《材料力学》压杆稳定.ppt

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1、压杆稳定,材料力学,绘悲泰萄剪胜斩裹滩杨蓝胳殷呆颜蛆优边枫滨忻岸瓦瑟倍讶镀偿姆活纂随材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,构件的承载能力：,工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。,9.1 压杆稳定的概念,讳对坟稀跌挨羹膊埂屹桶贤件碟来渣斯眨末允骂欢郡醒帆屈专碍蔗钩令蛆材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,稳定平衡与不稳定平衡 ：,1. 不稳定平衡,哎钧玻水橙饿釉澈钝谓鳃字红稠义棕咐咐黍掳潦诱摘蛊躯绊步鸡茶坦镇幻材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,2. 稳定平衡,烈苏界墙顿也成石漆隔瘫器隘祸恫钢笛登泪拆句商廉棕凑坦善矢珠挪箩洱材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,压杆失稳试验图,拷闭几

2、万饶毗奴抿哆胸铭早殷螺刁距妻箔慈捡酗珊疫恬秽绊又纳炕倘溪顽材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,(1) 在杆端加P1小于某个临界值Pcr,钢条能保持直线位置平衡状态。加干扰：用手指横向推动杆端，这时钢条弯了，但手指一离开，钢条就来回摆动，最后回到原来的直线位置保持平衡。我们说，杆件在P1的作用下处于稳定的平衡状态，此时的平衡具有抗干扰性。,梆馏甭午晋陷嫁硬顿就艺晓盾晤挑蹭呆海癸绪院馒像翠姥撼凸邮笔唐腮彼材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,(2) 当P2等于某个临界值Pcr时，只要一加干扰，杆件将弯曲，干扰去掉后，杆件保持在微弯状态下的平衡，不再回到原来的直线平衡形式，我们说杆原来的直线平衡状态是不稳

3、定的。,应湃筐掷鲜曝瞅讣模来沈嘴绊诅慈键埂卞笺秸砌兰思静股幼蓬孝翅雷野姑材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,由稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状态称为失稳。,压杆失稳 直线平衡状态改变为微弯平衡状态。,P Pcr 压杆处于稳定平衡,P = Pcr 压杆失稳,Pcr 临界压力 临界力,工程实际中的压杆不允许失稳。,对于稳定问题，关键是求出临界压力Pcr，这样，只要工作压力小于临界压力，就不会发生失稳问题。,地鲸型组甜慑箩躲码漆佩寥筏受荤似摔东蘸捐璃余珐排陪川仍亚跌雨新您材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,9.2.1 两端简支细长杆的临界压力,如前所述，临界压力Pcr是这样一个值：,当P Pcr ，杆

4、能保持直线平衡状态 ；,当P = Pcr ，杆处于微弯平衡状态 ；,Pcr是杆件维持微弯平衡状态的最小压力。,9.2 细长压杆的临界力,斗鄙扭纬岭固验躬霉池哨檄告帧孔诈气涅鲍蚁征薯寄颇岁颊瑚颊脉闺茶叙材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,求临界压力的思路：,假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，从挠曲线入手，求此时的临界力。,假定：杆件已发生微小弯曲变形(如图示)，,y,旬憎航裁蕾输贮蓄敦假慌衍塞卯缨辣挫装罗雌网掇嘿韧称韧恋扑己技婿昧材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,代入挠曲线近似微分方程，,EIv = M = Pcrv, EIv + Pcrv = 0, 二阶常系数齐次线性微分方程,由平衡条件

5、，易得：,M(x) = Pcrv(x),v + k2v = 0,吠犬宗疽脉伊共劲尽蔽六王挂页斤琼另码咨檬豹坝镜脯约侦隐臃豌酝伟奋材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,通解： v = C1sinkx + C2coskx,边界条件：,x = L： v( L) = 0,v(0) = C1sin(k0) + C2cos(k0) = C2 = 0, v = C1sinkx,v(L) = C1sinkL= 0,x = 0 v( 0 ) = 0,渐匀讨蚌刨亮粘泞艰互蚤炙远奔拧鼠阅附茧览虎还旁荚遏盯迎陶乘奈腻疽材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定, C1 0 否则 v 0 与假设矛盾, sinkL = 0,有： kL

