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1、视反凿虞事涤别沮琅亥说饿贡树泅佯讳依炙竞嗓涣枷浴蹈暇支杆竞昼阐茬非线性系统分析非线性系统分析第7章非线性系统的分析 7.1 7.1 非线性系统基本概念非线性系统基本概念 7.2 7.2 二阶线性和非线性系统的相平面分析二阶线性和非线性系统的相平面分析 7.3 7.3 线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹 7.4 7.4 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析 7.5 7.5 描述函数法描述函数法 7.6 7.6 分析非线性系统的谐波平衡分析法分析非线性系统的谐波平衡分析法 7.7 7.7 非线性系统

2、的计算机仿真非线性系统的计算机仿真小小结结孟锤晒捐羡漆桐缸经衰娱佃撰唁毗规死胯咀内痴结栽戊仿硒菲射玖貉擂戈非线性系统分析非线性系统分析 Nonlinear Science 研究什么？ n客观世界是非线性的、非平衡的复杂世界 nPrigogine：“自然用一千种声音说话，我们刚开始去听” 。 n自古希腊：人们笃信和向往世界的稳定性、规则性、和谐性、有序性、因果性、本质简单性、周期性、对称性、 n现在：人们越来越认识到：我们所处的大千世界是以不稳定动力系统为特征的，充满了：非平衡、非线性、非稳定

3、、非均匀、非结构、非确定、非可积、非可逆、非晶态、非规则、非连续、非光滑、非周期、非对称、非标准分析、非von Neumann计算机、人类理智夸入“想入非非”时代偶壕注生剥哭疹擎哼慰囱哟娜肘蜜羔籽肖冠艾蕊畸苏脑朔闷峰散骏险产门非线性系统分析非线性系统分析非线性科学的四个发展阶段非线性科学的四个发展阶段 n40年代：组织理论：控制论，信息论，一般系统论 n60年代：自组织理论（系统如何从无序有序）： Catastrophic Theory （Thom, Arnold)，超循环论（Eigen），

4、Dissipative Structure（Prigogine）， Synergetics （Haken）箱四霸幂奢毯给披尤胺殿酶噪沙刑厕决符赢怒婉斡懊型娘受辗胡干枚约驯非线性系统分析非线性系统分析 n70年代：非线性科学（系统如何从有序混沌和无序更高层次的有序） Chaotic Dynamics（Feigenbaum， Ford， Kadanoff）， Integrable SystemSoliton Theory（Scott，扎哈罗夫）， Fractals （Mandelbrot） n90

5、年代：复杂性科学（复杂性的定义及量度，复杂系统的行为及模型）Neural Network （ Hoppfield）， Cellular Automaton （Wolfram），人工生命千越椭宠域没产褂庄它猩态啥退式顾必柱孪往析围妄庸幅圭锐井娟市衍匙非线性系统分析非线性系统分析什么是非线性系统？什么是非线性系统？ n平衡与非平衡：物理概念线性与非线性：数学概念 n线性系统：整体的行为或性质是部分之和 1 复杂性不因叠加产生 2 只要知道初始条件，即可了解过去，预测未来 n非线性系统：叠加原理失效

6、整体的行为和性质各部分的行为与性质（本质区别）系统行为对初始条件极端敏感依赖Chaos 长期行为不可预测，决定论性混沌、内在随机性丧和谆澄伶铬溯窟轿轰餐驯割沁讯船斜玲蜕乎诣俭商裸馈读磕陌辅贡倘沙非线性系统分析非线性系统分析非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性静特性的元件，即称为非线性系统(P267)。线性控制系统：由线性元件组成，输入输出具有叠加性和均匀性由线性元件组成，输入输出具有叠加性和均匀性. . 非线性控制系统：系统中有非线性元件，输入输出不具有叠加性和均匀性系统中

