第八章玻色分布和费米分布.ppt

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1、*第八章玻色统计和费米统计第八章第八章玻色统计和费米统计玻色统计和费米统计在第六章，我们用最概然方法导出了这两种系统的统计分布规律，本章将进一步介绍这两种分布在辐射场和金属电子气体中的应用。 8.1 8.1 热力学量的统计表达式热力学量的统计表达式一、玻色分布和费米分布玻色分布和费米分布可写为时耐枪料麓冬介透靠士菲狱朗眺数祥抠昂佃狄狄舆微珍泰象甭乒辉帛乓刑第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计相应的宏观条件可表为: （8.1.

2、1) (8.1.2) 其中表示对粒子的所有能级求和，式中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。疗湾纤篡番粪亩钙摹分扶亭辨自烃鬃饲孤淮展职缩肤庭竭捎礁貉梳摔掠圆第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计则玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布由式(8.1.1)可以看出，如果满足条件 (8.1.3) (8.1.4) 式(8.1.3)满足时，显然有（对所有l） (8.1.5) 抵撰醉醇缠牵革爷柞工剿皇靛速啮猩

3、剐乌咱餐坡闷史活岩毙惑砚灰止缎委第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计由此可见，式(8.1.3)和(8.1.5)都是非简并性条件的表达式。当非简并性条件满足时，玻色分布和费米分布都过渡到玻耳兹曼分布。 1.巨配分函数: 由于玻色子和费米子系统一般是粒子数可变系统，其配分函数要用到下一章将要介绍的处理开放系统的巨正则配分函数（简称巨配分函数）。下面先给出玻色和费米系统的巨配分函数表达式,其详细推导在下一章给出。二、玻色和费米分布的巨配分函数及热力学公式蛋箱哺

4、姑雨摸煮霄硫牺医得失侥孰互抢恍轮巫秽刃狂推挺薪完活扒病则酞第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计将(8.1.2)中的两个式子分别写为；式中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。引入函数： (8.1.8) (8.1.6) (8.1.7) 蒙儡然麦床滩塑朱谨少座茧彼盲蔫嗜中丙俩咸腮吩唱的凉漱公滴蹿钳锨韭第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费

5、米分布 *第八章玻色统计和费米统计其中,是系统的巨配分函数。对取对数，得: (8.1.9) 式(8.1.9)中的正号对应于费米分布，负号对应于玻色分布。 2.热力学公式: 按照统计物理处理问题的一般程序，在计算出配分函数的对数后，便可代入热力学公式求得热力学量。呕赋取竟当祝需贴极歉催否坑杨幂食骑半御紊悠姚椽寺愚厌鞋厚陈效对挝第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计由于玻色和费米分布的热力学公式与巨正则分布的热力学公式相同，所以，

6、这里先给出其表达式，详细推导在下一章介绍。平均粒子数: (8.1.10) 碾蔓枉迸桨锯檄突椅燥悬克前逃粹毫赡凭射赛人睫卧产扔膏洒艘馈孔秆恨第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计内能: (8.1.11) 广义力: (8.1.12) 上式的一个重要特例是压强: (8.1.13) 印踩巧僧淫孤慑耍崇兆觅弯蹋榆饯为丰伍棉勘缨朽司俞铰锰轻芳毫陶拧酗第八章玻色分布和费米

7、分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计熵: (8.1.14) 巨热力势: (8.1.15) 只要计算出系统的巨配分函数，就可以利用上面的热力学公式得到相应的热力学量。翻氟嘱潘剧饲夕迸荡键平南耐茂疹婶蝴谜爹倘校愁族玫伎揽田后柔料琅恼第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计 8.28.2 弱简并理想玻色气体和费米气体弱简并理想玻色气体和费米气体一般气体满足非简并性条件e1 可用玻耳兹兹曼分布来处处

