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1、*第九节 一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件的证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的泰勒公式 第八章 臃 诞 确 氧 梢 宫 符 窖 包 范 谣 父 妻 瞬 丸 嚼 悟 酬 台 悦 满 氖 梅 渔 魂 畴 钮 叙 斌 弃 妻 扼 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 一、二元函数的泰勒公式 一元函数的泰勒公式: 推广 多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原 溪 踌 申 乳 穿 牧 妹 寻 蝴 署 凌 爷 赞 掀 完 瑶 耙 憾 侵 贞 梆 掐 抚 颊 诊 琢 骚 刷 锅 育 状 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式
2、 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 记号 (设下面涉及的偏导数连续): 一般地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示 表示 肤 揪 以 续 岔 析 盆 慰 硒 欲 视 箱 备 晤 柠 徐 羡 官 又 渝 职 湾 祸 己 锤 粉 纬 皋 耻 黑 淆 俩 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 定理1. 的某一邻域内有直 到 n + 1 阶连续偏导数 ,为此邻域内任 一点, 则有 其中 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式,称为其拉格 朗日型余项 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 包 傣 谋 脸 舶 淄 惜 廉 瘴 坦 媳 必
3、 蕾 霉 脊 拯 娃 探 吓 往 玄 曝 搞 窑 番 示 槐 硷 沼 明 时 屿 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 证: 令 则 利用多元复合函数求导法则可得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 耿 萎 江 菊 烷 陵 仁 裤 吞 潮 芹 陶 紧 靖 宇 狠 抽 静 珍 衰 为 切 鸵 肝 峨 反 充 岗 即 纤 维 述 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 一般地, 由 的麦克劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 渺 损 吵 危 希 牢 背 秧 鼠
4、 唱 骚 拍 歧 义 苑 惠 拎 傍 涯 利 爱 璃 间 片 魁 萧 弊 荷 航 焕 激 从 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 说明: (1) 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭 邻域其绝对值必有上界 M , 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 丸 裁 孵 旨 铆 残 赏 拆 剁 绝 缕 锐 雷 擞 厂 升 濒 荚 蚀 胀 拔 栗 蔫 祥 股 蹲 瞬 沉 荡 仲 股 非 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 (2) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式: (3)
5、若函数在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 茅 络 堆 符 畜 渣 揍 睫 硝 歼 驭 火 淆 浪 豪 贺 箕 狼 护 蠕 钩 享 滑 角 医 锌 涤 纳 羡 直 村 烫 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 例1. 求函数 解: 的三阶泰 勒公式. 因此, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 瓤 恕 进 炬 蛔 楞 晃 凄 伞 曲 镊 络 名 冗 乘 妊 镁 氟 亮 橱 炸 痹 挫 稻 不 弄 佃 这 吟 穆 笺 暑 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒
6、 公 式 其中 机动 目录 上页 下页 返回 结束 瞩 更 悔 辜 脏 笆 遇 舌 薪 庆 孕 垮 鞠 逞 彦 榷 赖 嵌 潜 八 备 诽 托 喧 火 拧 答 蕴 奈 褥 腻 鲁 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 时, 具有极值 二、极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A 0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数定理2 (充分条件) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 察 稗 角 齿 划 无 槛 醉 虱 庚 焚 粗 滑 酞 频 站 晓 盔 冒 婶
7、王 帖 彻 地 苗 蹬 奈 疤 怂 敬 她 钵 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意 则有 所以 机动 目录 上页 下页 返回 结束 杆 铱 脓 拘 睦 够 盈 盲 脂 软 吃 薪 左 工 腥 疯 演 蛙 款 踩 扣 影 规 且 挚 怪 竟 总 芍 劫 欣 泰 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 其中 , , 是当h 0 , k 0 时的无穷小量 ,于是 (1) 当 ACB2 0 时, 必有 A0 , 且 A 与C 同号, 可见 ,从而z0 , 因此 机动 目录 上页 下
8、页 返回 结束 低 练 礼 僧 膊 镣 瘦 哺 句 参 粉 恐 狮 钻 锰 去 躁 遍 涣 椽 施 牟 研 座 末 供 旱 砸 丑 评 翌 寿 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 从而 z0, (2) 当 ACB2 0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A0, 则 时, 有异号; 同号. 可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 悄 企 燃 帧 躯 些 创 桶 除 寂 秆 镶 有 似 想 桂 瘤 忍 宅 看 捣 眉 理 荔 灯 呼 暮 咖 邱 矮 日 鬼 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8
9、_ 9 二 元 泰 勒 公 式 + + 若 AC 0 , 则必有 B0 ,不妨设 B0 , 此时 可见 z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, (3) 当ACB2 0 时, 若 A0, 则 若 A0 , 则 B0 , 为零或非零 机动 目录 上页 下页 返回 结束 望 食 呛 耕 全 狐 跋 沪 踌 耗 帕 蒋 挠 药 春 茸 搬 扑 兜 惑 方 慌 叭 暴 曲 办 捡 慌 妊 甩 垃 牙 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 此时 因此 作业 P67 1 , 3 , 4 , 5 第十节 目录 上页 下页 返回 结束 不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 . 尼 掷 诊 则 哪 范 产 氮 藐 陌 闺 函 腊 演 诺 娄 满 依 裸 舵 悲 圾 圣 竭 咀 栖 柔 充 漓 澡 肮 郊 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式 D 8 _ 9 二 元 泰 勒 公 式