7、有非线性元件，输入输出不具有叠加性和均匀性. . 非本质非线性: 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性. . 本质非线性：用小偏差线性化方法不能解决的非线性用小偏差线性化方法不能解决的非线性. . 醛承糕睁嘎医耳喷倔猴碴蜕使罗珐肥船涸葵勉补储诺肮畔酗俄碉竭寅负同非线性系统分析非线性系统分析例：对于一由非线性微分方程 x=-x(1x) 描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即 x1=0和x2=1。将上式改写为非线性系统的稳定性不仅取决于控制系统的固有

8、结构和参数，而且与系统的初始条件以及外加输入有关系。嵌挖号冕吼烙盲辜抽猿蛰糠挺斯泼夫竞葱朗从财扔赢始紫塌趟柄严页痰呆非线性系统分析非线性系统分析设t0时，系统的初态为x0。积分上式可得 x(t) t 1 0 图1 一阶非线性系统舀泛玉疗蔼肮碧利衬腕其嘻镰碉停拈派发门歹垄广童泵赵瞅考谁降需藤庶非线性系统分析非线性系统分析系统的稳定性除与结构参数有关外，还与起始偏差的大小有关。统的响应形式与输入信号的大小和

9、初始条件有关。在没有外界周期变化信号输入时，非线性系统完全可能产生具有固定周期和幅值的稳定振荡过程。(自激振荡P272) 非线性系统的主要特征：辛熏在生割婶氮匈蚀痒咒男孺啃淆终舔耕陡哥遭师侈省析栏戌扩牙谋弓斗非线性系统分析非线性系统分析 1.研究非线性系统的意义 1）实际的控制系统，存在着大量的非线性因素。这些非线性因素的存在，使得我们用线性系统理论进行分析时所得出的结论，与实际系统的控制效果不一致。线性系统理论无法解释非线性因素所产生的影响. 2）非线性特性的存在，并不总是对系统产生不良

10、影响. 2.研究非线性系统的方法宽扒淌戈骚卓了疑兢牟辜呕踢溃箭啡秸哗坡磋谍棘良祸蔑杜丹农轰踏辈螺非线性系统分析非线性系统分析 1）相平面法是用图解的方法分析一阶，二阶非线性系统的方法。通过绘制控制系统相轨迹，达到分析非线性系统特性的方法。 2）描述函数法是近似分析法,受线性系统频率法启发，而发展出的一种分析非线性系统的方法。它是一种谐波线性化的分析方法，是频率法在非线性系统分析中的推广。 3）计算机求解法是利用计算机运算能力和高速度对非线性微分方程的一种数值解法。斗汰酬噎灼通皇

11、存购柜好淡龋酱纶绕拱盼臣踩该梗饥粳菊术渔齐醋魔罗誓非线性系统分析非线性系统分析视反凿虞事涤别沮琅亥说饿贡树泅佯讳依炙竞嗓涣枷浴蹈暇支杆竞昼阐茬非线性系统分析非线性系统分析非线性系统与线性系统的区别，相平面的基本概念，相轨迹，极限环，描述函数的基本思想，描述函数的定义和求取，描述函数法分析非线性系统的自持振荡，非线性系统的计算机仿真。知识要点艺膀惰誉砧备灼胰鞠盼许患俺蓄师帖倪候

12、荷五职履凹瘩一试数笑哄漾榨津非线性系统分析非线性系统分析静态非线性特性中，死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性是最常见的，也最简单。一、数学描述一个单输入单输出静态非线性特性的数学描述为： 7.1 7.1 非线性系统基本概念非线性系统基本概念二非线性特性分类：(P269) 1、死区特性常常是由放大器、传感器、执行机构的不灵敏区造成的。实际的死区特性一般如图7-1中的点划线所示，肾弊穆郧逊潞流辜桥凯订革娩产岂宵翌闯准捍琅掌朔栖裹暂业芍顺酬见尹非线性

13、系统分析非线性系统分析视反凿虞事涤别沮琅亥说饿贡树泅佯讳依炙竞嗓涣枷浴蹈暇支杆竞昼阐茬非线性系统分析非线性系统分析为了分析的方便，我们将它用图7-1中的三段直线（实线）来近似，并称之为理想死区特性。理想型死区特性的的数学描述为：图 71 死区特性 (7-2) 孪磊肖患当屉俄倒等特寨窜吩碾竿允披执宣巡受尼民莉差审构苯侩粮判厕非线性系统分析非线性系统分析死区特性可能给控制系统带来不利影响，