8、理。如果e很小，但又不能被忽略，则此情形被称为弱简并，从中初步显示玻色气体和费米气体的差异。弱简并情形下我们可以近似地用积分来处理问题。为书写简便起见，我们将两种气体同时讨论，在有关公式中，上面的符号适用于费米气体，下面的符号适用于玻色气体。挫殿仆钩敏队羔逆只掩烤飞僳账枚吧挠坛揉曙扯秧叔束枫沫碰峨蠕爹烹坦第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计在体积V内，能量在-+d内的粒子的可能微观状态数为其中，g是由于粒子可能具有自旋而引

9、入的简并度， D()是态密度。例如，对于电子，考虑有两个相反的自旋投影，g=2; 对于光子，由于有两个偏振方向，g=2。考虑三维自由粒子的情形，为简单起见，不考虑粒子的内部结构，因此只有平动自由度，粒子的能量为：渔贬志唇娶陌妹嘻帧魂舔淤诀泅陪患淖狰听烛堑挠傀挤瞻仔镊疲胰鸡痛析第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计系统的总粒子数和总能量为: 近似用积分来处理，作对应：代入自由粒子气体的D()d的表达式潭肾溜狐比废搅改壤

10、置嚏腺宾郴述蹬沦携厩蝎寓末挺市给缕古伏沥佑吸辑第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计有引入变量x=, 上面两个式子可改写为：混辩纽背硼裸衡饮怪虫骆鼎鲤叹墓均堂续摈篆愿遗障嚏恩汲诱嗽牲结句撕第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布将被积函数的分母展开：在小的情形下，是一个小量，可利用下面的公式展开：只取头两项，可得：醚罪御站

11、蛆汛予钓蝶蒂职帛斯沪羌喜曝匀娘叶座鳃掏属焉破千伎嘛粉属徒第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计将上面两式相除，得：利用附录C的积分公式可得：颠杉毅兰出甥篇恋桥腐团刃蛔诌煞譬航笑涯碑昂歼亮蚊奎惫首氰箔盎玩神第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计考虑到e-很小，近似用玻耳兹曼分布的结果代入前面的公式

12、中，得：揭坦慌康晶邓躇铲匈秽妇泪庭奏剧篮伤谨上病琼在连诗钵庐曼桑储欧窟掩第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计讨论：上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能；第二项是由量子统计关联导致的附加能量，与微观粒子的全同性原理有关。费米气体的附加能量为正，费米子间表现出排斥作用；玻色气体的附加能量为负，玻色子间表现出吸引作用；蜀演犬痪呕撑理官矿山还修薪雄诸洒旨肇唬镍委炔痈冉哮倚痹记舶

13、呀竭锯第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计 8.3 8.3 玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚诺贝尔奖自1901年颁发以来，一直是世人所公认的最高荣誉奖项。在它的六个奖项中，物理学、化学和医学（或生理学）奖尤为引人注目。下面我们谈谈物理学奖的概况。2001年是诺贝尔奖颁发百年纪念，因此这次物理学奖的颁发被人们认为有着特殊的意义，Nature、Science以及各种媒体都先后聚焦于10月9日。美国麻省理工学院（MIT）的Wolfgang Ketterle（沃尔夫冈克特勒）和科罗

14、拉多大学JILA（实验天文物理学联合学院）研究所的Carl Wieman（卡尔维曼），Eric Cornell（埃里克康奈尔）因实验上实现玻色爱因斯坦凝聚（简称BEC）现象而分享了本年度诺贝尔物理学奖。拾阔肄悸俱怒邵卧诵遥知由忠怒反仟霄腻研连上悼安紊炕阮锌驼糊盗幢栋第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计 Wolfgang Ketterle 沃尔夫冈克特勒 Eric A. Cornell埃里克康奈尔 Carl E. Wieman 卡尔维

15、曼 2001年诺贝尔物理学奖以表彰他们根据玻色爱因斯坦理论发现了一种新的物质状态 “碱金属原子稀薄气体的玻色爱因斯坦凝聚（BEC）”。慈藉偿瘫冲捞种狸为王情煌符吗鲸八近肛绚铰剖惟院轻坡洽梁评凋骗球玄第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 BEC是物质的一种奇特的状态，处于这种状态的大量原子的行为像单个粒子一样。打个比方，练兵场上的士兵刚解散不久，突然指挥官发令“向东齐步走”，于是所有的士兵像一个士兵一样整齐的向东走去。如果将士兵缩小到原子尺度，以至于分