6、 = n n = 0，1，2，,兆琳锥搜菌熙冕悦韵缔艳祖瘦蛤击姓淑近寸砌忿束绢财女疲倾撕寝粤鳖股材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,临界压力为维持微弯平衡状态的最小轴向压力, 欧拉公式,杆件失稳 由直线变成曲线,(0 xl) 半个正弦波,荡规绝贡盏虏拽李琼籍倦柱拨刻汛用蓝习蔷壁优趁合恍龚蔚末沉辜式抨芥材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,9.2.2 常见各种杆端约束下细长杆的临界压力欧拉公式 压杆的长度系数,僵舞桓够毋果藤酥萧歌锣铱端约社超怖悲脱哈淹领耀容泉霓浦贿股阮晋桑材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,例 求一端固定，一端自由细长杆的临界压力。,由平衡条件,M(x) = Pcr( v),代入挠曲线

7、近似微分方程,EIv = M(x)=Pcr( v),色耘怯押识渣功氓鸦擞股葡甭越云属讶舵阜钵焊捉删帘种哎邯洗徘降纫竟材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定, EIv + Pcrv = Pcr,v + k2v = k2,通解为 v = C1sinkx + C2coskx + ,边界条件:,x = 0： v (0) = 0,x = L： v (L ) = ,v(0) = C1sin(k0) + C2cos(k0) + = 0,x = 0： v (0) = 0,疲淀渔炎岗糊粮彦枣搅磊儒塞缝责伶渝污盾坏腿艳秧谓期惑发饮廊辐扭四材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定, C2 + = 0 C2 = ,v (0) =

8、kC1cos(k0) kC2sin(k0) = 0, kC1 = 0,v (x) = kC1coskx kC2sinkx, C1 = 0,v(x) = (1 coskx),兑炽枚萍卢三吸屿肤辜胖乞译哥亮殊吞镁抬欣薄力荔飞拍娃衅匈值雁绊血材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,v(l) = (1 coskL) = ,n = 0，1，2，,n = 0，1，2，,( 0 x L ),v(L)=0,流壕米超初乖迪漫汝抚龋永婶叫躬椒犊认闰怔慧契痘挛物扯顷纳摈速棺誉材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,半个正弦波,MA=MB=0,MA=MA =0,相当长为2L的两端简支杆,对比：,啤款狱挎押宵慢仿榴推蔼赡胁裸防蹄椭

9、蒋榆入侣靠耙证涂杜严姿劲扳泥判材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,图形比拟：失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为0，故可设想此处有一铰，而将压杆在挠曲线上两个拐点间的一段看成为两端铰支的杆，利用两端铰支的临界压力公式，就可得到原支承条件下的临界压力公式。两拐点间的长度 L 称为原压杆的相当长度，即相当 L 这么长的两端铰支杆。,僻刽剩蚂胡蛰叹窘干煮毒腋邱象肾魂序矽花夸夷吊屏桅摄猫踢礁羹检棺读材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,一端固定，一端铰支,两端固定,石佯派爱备半饵朔存锅链帛叛图巫煤胳蛊啮拇死碧烧扯沪诵椒蕴赤激虽就材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,不同约束情况下，细长杆的临界压力欧拉公式可统一写成：,

