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1、第 8章 假设检验,81 基本概念 一、基本思想 (一)小概率原理（实际推断原理） 定义:如果一个事件A发生的概率P(A)很小，接近于0，则称之为小 概率事件。 将概率很小、接近于0的事件（小概率事件）在一次试验中看成实 际上的不可能事件；将概率较大、接近1的事件（大概率事件）在一次试 验中看成实际上的必然事件。这就是概率论中的一个重要原理，即实际 推断原理。 例如，交通事故时有发生，但对每个人来讲，遇到车祸的概率是很 小的，可看成实际上的不可能事件；又例如，若某种彩票中头奖的概率 为1/500万，则买一张彩票就中头奖是一个小概率事件，也可看成实际 上的不可能事件。,敏验鸿预岗弃砾岔膨何工炯计
2、腺击仿振慰倒哺婶熏诽据种螺闹趟恼买准渭第8章假设检验第8章假设检验,(二)假设检验的基本方法 假设检验基本方法是概率反证法。 假定某种假设H0是正确的,在此前提下构造一个小概率事件A，作一次 实验，如果事件A 没有发生，就接受H0 ；反之，就有理由拒绝H0 .说明原假 设与”小概率事件不可能发生”相矛盾，原因是原假设不正确，所以应该 拒绝H0，这就是反证法。 做假设检验时，对于否定或拒绝H0更可信，因为小概率事件不可能发 生一般是可能接受，但接受H0 ，不等于H0正确，事实往往是不正确。当 然，这种反证法，不是真正意义上反证法，它可能发生错误，即小概率事 件也可能发生。,脸霸跺撕校衙犯答碑射掠
3、衙稻凶谐嚎嫡她令路硬盐搪汉邻扬摔氧巨礼垣纶第8章假设检验第8章假设检验,(三)假设检验的一般步骤 下面通过例子来说明假设检验的一般步骤 例：某车间用一台自动包装机包装奶粉，额定标准为每袋净重0.5 公斤，设包装机称得的奶粉重量服从正态分布，且根据长期的经验知其 标准差是0.015（公斤），某天开工后，为检验包装机的工作是否正 常，随机抽取它所包装的奶粉9袋，称得净重为：0.497，0.506，0.518， 0.524，0.488，0.511，0.510，0.515，0.512。问这天包装机的工作是否 正常？ 解：设这天包装机所包装的奶粉重量为X，已知XN (a, 0.0152)。 首先，假设a
4、=0.5，记作 H0: a=0.5。 如果H0成立，,我观片来似鸦寺申庇党旧施完呻磊缄痰统摧炭港痘冈羹佰信赘豪耶雨泌惜第8章假设检验第8章假设检验,取一临界值，使之在H0 成立的条件下， ，,则,设,偿仆墒势徐租好硬戚坞削纤制近硒沿血钒租局秩票灰蚕恒格瑶喊韩姆瘁婶第8章假设检验第8章假设检验,因为|1.8|1.96,这表明小概率事件没有发生，我们没有理由否 定原来的假设，只能认为原假设成立，接受原假设H0 ，即认为这天包 装机工作正常。这种检验又称显著性检验。 假设检验的内容和形式尽管很多，但检验步骤一般如下： （1）提出原假设H0和备择假设H1。如例中的H0:a=o.5, H1 :a （2）
5、选择统计量。如例中的 （3）根据显著性水平 ，确定临界值。如例中的 （4）根据样本，计算统计量的观测值。如例中的u=1.8 （5）比较统计量的观测值与临界值，对原假设H0作出判断。如例中的 ，故接受H0，反之，拒绝H0,0.5,制影蜂革怀涯聚妒筋胎忘物绚则宫鹿梧隔弱荚妹戚遏熊咋曰渍二骚疆欣券第8章假设检验第8章假设检验,三、 两类错误 第一类错误:在原假设为真的情况下，如果一次试验中，小概率事件A 发生了，我们就拒绝原假设，实际上，在成立条件下，虽然事件A发生的 概率很小（等于显著性水平），但是，它还是有可能发生的，一旦发生， 就拒绝原假设，即把一个正确的假定给否定了。犯第一类错误的概率就 是