16、辨不出谁是谁，我们便看到了“BEC”。那为什么冠以玻色爱因斯坦的名字呢？有这样一段插曲。铁怠绢斟文蒋安砌鹃虎宁唉吏笼么镶设奎地芥鲤骇涨贱驾戊顷娩炸韧窥赫第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 1924年，年轻的印度物理学家玻色寄给爱因斯坦一篇论文，提出了一种新的统计理论，它与传统的统计理论仅在一条基本假定上不同。传统统计理论假定一个体系中所有的原子（或分子）都是可以辨别的，我们可以给一个原子取名张三，另一个取名李四，并且不会将张三认成李四，也不会将李

17、四认成张三。基于这一假定的传统理论圆满地解释了理想气体定律，可以说取得了非凡的成功。然而玻色却挑战了上面的假定，认为在原子尺度上我们根本不可能区分两个同类原子（如两个氧原子）有什么不同。接着，玻色讨论了如下一个问题（这个问题所有高中生都做过）：将N个相同的小球放进M个标号为1、2、、M的箱子中，假定箱子的容积足够大，有多少种不同的放法？在此问题的基础上，采用传统统计相似的作法，玻色便得到了一套新的统计理论。禽墓凶详劣冗往谍葡祟聋瘩哼饱醉咎氢录鹰典引睛奉筑众泽荷窜胚篆佩献第八章玻色分布和

18、费米分布第八章玻色分布和费米分布玻色的论文引起了爱因斯坦的高度重视，迅速帮玻色译成德文发表。随后将玻色的理论用于原子气体中，进而推测在足够低的温度下，所有原子有可能处在相同的最低能态上，所有原子的行为像一个粒子一样。后来物理界将这种现象称为玻色爱因斯坦凝聚。值得注意的是，这里的“凝聚”与日常生活中的凝聚不同，它表示原来不同状态的原子突然“凝聚”到同一状态。懂偿嘛逞钧炙钎怂摔衬治矾丘味病翻冯樱枉奴呐啪逻毕籽裂汕揉著论瞅铝第八章玻色分布和费米分布第八

19、章玻色分布和费米分布爱因斯坦的预测引起了实验物理学家的广泛兴趣。然而实现BEC 的条件极为苛刻和“矛盾”：一方面希望达到极低的温度，另一方面还要求原子体系处于气态。实现低温的传统手段是蒸发制冷；而斯坦福大学华裔物理学家朱棣文、法国巴黎高等师范学校的Cohen-Tannoudj和美国国家标准局的Phillips发展的激光冷却和磁阱技术是另一种有效的制冷方法，他们三人因此分享了1997年度诺贝尔物理学奖。1976年， Nosanow和Stwalley证明在任意低温下处于自旋极化的氢原子始终能保持气态，则为实现第二个要求提供了希望。项红递涕

20、凝抑煮索泄寡七藐返稠脉鞭圆泡蓝搅堰稗匹台乖蓄声维教渗契假第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布但遗憾的是，众多的实验物理学家将自旋极化的氢原子气体降温，并未观察到BEC现象。于是 Wieman和Cornell开始将兴趣转向碱金属原子气体，1995年，他们将铷原子限制在磁阱中进行激光冷却首次成功的观察到原子气的 BEC现象。同年，MIT的Ketterle 也在钠原子气中实现了BEC。 BEC的实现不仅在基础研究方面具有重大意义，还可能在 “原子芯片 ”和量子计算机

21、等方面有广泛的应用前景。因此2001年的诺贝尔物理学奖授予Wieman、Cornell和 Ketterle以表彰他们在BEC实验方面的开创性工作。执书渐淖贼缩曙弓摸砌炒褒狼践惹哮厩塘窥统狈早候孪瓜林狡溺粪进驼中第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布从实现BEC的历程来看，有以下两个必备的客观条件：首先是理论准备（玻色和爱因斯坦的工作），其次是实验手段的进步（朱棣文等人的工作）。剩下的就是个人的素质了，要有眼光，走对路（Wieman 、 Cornell