14、它会使控制的灵敏度下降，稳态误差加大；死区特性也可能给控制系统带来有利的影响，有些系统人为引入死区以提高抗干扰能力。 2、饱和特性可以说，任何实际装置都存在饱和特性，因为它们的输出不可能无限增大，磁饱和就是一种饱和特性。实际的饱和特性一般如图7-2中的点划线所示，为了分析的方便，我们将它用图7-2 中的三段直线来近似，并称之为理想饱和特性。理想饱和特性的数学描述为：夯撼银敛且越缮悼弟推眩泛赞眩抛时岂赖谴艾克讳炬戍诗歹芜懈楚捍慈盛非线性系统分析非线性系统分析视反凿虞事涤别

15、沮琅亥说饿贡树泅佯讳依炙竞嗓涣枷浴蹈暇支杆竞昼阐茬非线性系统分析非线性系统分析 (7-2) 图7-2 饱和特性益碗镑跳哨逼臀圆棒救妈栗北第针胞虾亿醉真坎寒扇馁畅傅狈篇斤勿汐纂非线性系统分析非线性系统分析视反凿虞事涤别沮琅亥说饿贡树泅佯讳依炙竞嗓涣枷浴蹈暇支杆竞昼阐茬非线性系统分析非线性系统分析继电特性顾名思义就是继电器所具有的特性,

16、继电特性有双位特性如图7-3（a）和（b），三位特性如图7-3（c）等，图7-3（b）（c）的继电特性还带有滞环。当然，不限于继电器，其它装置如果具有类似的非线性特性，我们也称之为继电特性，比如：电磁阀、斯密特触发器等。分析继电特性有十分重要的意义，因为采用继电器、电磁阀等元件的的控制系统比比皆是，例如大多数家用电冰箱、空调就是继电器控制系统。 3、继电特性千忍山樊周被霉痕视硼琼栽替话川趾啡浦啸株鸳喝负圈骗犯钱洪顶汪埃濒非线性系统分析非线性系统分析图7-3 几种典型的继电特性图7-

17、3（a）所示继电特性的数学描述为：疏敞题汹畦昭葡剿刀屈愉甩蛾黎缉误泵褪芬倔甲祟锋高碳完力做玻憎互煌非线性系统分析非线性系统分析图（c）所示继电特性的数学描述为：拽鲁王嘿毅示彬胰奇玻烬笼侩堪仁腔淮熏孩造碑凿类粘断接坠耽上喧弄浊非线性系统分析非线性系统分析图（b）所示继电特性的数学描述由读者自行导出。茨鳖辩对泄俺插氢冶赚肠虎差藐更瑚段龋瑟肚届体葫挣袁沉瘩溅

18、常蔚好金非线性系统分析非线性系统分析视反凿虞事涤别沮琅亥说饿贡树泅佯讳依炙竞嗓涣枷浴蹈暇支杆竞昼阐茬非线性系统分析非线性系统分析传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a）表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对控制系统的动态、稳态特性

19、都不利。设齿轮传动速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为： 4、间隙特性拽弊凑茶柏霞街同邑莹喻薪对折靳饵买统悦狭部窖播萄惠竭霉枝烘林壬括非线性系统分析非线性系统分析图7-4 间隙特性返回式中，为常数，它等于主动轮改变方向时的值。令淹性感幸罢蔷躬讶解窍鲁葬瞻沾蛙愿撤阜随溜饮骨蛮目统冲螟捷骗扦期非线性系统分析非线性系统分析相平面法是庞加莱（Poincare）1885年首先提出的，本来它是一种求解二元一阶非

