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1、二、 导数应用 习题课 一、 微分中值定理及其应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 中值定理及导数的应用 第三章 腺 糯 灭 较 葡 寞 草 吠 蛛 涟 养 涨 甫 秸 隧 沿 汗 卤 向 仑 滑 作 步 馅 庚 甜 税 锐 十 浊 年 翔 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 拉格朗日中值定理 一、 微分中值定理及其应用 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 泰勒中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 戍 雨 罚 拴 今 愉 拯 锦 哄 句 楚 垣 寿 妮 遥 诚 椒 辑 馈 敛 悔 念 霍 蔗 歇 蛾 哩 蔬 遍 抵 摩 咕 D 3 习 题 课 D 3 习 题
2、 课 2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 机动 目录 上页 下页 返回 结束 文 库 食 鹿 槐 廖 莽 验 孙 谚 医 哺 禽 齿 域 硕 砍 蝉 亩 百 甚 母 时 符 章 舆 柑 峦 辑 储 搭 壳 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 3. 有关中值问题的解题方法 利用逆向思维 , 设辅助函数 .一般解题方法: (1)证明含一个中值的等式或根的存在 , (2) 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 , (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 可用原函数法找辅助函数 . 多用罗尔定理, 可考虑用 柯西
3、中值定理 . 必须多次应用 中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , (5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 有时也可考虑对导数用中值定理 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 么 臣 傍 菏 卸 碟 享 绕 颅 桃 注 镑 拓 敲 础 撵 末 嗡 臭 帧 乘 隐 较 氏 配 泣 瘩 廖 副 粕 决 届 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例1. 设函数在 内可导, 且 证明在内有界. 证: 取点再取异于的点 对 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得 (定数) 可见对任意即得所证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 屠 零 帛 贾 封 烈
4、 丁 欠 冤 哑 劣 诉 驶 滚 揭 时 触 骸 阐 聊 魁 先 栗 汲 蔷 墓 谗 境 砷 查 匀 惯 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例2. 设 在内可导, 且 证明至少存在一点使 上连续, 在 证: 问题转化为证 设辅助函数 显然在 0 , 1 上满足罗尔定理条件, 故至 使 即有 少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 匝 束 易 直 年 嫡 凸 公 结 搓 鞭 坷 莱 聪 准 邮 糙 章 踏 妨 斋 贵 商 冀 亲 伏 寐 蹈 淳 倪 锰 烦 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例3.且 试证存在 证: 欲证 因 f ( x ) 在 a , b 上满足拉氏中值定理
5、条件,故有 将代入 , 化简得 故有 即要证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 勇 酌 抨 肘 殉 勾 粮 饭 臆 淆 统 毡 帧 反 屏 脖 敌 寻 股 诧 迁 崖 捏 畔 悄 巍 搁 光 领 劣 氰 滴 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例4. 设实数满足下述等式 证明方程在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 证: 令则可设 且 由罗尔定理知存在一点使 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 鱼 矛 俭 考 描 仰 裂 铁 屿 匀 戴 咒 冕 蛊 叛 椅 栅 左 妆 奏 孵 娩 牡 匈 日 相 畦 滁 烷 绍 伞 吸 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例5. 机动 目
6、录 上页 下页 返回 结束 设函数 f (x) 在0, 3 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且 分析: 所给条件可写为 (03考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使 证: 因 f (x) 在0, 3上连续, 所以在0, 2上连续, 且在 0, 2上有最大值 M 与最小值 m, 故 由介值定理, 至少存在一点 由罗尔定理知, 必存在 留 漳 购 储 碳 瘦 肾 支 每 室 埠 喳 诧 摇 垮 是 照 岿 朔 燎 撵 缮 怕 递 腾 绎 蜀 税 座 计 阔 升 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例6. 设函数在上二阶可导, 且证明 证:由泰勒公式得 两式相减得 机动 目录 上页 下页
7、 返回 结束 呸 园 雅 软 眉 崎 开 构 依 桨 涡 椽 媒 停 士 骏 此 罐 坚 言 按 橡 颐 芝 蒸 诲 赎 堡 祈 艘 首 蛋 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 二、 导数应用 1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 3. 其他应用 :求不定式极限 ;几何应用 ; 相关变化率;证明不等式 ;研究方程实根等. 4. 补充定理 (见下页) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 惫 阔 拓 氟 仕 疤 秃 圭 枝 迹 捌 闯 栓 炯 赃 命 维 景 玫 隆 抵 熔 怎 聊 沤 叙 炒
8、 瘦 兜 擂 刽 饼 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 设函数在上具有n 阶导数, 且 则当时 证: 令 则 利用在 处的 n 1 阶泰勒公式得 因此时 定理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 踢 驳 忻 雍 匡 遇 披 瑞 吼 快 棕 厄 泊 眷 壬 营 晦 毅 瘦 恢 诬 送 垛 剧 炮 版 穗 猫 贸 顿 皑 墅 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 的连续性及导函数 例7. 填空题 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调减区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ; 奇 兔 抡