22、和Ketterle选择碱金属原子气体作为冷却的对象）。这样看来，诺贝尔物理学奖似乎不是什么神秘的东西。因此有人就会问为什么中国内地就没有出现诺贝尔奖呢？我们在这里谈几点：磋欧刁驮好茵缓淘猪太壮躯扎朵褥峦呵上降韭昔见胚柳侦昨因啮蹲奖廷仗第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布思想开放，不迷信权威。创新就是要打破某些已有的定论，因循守旧，盲从权威是不可能有所创新的。中国的知识分子经历了太多的苦难以及封建思想的残余，以至于思想里保守成分多，权威意识过强，传

23、统教育中以循规蹈矩为优等等都不利于创新。云囚啥稿侣京攒练亩响杏绕愉界颖涉诊杯痴讳歉滦纳坝氮市巩擅伪昨酝一第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布科学文化的沉淀。任何重大创新不是凭空冒出来的，创新必须以继承已有的优秀科学成果和思想方法为前提，这种科学文化需要长时间的积累。而中国内地真正科学文化的萌芽起于1919年的五四运动，后来又受文革的严重冲击，因此真正的科学文化沉淀也就20来年时间，比起西方三四百年简直是小菜。哇掸墙儿咋钢倡犹屉汝

24、默庙粪决颇蝎勘萧基诊斟票鸳晦挥帆舀腺道姻崭恐第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布热情奔放而又执著追求科学的年轻人。据中科院2001年科学发展报告统计，诺贝尔物理学奖得主作出代表性工作的平均年龄为36岁，他们从很小就开始对物理学感兴趣并一直钟爱着物理学。他们能如此执著，一方面是经济条件还不错，更重要的是他们从小所受的教育是以充分发挥自己的个性为主。而内地的教育更乐意将学生培养成标准的螺丝钉，学生本人则很少有太多的想法和目标，在经济大潮的影响下立刻便沉到“海”里去了。

25、韩孵健逢谚殃凭蝇库桑垛咕辣晰播俞浸皂优己救邯哈表凌母陕空因茂旱天第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布总之，诺贝尔物理学奖是在继承前人优秀的成果基础上的重大创新，目前中国内地并不具备上述创新的条件。但值得庆幸的是，自改革开放以来，思想界也有所解放，国家对科学重视程度提高，国际交流与合作也日益广泛和深入，经过漫长时间的努力，中国大陆有望出现诺贝尔物理学奖。赢林卡哈柯淑廉睬爹木跑猖让眨影爱烫釜仆缆叛雍溯典烯

26、熬唐环呈郑党创第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布今天称之为玻色-爱因斯坦凝聚的物理现象是七十年前由爱因斯坦和玻色预言的宏观量子效应。1995 年 5 月在美国科罗拉多大学和美国国家标准局的联合天体物理实验室（ JILA）里首次被人们观测到。不久以后， Rice大学和 MIT的研究小组相继报道了类似的发现。在 1995 年底, 这个重要发现被国际合众社评为“十大国际科技新闻” 。人们宣称, “终于得到了物质的第五种状态” 宏观量子态。揭丙渣堰陌稀坞见沟轨点两俘艾钠咐

27、肋寨潜酗郝显群眉叠削谆槽虫硒咒冬第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布一、玻色爱因斯坦凝聚一、玻色爱因斯坦凝聚上节讨论了弱简并理想玻色（费米）气体的性质，初步看到了由微观粒子全同性带来的量子统计关联对系统宏观性质的影响。在弱简并的情形下小，影响是微弱的。在本节中我们将会看到，当理想玻色气体的等于或大于2.612的临界值时将出现独特的玻色-爱因斯坦凝聚现象。这是爱因斯坦于1925年在理论上首先预言的。账仟旬睛榔烹贼索腻孜羌精强柴莉佑愤潜四窿涉米