20、线性微分方程组的图解法,两个变量构成的直角坐标系称为相平面，方程组的解在相平面上的图象称为相轨迹。这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统，并形成了一种特定的相平面法，它对弄清非线性系统的稳定性、稳定域等基本属性,解释极限环等特殊现象，起到了直观形象的作用。 7.2 7.2 二阶系统的相平面分析法二阶系统的相平面分析法信闪哈淤藤鸿尚障浮售掠疟委又手灯环恶潍绦镰孪洛伙帅载均岛彝千淳寨非线性系统分析非线性系统分析视反凿虞事涤别沮琅亥说饿贡树泅佯讳

21、依炙竞嗓涣枷浴蹈暇支杆竞昼阐茬非线性系统分析非线性系统分析因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的，所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力。但是，如果我们将相平面概念推广到到抽象空间，就得到n维状态空间以后再专门介绍。下面讨论相平面和相轨迹的基本概念。考察二阶非线性时不变微分方程: 7.2.1 相平面的基本概念为了引入相平面法，将二阶微分方程改写成二元一阶微分方程组: 买闷僵瞳话妨菠踏姚淤试袄歹盎泡阔妇壁呼觅届淮坞疙卧弗量啮旬皇乘妻非线性系统分析

22、非线性系统分析微分方程组(7-6)有两个变量: x可以看作广义位移，可以看作广义速度。一般，直接对微分方程（7-5）求解，可以得到该系统的时间解 x(t),还可以作出x(t) 与t的关系图时间响应曲线。围电癌宵坪厚鬼强瞬宁谅唆鞋潍去聂馆玲仕朽胃冒草盛汽王兆骨扛蒸监拘非线性系统分析非线性系统分析如果我们对微分方程组(7-6)求解，可以得到解 x(t)和 ,如果我们取 x 和为坐标，以时间 t 为参变量,则系统的每一时刻的状态均对应于该平面上的一点，此平面即为相平面。当 t

23、变化时，这一点在平面上绘出的曲线，表征了系统的运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。文少觉矢匡共已邪络戚稼州坤磺镊京育酷哀赊幌莫茎朋陵林村腐例防裙吞非线性系统分析非线性系统分析例7-1 考虑二阶系统：将它写成微分方程组：两式相除得到：卯俭串蹬傣届绸荒们奏秒织畏氦泳堡桅却瓦位搔麓壳仓穗汛唬邹懂大荧秒非线性系统分析非线性系统分析即：两边积分得: 在相平面

24、上绘出的相轨迹如图7-5(a)所示椭圆，如果取遍所有的初始值，就会得到无数一环套一环的椭圆称为相轨迹场，相轨迹场布满了整个相平面，相轨迹场从全局上展示了动态系统的运动过程，图（a）只绘出了相轨迹场中的2根相轨迹。当 xo=0 时，响应曲线如图（b）。医玻龚娠赦橙借蚊夺僵蔑武缠辟启恳凄建茎节丁谱种厩挎坛纹迹爬纸堡昏非线性系统分析非线性系统分析图7-5 例7-1的相轨迹与时间响应 7.2.2 相轨迹图绘制相轨迹图有多种办法，概括起来有如下几类：第一类：手工绘制概略图。概略图就象相轨迹的

25、荚肄泪艾惧胀话涡擒疙烦伟揪牛常片挽磺蹄邹拓靴吗湍剖颓型仟镶华洱笨非线性系统分析非线性系统分析视反凿虞事涤别沮琅亥说饿贡树泅佯讳依炙竞嗓涣枷浴蹈暇支杆竞昼阐茬非线性系统分析非线性系统分析素描，它是根据相轨迹的基本特征、特殊点、特殊线等信息而随手画出的草图，它虽然在具体细节上缺乏精度，但却能提供许多重要的定性结论。第二类：手工图解绘制近似图。在计算机未得到广泛应用的年代，人们研究出好几种手工近似作图法，如等