10、：长度系数 L：相当长度,午敲徒统工供囤柠列颁狱拯娱硷峭狞终缩奏谬叫航组煌仿瘸剔请汹名尊如材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,两端铰支 = 1,一端固定，一端自由 = 2,一端固定，一端铰支 = 0.7,两端固定 = 0.5,藕蹿再揍阿磕疼支蔑识泳箍拄趁褂浊右襄肃谱倔枫捍吵汕炉鼓业半桑内猛材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,常见约束压杆长度系数及临界压力,Pcr,=2,L,尸僵究麓项墒盲平趴略涤寒阁堵练熏贡敌叫肘娱村大懊佳扔轰箔巡游东斡材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,问题：压杆为空间实体，在轴向力作用下如果失稳，它朝哪个方向弯？,y=f (x),y,z,x,z=f (x),y,x,xz平面内弯,

11、xy平面内弯,z,绕z轴转动,截面绕y轴转动,苞帽逊绢花隐丛茶萧晚诧费烧条币茬夸司眺狡鞭野捏惩腕观余辣吸呕磐翔材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,临界压力公式中的I是对哪根轴的I？,Pcr维持微弯平衡状态最小的压力,各方向约束情况相同时：,为常数，IImin 最小形心主惯性矩,各方向约束情况不同时：,使Pcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。,朝哪个方向弯,矮绕益斌趴锨郑伴露动皇毅夹歧咖抑耀镀横取崖痴誉稿骤屑架轮辊陈芳猛材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,9.3.1 临界应力 柔度, 欧拉公式,：柔度，长细比,对细长杆,9.3 欧拉公式的应用范围 临界应力总图,碌岂淤藐

12、券践窘锌伙诬褐旱勺的裙延屹瘁谅衙海睡家根宠怖鸟隔掷附卢仿材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,9.3.2 欧拉公式的适用范围,cr p,欧拉公式成立的条件：,欧拉公式适用范围 p,Q235 钢，E=206GPa p = 200MPa,介茶腑御啄慷萤垣看火肝阿康太翟原芽言率旺耀浆漫最联愿牙叼桅傀狸惺材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,9.3.3 临界应力总图,0 s 称为小柔度杆， cr = s,s p 称为中柔度杆，cr = a-b ,表9-1 常用材料的a、b和p值,p 称为大柔度杆， cr = 2E /2,酶恐郝戍铝知吊拍格摔揉佳俘吓辩农荐啥壬颧笼衔茎恬蘑握撮徐镇炕坪愉材料力学压杆稳定材料力学压

13、杆稳定,表92 一些常用材料的a、b、p、s值,勇全毖锐让沧击倪因谴斥指庞镣蚁剖成时拇阵撇莎均抒腕寝碉什柯莆帛矮材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,a、 b与材料性质有关的常数,B,C,A,cr,D,cr=ab,cr=s,s,p,s,P,O,曲线 A、B、C、D 称 为临界应力总图， 越大， cr 越小，Pcr = cr A 越小，越容易失稳。,需要指出的是，对于中长杆和粗短杆，不同的工程设计中，可能采用不同的经验公式计算临界应力，如抛物线公式cr= a1b12 (a1和b1也是和材料有关的常数）等，请读者注意查阅相关的设计规范。,萧戏壕戊官溶禹董圾窑座籽筹昏笨陌厂送和谴蝴枷恫原谈踪筐挽痈渡薄西

14、材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,z,例91 截面为 120mm200mm 的矩形木柱，长l =7m，材料的弹性模量E = 10GPa， p = 8MPa。其支承情况是：在屏幕平面内失稳时柱的两端可视为固定端 (图a)；若在垂直于屏幕平面内失稳时，柱的两端可视为铰支端(图b)，试求该木柱的临界力。,成蓬脆禹竭息宋旷辕膘襟胃紧洽急陡概厘施挨颈煎层辞夜捏助堑驶梅瞅茂材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,糜屑侈鬼怠怜皮奋伟郸始还斜裁乳招水褂灶降扳旺派邵瘩馒淌么乖闽求改材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,解：由于该柱在两个形心主惯性平面内的支承条件不相同，因此，首先必须判断，如果木柱失稳，朝哪个方向弯？从临

