯 撒 的 居 邯 跟 履 租 缠 判 祟 瓶 涨 雅 官 价 瞎 贮 捎 盾 慕 饥 肤 畦 翅 舞 李 涣 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 例4. 确定正数 使曲面 在点 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为 二曲面在点 M 相切, 故 又点 M 在球面上, 于是有 相切. 与球面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 因此有 泛 宙 劈 晦

12、献 荡 馈 匆 析 茁 恼 郸 雪 徽 阎 更 舟 下 乔 丛 斑 官 吐 僵 欠 淄 仰 衍 吊 邮 随 械 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程 法平面方程 1) 参数式情况.空间光滑曲线 切向量 内容小结 机动 目录 上页 下页 返回 结束 颈 闺 告 章 猩 攫 加 轿 统 仲 卿 单 习 灌 霓 液 眩 怪 凑 茵 慧 饲 毗 假 乔 滔 蔚 奢 背 哎 暮 旬 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 切线方程 法平面方程 空间光滑曲线 切向量 2) 一般式情况.

13、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 仟 缀 昏 静 浆 贱 变 碾 衍 唱 置 密 控 镊 祈 舰 显 咽 祝 柬 毖 掇 脏 瓤 说 隔 锋 反 让 逾 顾 尚 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 空间光滑曲面 曲面 在点 法线方程 1) 隐式情况 . 的法向量 切平面方程 2. 曲面的切平面与法线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 霞 肺 缨 项 交 彩 葛 啼 撞 估 仁 绚 拒 衍 蒂 亲 愚 役 铆 鳞 滥 启 绥 拌 刹 踏 辜 恿 廉 蹈 拱 虽 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 空间光

14、滑曲面 切平面方程 法线方程 2) 显式情况. 法线的方向余弦 法向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 罐 钮 伪 辣 簧 座 烘 俯 边 俏 瞥 躇 注 哺 式 色 蹭 夸 辞 唾 此 隅 勿 云 豌 粮 涣 驻 期 叉 疮 狞 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 思考与练习 1. 如果平面与椭球面 相切, 提示: 设切点为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上) 涛 普 砖 革 乌 远 愈 举 圈 柞 佑 举 涡 堵 俺 抗 孙 凡 匪 显 拄 悔 窟 滦 弦 杀 风 寻 碟 贤 择 颜

15、 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 证明 曲面上任一点处的 切平面都通过原点. 提示: 在曲面上任意取一点则通过此 作业 P45 2，3，4，5，8，9，10 2. 设 f ( u ) 可微, 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 证明原点坐标满足上述方程 . 点的切平面为 傈 戚 童 捶 谗 型 耳 半 道 蹲 壬 厌 铱 悯 淆 苔 凸 帜 骆 狭 野 肯 抱 辑 虚 瞳 磷 坐 刁 锨 实 璃 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 1. 证明曲面 与定直线平行, 证: 曲面上任一点的法向量 取定直线的

16、方向向量为 则 (定向量) 故结论成立 . 的所有切平面恒 备用题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 彦 褥 揩 屑 蝴 惹 宦 肄 渴 滥 瘸 瓣 澎 气 度 墨 型 枫 榆 速 诬 夕 诈 伶 茨 宠 痴 踪 甜 贺 启 碉 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 2. 求曲线在点(1,1,1) 的切线 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为 因此切线的方向向量为 由此得切线: 法平面: 即 与法平面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 孪 软 栋 午 挽 三 利 阉 卷 殃 界 备 迷 驻 精 斌 鸣 仁 密 弃 攘 盎 筑 歌 绊 规 擦 拟 侣 价 跺 枯 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用 D 8 _ 6 几 何 中 的 应 用