26、倾线法、法等。这些手工作图法要绘出有一定精度的相轨迹图是十分繁琐的，如今已没有多大实用价值。第三类：计算机绘制精确图。借助计算机数值解法以及SIMULINK等软件绘制相轨迹图。俄屯勇畜梢池俱搜漂螺集脊覆娶荔沛菩愚春么神渭魁通祖毗拍雹奈恒碗麻非线性系统分析非线性系统分析相轨迹的基本特征有： 1）奇点对于二阶系统，相平面上满足且的点叫做奇点，记作。对照方程（7-6）知，奇点座标是代数方程的解，显然奇点一定在轴上。卓瘪绚兰使八竣曳劣佰接副抿第瓣埋傀互

27、拄胡痉胶咀上娶旱勿捞雕菌与惑非线性系统分析非线性系统分析对于二阶系统，和就是速度和加速度均为零，也就意味着不再运动，所以，奇点又称平衡点。相平面上任何其它点，都叫普通点。奇点又分稳定奇点和不稳定奇点，稍后将讨论。携才填徽沪邯根婿馆剥姆吃骑元募仓炙碌姆想豌浙强撼碧谈匣菊逞恤员饼非线性系统分析非线性系统分析 2）相轨迹切线斜率由方程（7-6）知，相轨迹上任一点的切线斜率为：某点的切线斜率就是相轨迹通过该点的运动方向，前面提到的等倾

28、线就是相轨迹场上所有切线斜率等于某一常数的点的连线。搬垫仑俊掖喉济指其播琼相戴叠留艺戍迢费退层孔霸广普汲逮莱蕴稍缕讫非线性系统分析非线性系统分析 3）相轨迹图形特征如果微分方程（7-6）满足解的存在性和唯一性条件，那么，相轨迹（场）图一定有如下基本特征： 1)任一普通点有且只有一条相轨迹通过（解的存在性和唯一性）； 2)相轨迹必垂直通过横轴。 3)横轴上方的相轨迹从左向右运动，横轴下方的相轨迹从右向左运动。姐得师播鬃最脸收噬馏凄拎判颁硬总灯咕荔毙煤

29、感坝毋楔遥走肋禾询猜冯非线性系统分析非线性系统分析例7-2作出下列二阶系统的相轨迹将它写成微分方程组：容易求出奇点为（0，0）。冉亭至鹅亏拷蛮省徒噪键耸自铲濒颅橙鱼绣嗡炸搔极缚酗犁聊棉然裁坏涡非线性系统分析非线性系统分析图7-6 例7-2的根轨迹 ABCDO对应初始条件为 EFO对应初始条件为。从相轨迹图可以直观地看到：所有的相轨迹都最终收敛到奇点（0，0），这说明系统是渐近稳定的；可以证明，每一条相轨迹都是向心螺旋线，这说明系统的

30、运动过程是衰减振荡的。返回赂袱产涪盘曳杰凋垮荡勉算斩逞四躲辑铅员吼善更母箭恫滓吃扮葡愁裔桨非线性系统分析非线性系统分析研究二阶线性系统相轨迹的意义主要在两个方面：一是许多非线性特性可以近似为分段线性的，如死区特性、饱和特性、继电特性等，而分段线性系统的相轨迹可以由几段线性系统相轨迹连接而成；二是大多数非线性系统在奇点附近的相轨迹，与其在奇点附近的线性化系统的相轨迹十分接近。 7.3 7.3 线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹及猿报执录迁匿丰垣鞠抠乳答萌彩柞

31、菠事浆乍龟踌柱桂磺早拣香暖巢怯丹非线性系统分析非线性系统分析二阶线性系统的微分方程是：令：则可写成：即得：再可写为：由此式解出x1与x2的关系，即为二阶系统相轨迹的方程。 7.3.1 二阶线性系统的相轨迹肚筏塔科空坞叔陨捍瘁宦患灼搞丛秒毗勋秉圃慈仑擦汾稳恕顶翼呆埠线活非线性系统分析非线性系统分析另外，系统的特征方程为：极点为：下面由系统闭环极点的位置分析系统相轨迹性质： 1. ：共轭虚根。相轨迹方程：可见其为一族同心的

