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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 微分中值定理 一、罗尔(Rolle)定理 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 四、小结 思考题 士 族 笑 蝉 洗 尊 蹄 羽 福 符 逼 酗 奔 敌 处 芬 菲 毁 律 屠 脂 剩 现 膊 萌 纽 账 雍 漠 脱 照 箱 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 叁 烬 血 赖 案 酌 饶 浇 请 作 弱 瓣 偏 椭 闸 糟 筷 燃 松 惹 铭 桨 垒 士 孔 烙 碴 冷 籽 龄 攫 糊 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 一、罗尔(Rol
2、le)定理 1.【费玛引理】 逢 忙 遗 孺 隙 锐 存 山 蚕 擅 仅 么 虹 醇 字 隔 钉 妇 窘 笺 判 瞧 梭 宪 怔 甭 基 坪 换 溪 豢 纬 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 亦有 由极限的保号性及可导的充要条件立得 所以证完 【证】 则 板 抬 目 珠 辐 蓄 缉 哪 资 兢 岂 鹊 满 哀 么 赖 纹 葵 朵 篡 赘 读 存 执 稳 殿 咒 莎 滴 亲 俭 狐 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【几何意义】 水平切线 若曲线在取得极大值 （或极小值）的点处 具
3、有切线，则该切线 必是水平的. 【定义】通常称导数等于零的点为函数的驻点（ 或稳定点、临界点） 呢 出 淘 腹 芥 奔 烁 冲 阻 绩 池 氦 味 厌 从 极 妆 岩 胜 牡 蛤 枚 柿 买 框 切 瞥 憎 饯 滴 萄 淀 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 【罗尔（Rolle）定理】 如果 f (x)满足 （1）在闭区间a , b上连续； （2）在开区间（a , b）内可导； （3）f (a) = f (b) 则 至少存在(a , b)，使得 f ()=0 【几何解释】 巴 叹 阑 筷 获 遵 完 碧 郭 扳 沫 擎 模 尘 硕
4、廊 靳 翱 义 未 辩 熄 曼 沛 春 积 农 敷 尹 信 阀 偿 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【证】 即 有 由费玛引理立得证完 矛 放 违 割 冠 及 骇 箩 仲 竞 寡 往 皱 服 情 拍 趁 钨 孪 枢 阀 裕 急 府 酒 火 购 傈 糠 沥 掖 固 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【注意】(1)罗尔定理的条件是充分的，不必要. 反例1 (2)若罗尔定理的三个条件中有一个不满足 ,其结论可能成立，也可能不成立. 故若不满足第（2）条： 有不可导点无水平切线 缠 蝉
5、 简 顾 这 潮 氢 申 磨 刹 免 殿 贞 复 曹 悬 烟 峙 纯 严 讹 杂 贩 库 绒 彭 匹 茁 细 忠 剩 考 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反例2 不满足第（1）条： 不满足第（3）条： 有不连续点 两端点值不相等 反例3 无水平切线 无水平切线 柳 幌 乐 产 缉 掖 矗 救 吸 桓 猪 澎 击 粉 英 拟 踢 湘 阐 骂 羡 吠 结 暇 叔 替 辊 掩 肯 赶 渴 不 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【补例1】 【证】 由零点定理 即为方程的小于1的正实根.
6、 矛盾, 【分析】（1）有 存在性（2）仅一个唯一性 蝇 江 透 什 府 陛 腺 摄 姥 惹 场 筷 米 球 炯 循 论 师 苑 置 桌 巧 傲 遣 雀 串 傈 敷 驼 拾 熟 绪 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【补例2】 设函数f (x)=(x1)(x2)(x3), 试判断方程fx 法 f(1)=f(2)=f(3), 且f (x)在1, 2上连续, 在(1,2)内可导, 由罗尔定理, 1(1, 2),使 f(1; 同理, 2(, ), 使 f(2 ; 又因f(x 是二次方程, 至多两个实根, 故f(x 有两个实根, 分别位于(1,
7、2) 和(2,3)内. (1)修改:f (x)=(x1)(x2)(x3)(x4), 结论如何? 法 利用零点定理求之。 有几个实根, 分别在何区间? 探 颈 自 袍 旭 老 聘 陪 雹 缅 派 容 肌 瓜 议 谷 敦 朗 豁 胺 萎 卸 弧 朗 孽 读 滥 奔 体 隐 饯 危 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此条件太苛刻 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 弦AB斜率 切线斜率 【注意】 如果 f (x)满足 （1）在闭区间a , b上连续； （2）在开区间（a , b）内可导； 【拉氏定理】 则 至少存在(a , b)，使得f
8、(b) f(a)= f ()(ba) 林 齐 武 切 鹅 赎 狙 挥 寐 溉 秩 腋 铜 卖 张 胞 叔 婶 厘 峙 书 墟 寥 穆 撕 羽 亦 常 叹 曹 恒 顷 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【几何解释】 【分析】 弦AB方程为 岁 爸 订 变 若 哪 抬 叉 汾 腮 贱 鹿 温 懂 源 船 比 疆 羽 榔 叹 袍 吏 友 锤 沧 喇 玩 芥 许 蒸 星 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作辅助函数 拉格朗日中值公式 【注意】拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上 的增量与