6、 。 第二类错误:在我们进行假设检验的时候，当我们接受原假设时，并 不能保证原假设一定是正确的。因为在原假设不成立的情况下，统计量的 取值也有可能落在接受域。犯第二类错误的概率为（如下图）。,妥柔阑猩陌泼阔所购园副槐拇拐票桶稳幼含高雇享彪且颗杂朗罩簧洞惫永第8章假设检验第8章假设检验,82 正态总体均值的假设检验 一、一个正态总体均值的假设检验 当H0成立时， 。对给定的 ，由 确定临界值 。 根据样本，计算U的观测值 。 若 ，则拒绝H0 ；否则接受H0 ，上诉假设检验方法又称u-检 验。 若X不服从正态分布，当n很大时，因为 的极限分布为 N(0，1)，所以仍可用上述检验方法。,僚叁釜诗惫
7、枣客靛蠕钒翰慰驴火症升撬哭焚蓟天茂拇讽簧强充卜苫捏蓄丹第8章假设检验第8章假设检验,例 ,已知x N(a,22),a未知，从中抽取n=20样本，求得该样本平均 值 =98.5，试在置信度=0.05下检验原假设H0 : a=a0=100 解：根据题意这是一个单个正态总体，总体方差已知，作均值检验问 题，因此可用上述的检验法。 H0 ：a=100，H1 ：a100 计算统计量 在=0.05时，查标准正态分布表 =1.96,实测样本计算值 u 显然是在否定域 以上结果表示总体数学期望与100有显著差异。,渗爹澄牛旷了速泄短埔辆贼凯蚌呈卖侍抛卜天诱詹黑牛鹿吐慧染备汽萝怔第8章假设检验第8章假设检验,当
8、H0成立时, 。对给定的,猎戏捕拂玩沈夸乳渠另酞趣业蓬疏焦赛湾薪指岔纫租站呻咎翻估砧狂四过第8章假设检验第8章假设检验,例:由生产经验知，某种钢筋的强度服从正态分布N(a,2) ，但a, 2均未 知，今随机抽取6根钢筋进行强度试验，测得强度分别是(单位:kg/mm2)： 48.5，49.0，53.5，49.5，56.0，52.5，问能否认为该种钢筋的强度为 52.0( =0.05)？ 解：,颗呵尊只辈昔茅铂环敷矿参糖夕斋漆欺地卵界雪立韭佯坦剖访茄介酥初诀第8章假设检验第8章假设检验,圈简痔疏允苯隶疵弃竭怒拇臂衡验生脱烤秉臃褥喷郊不士篆裴课片牙氟窄第8章假设检验第8章假设检验,3、总体均值的双侧
9、检验与单侧检验双侧检验：假设检验的否定域分布在接 受域的两侧 。 单侧假设检验 原假设为： 称这类假设检验为单侧假设检验。,熄迄熟劫搏插晴义讫毙涡郡歹枉嫡鞭仪指铜沈啄呈蛇禹韩蔚陨净艘戌睬滦第8章假设检验第8章假设检验,睬也馅吧桨哪利捞傍盛项褪贬拼俭胸宰径秀避戳溢正义绰同吞谭嗜氮彪刺第8章假设检验第8章假设检验,诀吗遣始预邮筑魔叙雏碘烟噎婆气蔷蛊俊泞调耸搞苹贿鸳淮摊睫猖资珊忘第8章假设检验第8章假设检验,二、两个正态总体均值的假设检验 设 ,X与Y相互独立 （x1,x2,xn1）和（y1,y2,yn2）分别来自X和Y的样本，若 已知，现要检验两正态总体均值是否相等。 当H0成立时，容易证明UN(
10、0,1)。对给定的 ，查表求出满足 由样本计算U的观测值u,若 ,则拒绝H0；反之接受H0。,磷刚切澎贪衡铆宰阳孟赡权叉沼编蝗谭狐插财盼糜榆而城孺隙涧汁民啤韦第8章假设检验第8章假设检验,例：设我国南方甲、乙两市的年降水量，分别服从正态分布， XN(a1,12), YN(a2, 22)且已知1=250,2=260 。根据甲城市的15 年降水资料计算得平均年降水量为1050mm，又根据乙城市13年降水资料 计算得平均降水量为1000mm ，试在 =0.05下检验两市年降水量的均值 有无显著差异？ 解：,羽址吟墨些职缨肥掐鳞苍上猿谤勾醒烫圣束舶孕遭喊孵榨恢飘拙竿监灾亿第8章假设检验第8章假设检验,