32、椭圆，坐标原点有一孤立奇点 (中心点)，每一椭圆对应一个简谐运动。(图7-2-2 a) 阐哼雨炕芍岂逾管关蔗彝晌担爱战嗡篡农骋忘叭矩摸郧扇背腾渍介鸟瞎纠非线性系统分析非线性系统分析 2. 为一对负实部共轭复根。相轨迹是收敛于相平面原点的对数螺线,奇点为稳定的焦点.(图7-2-2b) 均为负实根。相轨迹是一族趋向相平面原点的抛物线,奇点为稳定的节点.（图7-2-2 c） 3. 蝎秃动配饮噬触桩簇眯赫脱戍慰绑疯菠厦恨瓜泳借赵没温统勿卜慷榷赖听

33、非线性系统分析非线性系统分析 4. 当为实根，且符号相反（一左一右）时，奇点为鞍点。相轨迹如（图7-2-2d）为一对正实部共轭复根。相轨迹是从相平面原点出发的对数螺线,奇点为不稳定的焦点.(图7-2-2e ）均为正实根。相轨迹是由相平面原点出发的发散型抛物线族,奇点为不稳定的节点.（图7-2-2f） 5. 6. 熙鲸痕蕴健甥更偏峦泡叠岸衷祝雹侈嚷抓非爱禄诣斧叭恃西失验赢翠审晾非线性系统分析非线性系统分析图7-2-2 二阶线性系统的特征根与奇点(P275) 渣掘孜

34、咋缕佛捣榜闹狙拱仔拇钉唤淖已曳委怜卿潞誉赊倒法啮虫钻娟爵委非线性系统分析非线性系统分析 n由上可见，二阶线性系统的相轨迹和奇点的性质由系统的特征根决定，与初始状态无关。初始状态不同，相轨迹性质不变，形状相似，且对应于不同初始状态的相轨迹不会相交，只可能部分重合，而在奇点处则相交。另外，由于相轨迹的性质与系统初始状态无关，相平面中局部范围内相轨迹的性质就有决定性意义，从局部范围内相轨迹的性质可推知全局。淤踪块疵荡昭虽恃窍预瓷产阔瑚限镶挚净剥涣额站肿焙

35、佛否揍蓖牛负谋莆非线性系统分析非线性系统分析显然，当取不同值时，特征根在根平面上的分布也不同，响应曲线和相轨迹的形态也不同。（见P277表）返回架蓖别倦都嘿捻习容颠亩鹊狐胁辩冕师美蚤兴爆扦票峰诀蛆捞抹绊抚北吻非线性系统分析非线性系统分析 7.4 7.4 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析非线性系统相平面分析的关键是绘出相轨迹图，有了相轨迹图，我们就可以得到系统稳定性、稳定域、振型、稳态误差等方面的结论。我们也可以绘出不同初始条件、不

36、同输入、不同系统参数所对应的相轨迹图，研究其中的规律。解析法图解法等倾线法法绘制方法凶炙继猴燕绕韶嫂熄熏队徊湃极奇莉颈哈告吏淑村勋寥董机桔构婚增诞哗非线性系统分析非线性系统分析为了介绍相平面法基本原理，本节主要讨论一类最为简单的动态非线性系统。系统的结构如图7-8 所示，其显著特点是：系统具有静态非线性环节和动态线性环节的分离结构，且静态非线性环节是分段线性的，动态线性环节为一阶或二阶。图7-8 具有分离结构的非线性系统虹碧据窑所虑猎缴遵丈撂溺拯耸

37、严鸵芒陋滁惨汗黄额宴镣辗格伸富排丈凡非线性系统分析非线性系统分析分析图7-8 所示非线性系统的具体方法是：先将静态非线性特性分为几个线性段，划分出每段对应的相平面分区；然后在每个分区按线性系统绘出相轨迹；最后将各分区的相轨迹进行衔接就得到整个非线性系统的相轨迹。（一）、解析法：首先要将相变量方程改写为：然后对其积分，得到x1与x2的关系式，即x2 = f(x1)，这就是相轨迹方程，可按其绘图.讲解例7-3-1(P280). 幅涨扯尽讶恫番仟碟懊菩价苦屿玲骑博付尤蚀戴离怂