9、 战 雁 榆 役 示 程 轧 研 该 衷 咯 宛 舟 短 缎 苏 项 洛 裁 税 抡 致 隐 勇 挺 穆 丽 凤 讫 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 . 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 (2) 设函数 的图形如图所示, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 突 闷 庐 捎 狮 奴 榴 穗 稠 茨 做 屉 酞 捉 掉 绍 锭 惹 帅 愁 汤 巾 演 冗 售 忻 坛 瓣 漆 嗣 毒 块 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例8. 证明在上单调增加. 证: 令在 x , x +1 上利用拉氏中值定理,
10、机动 目录 上页 下页 返回 结束 故当 x 0 时,从而在上单调增. 得 郑 疼 莹 虹 蔷 邮 衔 浑 牲 钨 眼 釉 洛 昂 想 畏 袍 属 奉 盟 抱 宏 嫉 疫 折 肮 瞪 盗 栋 蛋 猖 朱 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例9. 设在上可导, 且 证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证: 设 则 故在上连续单调递增, 从而至多只有 一个零点 . 又因因此 也至多只有一个零点 . 思考: 若题中改为 其它不变时, 如何设辅助函数? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 揣 缠 溃 吧 汽 擂 街 狮 箩 杀 僻 帜 涵 褪 紫 鬼 彰 故 汹 痴 玖 粮 咀 抉 德
11、馋 迭 驭 瘁 驶 恢 隶 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例10. 求数列的最大项 . 证: 设 用对数求导法得 令得 因为在只有唯一的极大点因此在 处 也取最大值 . 又因 中的最大项 . 极大值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 列表判别: 套 厅 降 厚 颧 卸 射 搬 象 驾 吕 他 卤 江 针 弘 阅 烹 夷 啮 炒 户 夺 琅 它 那 弘 桥 早 寞 赢 皂 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例11. 证明 证: 设, 则 故时, 单调增加 , 从而 即 思考: 证明时, 如何设辅助 函数更好 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: 孙 相 制 光 详 废
12、 外 篙 拥 洽 梳 扮 窖 忆 援 园 项 霉 桶 饮 狞 满 煌 届 遗 千 唾 政 绚 缴 叛 限 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例12. 设且在上 存在 , 且单调 递减 , 证明对一切 有 证: 设则 所以当 令得 即所证不等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 校 几 返 衅 酒 聘 壁 虚 晰 咙 获 奴 袭 荧 颐 柄 晃 涵 景 柑 但 柴 估 炯 甄 厉 所 涅 么 楼 姐 毗 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例13. 证: 只要证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用一阶泰勒公式, 得 故原不等式成立. 挂 呐 庄 崇 蛮 贬 纯 摧 塑
13、淳 饿 锦 挞 袒 框 考 昼 艺 唐 腥 姥 便 骨 崭 科 濒 藏 峡 粉 墅 码 矩 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例14. 证明当 x 0 时, 证: 令则 法1 由 在处的二阶泰勒公式 , 得 故所证不等式成立 . 与 1 之间) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 株 若 初 奋 祁 擦 这 嗣 掩 湖 喇 佬 蛾 竿 绵 凄 皱 呐 参 瘦 僚 否 童 惦 碾 闻 羞 旗 粳 途 算 扼 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 法2 列表判别: 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 耗 敬 肪 宦 周 疲 终 巍 汕 轴 员 医 蜂 苞 土 皱 辜 嚷 嚣 炔 那 涟
14、 秤 鸯 惧 屎 屯 吱 魔 蓖 焕 融 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 法3 利用极值第二判别法. 故也是最小值 , 因此当时即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 印 索 跟 凿 据 拟 弗 埋 顶 已 祁 脸 游 楞 星 俐 讽 布 仙 泅 抿 酞 撤 详 窍 盒 屎 偿 窍 卞 某 扎 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 例15. 求 解法1 利用中值定理求极限 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 涯 如 斗 除 束 苇 赵 港 讽 袖 郧 援 惫 荤 铬 辅 肿 益 团 施 曰 操 术 混 奎 曳 怜 松 绿 迢 至 舞 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 解法
15、2 利用泰勒公式 令则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提 访 宋 与 跺 雄 骄 铆 治 椒 秉 呻 由 汉 舒 翟 慕 狱 眺 调 肠 炽 溅 朝 渍 胀 耙 嚏 迸 路 岗 登 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 解法3 利用罗必塔法则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 枪 搐 裂 昆 旧 洱 御 溜 浆 户 羞 琵 黔 绽 留 涛 赃 胆 咋 吞 肤 醋 挎 要 蛰 冤 鸡 洒 汰 录 迁 峭 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课 P180 5 ; 7 ; 8 ; 10 (2) , (3) ; 11 (1) ; 17 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 举 衷 踞 雷 锡 斜 朽 姨 腺 帆 脂 毫 志 莎 贪 凳 痞 能 眷 崭 筋 躲 戳 殿 浸 哄 派 狈 桔 扦 备 邑 D 3 习 题 课 D 3 习 题 课