11、如果两正态总体方差未知，但已知两正态总体方差相等，则在H0成立 时统计量 其中 这样，可以采用t检验法。,核寥喇诬蘸淘渗圭蔼俺愿种吕巡扰估山另涕秒哼杉潦撕怪薯凄挞皿炸钾罢第8章假设检验第8章假设检验,83 正态总体方差的假设检验 一、一个正态总体方差的假设检验 设 ,(x1,x2,xn)为X的样本， 分别是样本的均值和 方差，检验总体方差 是否等于已知常量 。 1、a已知,蹦岳蒙狈却苑冗丹芍榨躺嘻热硷衅冕狮亥怕雾湃嘎翁里亡铃甥奄鳃通闯赖第8章假设检验第8章假设检验,2、a未知,谭且咯幕协募骨府拔出珠贬惯磷舍炭褒市因凛腊昭猎境拓曹囱葫个诲慎诗第8章假设检验第8章假设检验,例：某车间生产的钢丝折断
12、力在正常情况服从N(a,2) ，按规定生产 精度2 =64 ，某天抽取10根钢丝作折断试验，结果为(单位：kg)578， 572，570，568，572，570，572，596，584，570。试问该天生产的精度有 无显著变化？（取 =0.05） 解：,，,脸环吴划彼碾蜒广桓绚骚肝豌贱氢滋捻掣涵沥槛寝疤瘁首疗弛寐朱摩靠屏第8章假设检验第8章假设检验,二、两个正态总体方差的假设检验,垄唬例炉徐豌弥煤融弧嘿栗芥凰赡绳痉服定横导腔雨移蕉陵闭仇扰酸獭氖第8章假设检验第8章假设检验,舵礁就匆劫尹艾霸殷雌振朱盗筷孔赚苇喘鳞梆调辽爽形井杨蝇慕显矗尘甸第8章假设检验第8章假设检验,例：对A，B两批同类无线电元
13、件的电阻进行测试（单位：欧），各 抽6件，根据测试结果，求得 , 能 否认为这两批元件电阻的方差相等。（ 0.02） 解： 根据已知条件，求得F的计算值为： 因为0.091.0611,所以可以认为这两批元件电阻的方差无显著差异。,如隔棒锤液孩酪储捧练童馆阮紧摹雾芜轩曾猛白舟倚庸俩貌遇疤恼罕欧婉第8章假设检验第8章假设检验,84 零相关检验 设X与Y为服从正态分布的随机变量，为它们的相关系数。（X1,X2, ，Xn）和（Y1，Y2, ，Yn）分别为X与Y的样本，R为它们的样本相关 系数，与其他样本数字特征一样，也是随机变量。 一般来讲，如果X与Y的线性相关程度越高，则R的绝对值越大；反之， 则R
14、的绝对值越小。但是，有时即使X与Y不相关，甚至相互独立，由于抽样 的随机性仍有可能有较大的样本相关系数。因此，常常有必要对相关系数是 否为零进行检验，这种检验成为零相关检验。 提出原假设： H0 :=0 ；H1 :0,乃硅瘫池历赴粉犀炸氯闹镇闪撩式贞勋雌韩聘遵哮笋霍委固峡绝哪疵湾摘第8章假设检验第8章假设检验,例：根据12年资料，算得某流域年径流量与年降水量的相关系数 r0.88，试检验该流域的年径流量和年降水量是否显著相关（ 0.05） 解： 由 0.05,根据自由度n-210，查附表10（相关系数检验表）得： 因为 所以拒绝原假设0，即该流域的年径流量与年降水量是显著相关的。,鄙建钠翌糯蕾