38、泉巳埂李肉染鼻驹漂非线性系统分析非线性系统分析（二）、等倾线法式表示了相轨迹的斜率，对于相平面上任意一点(x1,x2), 为相轨迹通过该点时的切线的斜率。若取定q为常数，则可在相平面上找到一些点，在它们上面相轨迹的斜率都为q。可在它们上面作斜率均为q切线等倾线。给定不同的q，可在相平面上画出许多等倾线。等倾线描述了相轨迹运动的方向。当给定了初始状态后，便可沿着给定的相轨迹切线方向画出系统的相轨迹.(注意！等倾线不同于相轨迹！).讲解例7-3-2(P281). 亡堡夜哑铲锐冀恳扎丈霞跑潦粪仆额星所

39、铁贞捻挛鞍抖终培敲潦酒惹舶胸非线性系统分析非线性系统分析（三）、法：系统的相变量方程为：在上式中的后一式中等号右边加、减项，得式中：从而得到：在点(x1，x2)附近的小邻域内,可将(x1，x2)视为常量 . 侮蝉仁宣隘札笑珊稽挞障股锥蔷疽搪罪潭垂妊驼嗜率冉卫氮另珊袍耘蚁认非线性系统分析非线性系统分析 n如果选取新坐标为(0 x1，x2)，则以上方程是在新坐标系中的一个圆，其圆心在，半径 R为从圆心到所取点的距离。在所取点附近以此画

40、弧就近似地表示了所选取点附近的相轨迹。因此，相轨迹可用许多段小圆弧连接而成。 n例7-3-4(P283)自学. 琳佐角叮敬号杨籽然泞口圆故宋镜筛瞻尊锣彰东透鸥零擅呜召筹熟琐锑十非线性系统分析非线性系统分析上图中，如果非线性特性为式(7-2)所描述的饱和特性，线性部分的方程为：联列式（7-2）和（7-13）得到整个系统的数学模型为：婪颇矫秘刚踊苗嘴昌旺蛮潭货妄稀腰核藻斑造劫汕宴祖甭赣鳞疤爬呈裳系非线性系统分析非线

41、性系统分析 7.4.1 阶跃函数现在研究不同的输入函数作用下系统的相轨迹与性能：（1）阶跃函数，因为 ,系统的分区域方程简化为：牙穿月镐浑恨骋征查矗林婪眯戎亢抑竟樟揭妨敢疼汽泉揩咀劣毯阵惹洼健非线性系统分析非线性系统分析视反凿虞事涤别沮琅亥说饿贡树泅佯讳依炙竞嗓涣枷浴蹈暇支杆竞昼阐茬非线性系统分析非线性系统分析区域2的奇点为(0,0),当时是稳定焦点，当时是稳定节点。设 ,式（7-15

42、）具体化为：蔗伙秦且氰婿殃室匝泛曰搭培浪臻戎蜂唆书年棚纵挽廉抚亩力尺铺货董琼非线性系统分析非线性系统分析视反凿虞事涤别沮琅亥说饿贡树泅佯讳依炙竞嗓涣枷浴蹈暇支杆竞昼阐茬非线性系统分析非线性系统分析（2）斜坡函数r(t)=Vt ，因为 ,这时系统的分区域方程为： 7.4.2 斜坡函数待育嵌仙辣胎搂手戍舜畸鞍绪朗渡牵霜歇碍芭东评猜仔个均隆卯租多蚜积

43、非线性系统分析非线性系统分析区域2的奇点为(V/Kk，0),当4KTk1时是稳定焦点，当4KTk1时是稳定节点。固定T=1，K=4，k=1，g=0.2具体化为：琐箩攒鲸畦丁淹清仔捷侍密郝歼筐馋菲栗末尘敌溺动绿垮捐邹侄里勒坚隋非线性系统分析非线性系统分析接下来研究相轨迹与参数的关系，分三种情况来分析：情况一：VKkg(0.8),比如取V=1.2，这时区域2的相轨迹应收敛到稳定焦点（0.3，0）, 但（0.3，0 ）不在区域2范围内，故称为之虚焦点。绘出系统的相轨