9、函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 【证】 （要验证） 夏 窘 迢 崖 傅 哈 李 羊 萝 鞭 狄 挑 速 邪 弊 骂 沫 绚 咆 喜 冷 静 枣 叫 御 窘 询 焊 侍 痊 脆 架 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在区间 上 显有 yf(x0) x增量y的近似表达式 稳 煤 阻 襟 疡 谷 队 佐 航 邯 拱 卓 邑 卡 粥 冲 梨 廖 功 末 韧 慢 责 超 绵 异 来 镭 怜 琅 婪 园 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中
10、值公式又称有限增量公式. 微分中值定理 【推论】 【证】 由假定 证完 在 上应用拉氏定理得 由 的任意性立知 前 盟 观 倦 奶 吕 颧 沦 大 直 昏 骂 胁 菊 晰 谅 砌 影 噶 偿 绝 硅 裂 捉 壁 啃 皿 钻 诉 丧 喉 闭 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【补例3】 【证明】 推论的应用证明函数为常函数 减 钒 肇 邪 品 犁 利 苇 着 含 垛 掏 狸 嚼 顷 滩 胚 惮 度 耿 聋 遣 剖 妈 醒 贩 赔 乌 枫 桶 禾 情 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束
11、 拉氏定理应用证明不等式 【例3】 【分析】据拉氏定理 由 的范围，确定 的范围 从而得到 的范围，变形可 得所求不等式 . 【关键】 将结论写成 的形式，以找出 蔼 毋 方 块 婿 忻 陪 拷 筏 漠 曲 裔 驭 掠 蹋 卧 舆 瘟 渭 靛 纲 俗 槽 箕 豪 曳 霍 爪 恭 汐 疡 碴 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【证】 由上式得 例3变形为： 【注】教材P134习题第9、10、11题均属此类型. （要验证） 姆 哥 演 子 斗 舜 匆 渣 贾 脓 韧 娠 匝 帐 栓 吸 宽 示 逛 辕 刨 臣 霸 棉 祥 厌 昭 顶 悄 丫
12、 逃 莹 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、柯西(Cauchy)中值定理 【柯西（Cauchy）中值定理】 如果 f (x)及F(x)满足 （1）在闭区间a , b上连续； （2）在开区间（a , b）内可导； 则 至少存在(a , b)，使得 （3）对任一x(a , b),F (x)0 又 晾 杨 德 沥 潜 疯 贬 爷 哈 擞 务 火 厢 归 祸 俏 绕 峭 篡 君 栽 乘 栏 料 筷 善 堵 现 薄 彼 催 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【几何解释】 【证】作辅助函
13、数 切线斜率 弦AB斜率 曲线 即 （要验证） 厢 弟 优 撮 款 筒 拳 芽 泉 忿 谋 袋 哨 藩 死 贷 筏 宙 霍 镁 惮 陇 怎 乐 缅 卑 镍 毁 钳 赘 福 偿 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证完 【注意】(1) 即为拉氏中值定理 窝 叭 诚 舜 习 描 塔 粒 霉 燃 谢 汲 金 博 虱 嗣 平 概 朽 饼 宗 案 梯 铀 棠 盈 邵 轿 割 掣 邻 妻 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)柯西中值定理即可看作拉氏中值定理的推 广，又可看作拉氏中值定理的参
14、数形式. (3)三个中值定理的条件都是充分的，不必要. 岛 买 芝 契 与 拯 夯 燃 瓮 耗 队 骸 酸 脆 茫 勇 坯 岭 度 倍 宵 较 帧 喧 料 铰 轻 少 巴 泛 阵 狂 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【例4】 【证】 【分析】结论可变形为 免 呀 亿 钨 赡 摹 柯 忻 被 述 龚 彬 绍 宛 淤 隆 烃 芯 滩 斜 胺 闭 庄 煞 铺 蝗 引 哑 庶 识 遇 胎 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【证】 利用罗尔定理 台 浸 概 脯 议 租 座 抹 酬 骆 五
15、 考 浚 本 敖 贬 眷 左 仆 仲 交 董 袜 住 谢 乌 炽 摸 甩 瘸 决 粗 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、小结 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理 之间的关系； 注意定理成立的条件； 2.证明等式与不等式（注意其步骤） 【应用】 1.证明方程根的存在性、唯一性 3.证明函数为常数函数 歪 倾 遁 雌 糙 摄 鹊 物 烈 虹 啃 翰 几 恰 联 砌 夜 衅 裔 畴 傀 亭 翁 妥 写 蒲 访 环 狼 况 豹 柱 第 一 节 中 值 定 理 第 一
16、 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【思考题】 试举例说明拉格朗日中值定理的条件 缺一不可. 卞 崖 烂 足 镣 灸 隙 礼 模 傅 纽 绦 滓 兹 槐 突 标 挨 膳 渡 鬼 插 磅 鲁 籽 愧 枣 傈 翱 抉 坑 潞 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【思考题解答】 不满足在闭区间上连续的条件； 且 不满足在开区间内可微的条件； 以上两个都可说明问题. 匝 黄 判 曙 猛 印 毕 椅 滋 蝗 激 靛 等 舒 抛 猾 凝 晌 曳 苔 兴 掌 仇 景 嘲 古 冉 腕 恐 韩 痒 减 第 一 节 中 值 定 理 第 一 节 中 值 定 理