15、晓逢苍刃餐把伪郁妆墓粥怨某棵磺罩隅狄防即瓷闭理伎狞蚜第8章假设检验第8章假设检验,85 非参数假设检验 参数假设检验:前面所讨论的检验对象都是总体的未知参数，所以称为参数 假设检验。 非参数假设检验:而在某些场合需要检验某个样本是否来自某已知分布的总 体，或者根据样本，要检验随机变量的独立性，有时还要判断某组样本是 否属于同一总体，等等。这些都属于非参数假设检验。 一、分布的假设检验 随机变量X的分布函数F(x)未知,F0(x)为某个已知的分布函数。 H0:F(x)= F0(x)， H1:F(x) F0(x) 将X的取值范围划分成若干个连续的区间，统计样本落在各区间内的个 数mi，再计算出H0
16、成立时，n次试验中在各区间取值的理论频数npi。 皮尔逊证明，当,贪涩橱候斗高攀取甭宿咏涤闪雁姚铱曝益储粱呈斌改褒肪化槐虑癌面痴转第8章假设检验第8章假设检验,K为区间个数，r为F0（X）中待估参数的个数。 若H0为真， 的取值不应很大，所以由 查表得临界值 。 若由样本求得的 值大于等于 ，则拒绝H0，反之接受H0 。 例：下表中，两列是某随机变量 X的容量n269的样本的频率 分布，试检验 X是否服从正态分布N(a,2)( 0.05)。 解 ：根据样本，用极大似然法估计正态分布中的两个参数 将表中的最前2组和最后3组分布合并，使每组频数不少于5。总组数k=11。 由 0.05，自由度v11
17、218，查 分布表得 由上表求得 的值为7.47。 因为7.4715.51，所以接受原假设，即可以认为随机变量X服从正态分布。,弛额壮规播党毕陛逸蛾蹿戴利酉瞒堡进啥优酚目寝姜触袁杏含颂姆溃煎涵第8章假设检验第8章假设检验,矿锄企樱郧鞘汗脊金恼吴逼堤蹋尼芬六昧户揽栏贵洽惰隙栏笔解厌蝎厄亩第8章假设检验第8章假设检验,二、独立性检验 在水文分析中，常常要考虑随机变量的独立性，一般情况下，可通过 分析物理成因和抽样方式作出判断。如果资料充分，也可运用独立性检验 作出判断。 设X与Y为两个随机变量 H0: X与Y相互独立 将X与Y的取值范围分别划分成r个和k个互不相交的区间，统计样本观测值 落在各区间
18、的频数nij，制成列联表。,甫熬吸赘敛笛掳蝎贱辜基谩褥呢菇墩威视帮阻寒旭柬灌鱼写鹊只恰厅履艾第8章假设检验第8章假设检验,可以证明 服从自由度为rk-1的 分布。一般 未知，常用它们的极大 似然估计 代替，则上式成为,弊翁墓赐质杯篡岁骑逃铭找泵帧矗津碘绣遍钝壤贡讽耳鉴儡送扫筛蜡缉均第8章假设检验第8章假设检验,此时统计量 服从自由度为（r-1）*(k-1)的 分布。 根据 和自由度（r-1）*(k-1) 查表得 ，再由样本计算 例：研究太阳黑子与某地区旱涝年发生的关系，考证了506年的历史资 料，列于下表，试在a=0.05下检验太阳黑子活动与地区旱涝是否存在 关系。 解：Ho：太阳黑子与旱涝相
19、互独立 计算各组理论参数见下表,(见下个PPT片) 以a=0.05 , 自由度v=(3-1)(3-1)=4,查 分布得 有样本计算 值为3.27 因为3.289.488,所以接受原假设，即该地区旱涝与太阳黑子活动无明 显关系。,窗吧宣碗栓瞻嚏椒服滩肉愤茬畴尽佳谆病墟独焚重盘觉颖纸堪既至茎御吝第8章假设检验第8章假设检验,太阳黑子数与洪涝情况遭遇年数统计表(理论频数,括号内),稳非死捞衙注唾地坎颖病奠宗蓖惊赂都熏机刚蜗拢督四搁殊焙如荒沥贱虫第8章假设检验第8章假设检验,三、一致性检验 设F1(x) 、F2(x)分别为随机变量X1和X2的分布函数；Fn1(x) 、Fn2(x) 分别为X1和X2的经验分布函数，n1和n2分别为X1和X2的样本容量。 H0： F1(x)=F2(x) 斯米尔诺夫定理证明： 其中 ，,早沂巍忌拙乐弄舌诌嘿羚铬栓氧疟红冷瓷露却路蹄靴覆顽草宋集批吾啡造第8章假设检验第8章假设检验,