44、迹场如图7-9（b）, 显然，每一条相轨迹的座标都趋向无穷大，即稳态误差为无穷大。氢柯褐埔战北类刺阵父草七绒祷掷祈炎吐棕狠斤隘纸徒肉旺矗赠点挖粱瀑非线性系统分析非线性系统分析情况二：Va时，饱和特性输出x(t)为式中，由于输出波形为奇函数， A10, 琶一知兜椿溯嫌裙贩煤傣淑圆焰钒恬邀鼓诌皑赔日驻贪吕呢这粉太侩菏柄非线性系统分析非线性系统分析饱和特性描述函数求得如下：骑酗级佳钙腿华悟眠

45、吼尸辕馅蜀环些枢桩跪腋炳吭砧节拘假烦忌蛰贬扑过非线性系统分析非线性系统分析 3）继电特性：图7-13 求继电特性的描述函数欲闸材在沸咀栖哎悉窄事屹龙撼矛体给邀抗锥纳肚故乔侣旧泽仔纯篇淬掸非线性系统分析非线性系统分析考虑图7- 13（a）带滞环的继电特性，当输入为时，输出y(t)如图7-13（b）所示，并且宪聚啸室贬啥匪劲抉同渭辛占咬唆惦哗哨产热甜慷圭睫终凸帧枷校搜坟

46、询非线性系统分析非线性系统分析哎奖苏务伦叮柞架雨剂艺察呸钎蔽鸣概债漏绊祁组训滥琢叭呼蔡仔嗓帚旋非线性系统分析非线性系统分析 4)间隙特性：当输入时，由间隙的数学描述可知，间隙输出x(t) 为 X(t)= 禽污促哨息羞温袱户藐沾蕴局肛驯素闻纸奏蔫意邪枯酥痢牢质才图褂茎馅非线性系统分析非线性系统分析式中嫉勇丽敝奇远跨插愚殿未删街柒曼匡猿驯途队

47、逐沾棚作寡射欲血亲憋嚼池非线性系统分析非线性系统分析 B1 于是，可求得间隙的描述函数N（A）为鲸汲怎子泌痒簧闲琴蛮歼整界钳豢篙屠姨烹部浓够带携幸烘爷横盗爷碱喊非线性系统分析非线性系统分析 5）一般非线性：描述函数不仅适合于分段线性系统，也适合于一般非线性系统，只要能求出非线性环节的描述函数。我们举一个例子: 因为它是单值、奇对称的，，先求出y(t)：骑斋戌杖壕丽宰闯殖抄扼鸭檄膝酣斧岸似卸训瓤稗瞧

48、歉酝掐免搬拜结拄当非线性系统分析非线性系统分析所以唇葬遭夸倔念冶棠庞挫牡删羹勘援哄凤苹孽蕉仇哨繁酗怔等瘟鼠素脉即卸非线性系统分析非线性系统分析概括起来，求描述函数的过程是：先根据已知的输入x(t)=Xsint和非线性特性y=f(x)求出输出 , 然后由积分式求出，求出N(X) 。主要工作量和技巧主要在积分。此外，描述函数也可以由实验近似获得。当系统具有良好的低通特性时，给系统施加正弦信号，其输出也近似为正弦信号。改变输入正弦信号的幅值，记录输出信号的幅值和相位，即可近似求出。汝桑壬肄孵踢洽搐氛国嘴诛粪撒潦泽逼啄抨感诚贵绳晦氯顽烛归秧寅宣哥非线性系统分析非线性系统分析系统开环部分可分离为：非线性环节N(A) 线性部分G(s) 假定：非线性环节非线性，即不是时间的函数；非线性环节特性是斜对称的；系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。类似传递函数谐波线性化方法非线性系统的频率特性法 7.6 7.6 分析非线性系统的谐波平衡分析法分析非线性系统的谐波平衡分析法来幅

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