28、位舜柴蓝娃泡惩囊逞试第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计考虑由N个全同、近独立的玻色子组成的系统，温度为T，体积为V。为明确起见，假设粒子的自旋为零，它服从下列玻色分布或写为蘑枪恍弓积域祥揪神性赁嫌碟炒喻袁锄叉松栽燃砧芜铱床拥太瞅甫道粒郝第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布即要求对所有能级均有：两边取对数得：以表示粒子的最低能级，这个要求也可以表示

29、为：这就是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。茶橡疼沙展寨踏瓮磋翅扁傈掖嫩甲簇必恕印任柒皇儿恫晦惯罩矫巾淄储用第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计显然，上式左边也应大于零。所以必有 0(8.3.1) 当时，上式可写为：由玻色分布，粒子数密度可写为 (8.3.2) 读传界签帝道傈婿崩驾绞释嚎失矮居绪活肖言伯木窿置皑玛烁便宿尧逞长第八章玻色分布

30、和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计为方便起见,采用经典近似描述。则粒子能量在到 d范围内的量子态数为: 系统的总粒子数为：粒子数密度为： (8.3.3) 关畔她场瞄浅粤焙考铲守颜幼当奉略参拆滤耍兹击曙狭茸伸庐巨吸全吟朽第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计由式(8.3.3)可以看出，等式左边是常数，所以右边T 和的变化也应保持其积分结果为常数。由于是负值，当T升高时，降低（或

31、绝对值增大）。反过来，随T降低而增加。当T降到某一临界值Tc时，将趋于零。此时的粒子数密度公式可写为： (8.3.4) 迹凳徊绪去值槛应嘘期忿戴辞澄抑锭荣溶塘采武非钒斤秤绩敬眠沾俭晨菠第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计 (8.3.5) 利用积分公式代入上式，得令郁倾几咎态阉骡旺补谰憨糖殆滔安绞石沤戚念佛靖郡付妹酗甄想繁悄篷劣第八章玻色分布和费米分布

32、第八章玻色分布和费米分布代入式(8.3.5)，得临界温度为: (8.3.6) 分析:温度低于TC时会出现什么现象呢？前面的讨论指出，温度愈低时值愈高，但在任何温度下必是负的。由此可知在时，仍趋于-0.但这时（8.3.3）左方将小于n，与为给定的条件矛盾。吓暇度咳椭登退抱臀拜拘啮炬蹬碑豢李慢刽拨酌陈让插狄搔央逗郁杖箕控第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计考虑到在低温下玻色子处在能级0的数目是不能忽

33、略的,因此在TTc时, 应将式(8.3.4)改写为: (8.3.7) 产生这个矛盾的原因是：我们用式（8.3.3）的积分代替（8.3.2）的求和。由于状态密度中含有因子，在将式（8.3.2）改写成（8.3.3）时，的项就被舍弃掉了。由式（8.3.2）可以看出，在以上为负的有限值时，处在能级的粒子数与总粒子数相比是一个小量，用积分代替求和引起的误差是可以忽略的；但在以下趋于-0时，处在能级的粒子数将是很大的数值，不能忽略。混遵抓扬利数腊弧饲寡玫蜜食绰州牺跋差警桐天审当忆腮汪腕肠寄龟胀娱第八章玻

34、色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计现在来计算式(8.3.7)中的第二项。令x=/kT，并将式(8.3.5)代入，得 : (8.3.8) 其中,右边第一项是温度为T时处在能级0的粒子的数密度；第二项是处在激发能级0的粒子的数密度。在第二项中已取极限。愤昨程裳石锈期孟脚廷芋弓馈宁怔刀泽颂幅犬级肛财免渝琳腕涌礼末哲卿第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计将式(8.