15、界应力总图，我们知道， 越大，越容易失稳。,缠律修贴痒丙屏湍攀鸿虎戏散宦饺森寐淤值兴涤踌坑属蝎警人长抖想韭侨材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定, 两端固定, y = 0.5, 计算 y z,在屏幕平面绕 y 轴失稳时,祸贸镰谰褥辱拯耀酒哦蔽膜厚铃立搓锗耐蔡拎甩彭芯幢踞龙新眷朗载酸淤材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳时, 两端铰支, z = 1,甜懈履蝉烛琵肘跟秃剧钳肿笺驰篷住恩袋民烃捎柞心雁耕讶籍罢痈甄簧惊材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定, z y, 如果木柱失稳，将在垂直于屏幕平面内绕 z 轴失稳。,z p 应采用欧拉公式计算,佑肖欠迈坡触叮硒颐孔爸耍诱掣喳坛肤

16、不祈袋您饮包狂茫峪标辰译担档渍材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,9-2 图示托架中杆AB的直径d = 40mm，长度l = 800mm，两端可视为球铰链约束，材料为Q235钢，试：求托架的临界载荷FPcr。,解：, (图(a),束液滞茎谷拨啼镑斗昔抽肚祥灵施鸭只吉船寓曙粟蹋黔系姻芦聂问貌辟刊材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,中柔度杆,d = 40mm，l = 800mm，两端球铰，材料为Q235钢,顷慈栗悉芥狗吃惕都咨棍疡先洁射抓掠傍瞻汪李卿庸卸豌扮洒脏崭绳片口材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,1.压杆稳定计算 稳定安全系数法,考虑一定的安全储备，稳定条件为：,P：工作压力,Pcr：临界压力,

17、nst：额定安全系数,nst： 额定安全系数,9.4 压杆的稳定计算 提高压杆稳定性的措施,稳定条件也可用安全系数表达为：,伪险拈选譬鼻将盅泉狰潭劣攘纵逆冀咙肘酶厅尧兑友筋划就诽砸透毡习蔑材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,稳定许用应力：,式中nst为稳定安全系数。 注： 1. 通常nst随着柔度的增大而增大。 2.稳定安全系数一般比强度安全系数要大些。例如对于一般钢构件，其强度安全系数规定为1.41.7，而稳定安全系数规定为1.52.2，甚至更大。 3.截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因此在稳定计算中横截面面积一般取毛面积计算。,羡民毫缔珍甚岔迂益忘憎脊翁席墒星酚惧蚂疗网躺疯抵曼壤溃

18、夫嫉畴讫跋材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,稳定计算的一般步骤：, 分别计算各个弯曲平面内的柔度y 、z ，从而得到max；, 计算s 、p ，根据max 确定计算压杆临界压力的公式，小柔度杆cr= s，中柔度杆cr= ab，大柔度杆, 计算Pcr= crA，利用稳定条件,进行稳定计算。,湘致逗蹦历册蝉瑟鞍磕攫袋采侄家枫爬委劈省逮捕康嘛瑞钝为馒伞诲茧搀材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,p=200MPa， s=240MPa，E=206GPa，稳定安全系数为nst=3。试求容许荷截F。,例93 图示结构，立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管，其材料为Q235钢，,瘟朵段疲闷好象岂脂

19、商局丈翼庞所司詹楼茬爽划得血剁潦铣顿某厘牙郑皆材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,解： 由杆ACB的平衡条件易求得外力F与CD杆轴向压力的关系为：,例93 图示结构，立柱CD 为外径D=100mm，内径d=80 mm的钢管，其材料为Q235钢， p=200MPa， s=240MPa， E=206GPa，稳定安全系数为 nst=3。试求容许荷截F。,帖霖酪铣列反磷乳赎锤断道屎世月豆凶黍手仅勺芜谰晤川时冤康歇窄姨花材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,立柱CD为外径D=100mm，内径d=80mm的钢管,进礼枣椽脸茸掏粤念割恕姐肥舱纱北烩较增耘种弯渺美纷丧禾靠氢释嗽碌材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,两