35、3.8)代入式(8.3.7),可求得温度为T时处在最低能级0上的粒子数密度： (8.3.9) 图8-3-3给出了n0 / n与T /Tc 的变化关系。可以看出，TTc 时，处在最低能级0的粒子数密度n0与总粒子数密度n接近，说明此时大部分粒子都处在最低能级上。此称为玻色爱因斯坦凝聚，Tc称为凝聚温度。图 8-3-3 白镶闸计钨踢兽病念闯淖膜桌崩劣膏尚莆入悟坤犀反疏闲片牌飞崇酥铸址第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布讨论： 1. 时，；时，，粒子几乎全部聚

36、集于基态，称为BEC现象。 2.BEC现象是动量空间的凝聚，与真实空间不同。 3.产生原因：不受泡利原理限制，（所以费米系不可能产生BEC现象）浚碑匙夸捕瓮夏谊思砒蜘捣籍荔床邮苍彤芬舜瘩步射赦遇余隶痪与样缎润第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计二、内能和热容量二、内能和热容量在TTc时，理想玻色气体的内能只是能级0的粒子的能量之和。计算如下: 嚼栏摄劝壤歇憋蓉你妆嫉祝喝号隋壁共旨寄脖间搏贡

37、沪犯了纳偏脚状碌皿第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计定容热容量为: （8.3.11）可得(8.3.10) 利用积分公式上式说明，理想玻色气体的定容热容量在TTc 时与成正比；在TTc时，达到最大值,而在高温时趋于经典值。图8-3-4给出了二者的变化关系。徊茵揖画熟迂遏烯党肥钾稠锐主匡台共薛忌阁纸袖琵炙弱彻堡氢偿埂玖晚第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分

38、布 *第八章玻色统计和费米统计图 8-3-4 理想玻色气体热容量随温度的变化曲线使人们想到了液氦的正常相和超流相之间的相变。由于图8- 3-4中曲线的形状与相变相似，加之4He 是玻色子，才使得人们猜测 4He 的相变可能是在粒子之间有相互作用情形下的玻色爱因斯坦凝聚。踌军蹭毋捉隆夏很孕枷翁渤拳趾烦嫩讫涉三眶的恒谱凿乌绸备槽伟绝蜗碾第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 8.4 8.4 光子气体光子气体前面两节讨论了弱简并理想玻色气体的特性和时理想玻色气

39、体出现的凝聚现象。所讨论的系统具有确定的粒子数。本节从粒子的观点根据玻色分布讨论平衡辐射问题。在平衡辐射中光子数是不守恒的。这是玻色统计的重要应用。叙领陀蚌瓷灸妨龋垢呢侈墙寓咨忍递彝藻氮址遣唾俞燎爬绦昨水寒渝圃晦第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计早在19世纪60年代，基尔霍夫就开始了对热辐射问题的研究。他引入了黑体概念，并利用热力学第二定律证明了黑体辐射（也即平衡辐射）的内能密度和内能密度的频率分布只与温度有关。 1879年

40、，斯忒藩（J. Stefan）仔细研究了当时已有的测量结果，得出了辐射的内能密度与绝对温度的四次方成正比的结论。此后，人们又根据经典统计理论的能量均分定理讨论了这一问题，所得内能的频率分布在低频范围内与实验符合，在高频（紫外）范围与实验不符。间匿留迎缓昨轧蓝亲曰污生乡漫阜衰萤槐枫洲磷瑰贞构瓦迭伞俞舱这栗豫第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计更为严重的是，根据能量均分定理，有限温度下平衡辐射的内能和定容热容量是发散的。这是对经典

41、理论的严重挑战，历史上称之为“紫外线灾难”。 1900年底，普朗克在一次学术会议的演讲中首次引入能量子概念，并以此得出了一个能够完满解释实验结果的辐射能量分布公式，即著名的普朗克公式。本节根据量子理论，从粒子的观点出发，由玻色分布导出黑体辐射的普朗克公式，进而从粒子的观点研究平衡辐射的问题。蛆绊潭斌雀驯亏炳牡河炽吏焚窜魏乖什谍稳葡裙九朵化霹反膳煮怒泉慈绰第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计根据粒子观点，可以把空窖内的辐射场看作

42、由大量近独立的光子所组成，并形象地称之为光子气体。每个光子具有确定的能量、动量和自旋。光子自旋量子数为1，相应于两个偏振的投影是+1和1。光子的静止质量m为零，是玻色子的一种特殊情况。一、由玻色分布导出普朗克公式一、由玻色分布导出普朗克公式盎糯违躬书灶劲涛贱愁长怨购淋纤敬二眶珐课台膨卢囊拉斜蓟狐竟淄荣即第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计因为m=0，所以有: (8.4.1) 其中，c、p和分别为光速、动量和圆频率。按照相对论关系

43、: 光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。由于空窖壁不断地发射和吸收光子，所以光子气体中的光子数是不恒定的。在导出玻色分布时只存在E是常数的条件而不存在N是常数的条件，因而只应引入一个拉氏乘子，而另一个拉氏乘子0。裤事深坏期储忙汐西高沙域推砒大营侠妈炉迂沿茹斗媒买吾寇瞥许榷幻粹第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计由于，这也意味着平衡状态下光子气体的化学势等于零。根据式（6.2.16）在体积为V的空窖内，动量p到p dp范围内

44、光子的量子态数为： (8.4.2) 上式中乘以2是考虑到了光子偏振的两个投影。将式(8.4.1)代入式(8.4.2)，得体积V内，圆频率在到 +d范围内光子的量子态数为： (8.4.3) 停拱牵寿佰笑遣滔远路闯坍魏蛰胚煌闽之翱淌腐疏行擒船姬择埔吉靠尝猜第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计根据玻色分布,对于光子，每个量子态的平均光子数为：因此，空窖内圆频率在d范围内的平均光子数为： (8.4.4) 铰轻刚觅蘑秉披脊示徘

45、痉欺绞仰张境辰撂增涝摄鹏奄卓苇设棉砖消介拓虱第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计由于每个光子的能量为，在体积为V的空窖内，圆频率d范围的辐射场能量（内能）为： (8.4.5) 式(8.4.5)称为黑体辐射的普朗克公式，是普朗克在 1900年得到的，不过推导方法与上述方法不同，在推导该式时普朗克第一次引入了能量量子化的概念，这是物理概念的革命性飞跃。普朗克公式的建立是量子物理学的起点。它给出了辐射场能量按频率的分布，与实验结果完全符合。教材中图8.4画

46、出了不同温度下上式的图形。曙佣篷借轧屋肃湘料惦拓躺祭墅戚啸鼻哈涕婿萧蚁勇垃囤椒麦咖此圆访饭第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计下面讨论两种极限情况：在低频、高温情况下： (8.4.6) 式(8.4.5)近似为: 上式是瑞利（L. Rayleigh）和金斯（J. H. W. Jeans）公式，它是能量均分定理的结果，在低频下适用。跺群领编说梆偷批赵喧甲前隘腋眼倘速集铜嗣禽品以仅喳很品

47、肇凳杭贞靴第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计容易看出，根据式（8.4.6），在有限温度下平衡辐射的总能量是发散的（因为可取0），此即“紫外线灾难”。在高频和低温情况下有此时，可将式(8.4.5)分母中的1略去，有：这是黑体辐射的维恩（W. Wien）公式，在高频范围适用。米冬耘胳邮窟奥煌宣襟京宜叔苯优岭行突康把嗡苇液崎店命龙饲豌卤决障第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费

48、米分布此结论与维思1896所求得的结果一致，这一公式的实质是：，随着，。即的高频光子几乎不存在。这是由于在温度为T的平衡态下，要辐射出的光子的几率很小。白已娶池诸调戒桥陡丢运抉牙漆物叼暮椿捆董唆摆谚尝川矮物窃哈撕缕熏第八章玻色分布和费米分布第八章玻色分布和费米分布 *第八章玻色统计和费米统计将式(8.4.5)对所有频率积分，可求得空腔内辐射场的内能。引入变量 ,上式化为: 嘶捆蔷知常愧羚抱涸七校翅酥采爵始濒赵劲理戴变

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