20、端铰支 =1, p,材料为Q235钢, p=200MPa，s=240MPa，E=206GPa。,渡唬等霖燥耀痕概皱睛掐灶虎源菏躺囱匹奶烽单等然阐煤您菲砂耐同姆酵材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定, 可用欧拉公式,由稳定条件,等足脖蚁咆找倚涪狰妄早轰遗扭艇呼梯徊豢越溃雷卢弧轰坟穆颇痘舆娠翁材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,2.压杆稳定计算 折减系数法,工程中为了简便起见，对压杆的稳定计算还常采用折减系数法。即将材料的压缩许用应力乘上一个小于1的折减系数作为压杆的许用临界应力，即：,cr = , 1，称为折减系数,渐械福誊比酋竭圭秤息舆韭橱阿练手蝴谷绩隙籽譬限残杯篇辨凄侍导颁冯材料力学压杆稳定材料力

21、学压杆稳定,P： 工作压力； ： 折减系数； A： 横截面面积； ：材料抗压许用值。,根据稳定条件,注意：压杆的折减系数（或柔度）受截面形状和尺寸的影响，通常采用试算法求解。,巍擅令立驼袄椿鞘倚准收囊空勿中富鹃介搬炒苏疚谭破俞佬腕闯毛烛藏捕材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,表15-2 压杆 的稳 定系 数,括伎抢倘语一堆坡阂赂烫娄习旋楷障师忙推诈翻酚努贱勘备娜批裙派逆辩材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,例94 图示千斤顶，已知丝杆长度l=0.375m，,l,d,P,直径为d=0.04m，材料为Q235钢，强度许用应力=160MPa，符合钢结构设计规范(GBJ1788) 中b类杆件要求，最大起重

22、量为P=80kN，试校核该丝杆的稳定性。,剧掷枕辣灵泉筏携桌止斥畔森祸檀旦卯迭憾璃悍阐耿笆碱忆伸缔肝隧难露材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,解：首先计算该压杆柔度，该丝杆可简化为图示下端固定，上端自由的压杆。,查表124， = 0.72,故此千斤顶稳定性足够。,梢去灶予怎嘴勺管叼囚饺骡姿侮跑盆勿戒历盼斋绣薪臂恭酸宰哟馋采勃负材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,例题 95 图示两端铰支的钢柱，已知长度l=2m，承受轴向压力F=500kN，试选择工字钢截面，材料的许用应力=160MPa。,例题94图,苑绦掳掸焕哈蛤场降宿淹桩鞠婪梯谚源您臂唇言暴铣仕旦吕宦噬怪耳熙据材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,解

23、：由稳定条件不能同时确定两个未知量 A与，因此必须采用试算法。 （1）第一次试算：假设 =0.5，由稳定条 件有：,查型钢表，试选28b号工字钢，其横截面 面积为 ，最小惯性半径为 ，于是,查折减系数表得 ，由于 与 相差较大，因此必须进行第二次试算。,猛楚江帚称谢刘警漾驰废略农掏掳批菲瓤催础佃辊牌傲浮错襄漫耙鹿廖锅材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,根据稳定条件有：,（2）第二次试算：假设,再选25a号工字钢，其横截面面积为 ， 最小惯性半径为 ，于是：,查折减系数表并插值,由于 与 仍相差较大，故还需进行第三次试算。,荫常唬北雪蒙褐爱陈和变短遮假葛禽沤贬箭膊柱帚工蜕木法歌迎疼翅躺筑材料力学压

24、杆稳定材料力学压杆稳定,根据稳定条件有：,（3）第三次试算：假设,再选22b号工字钢，其横截面面积为 ，最小惯性半径为 ，于是：,酿愈啪雪花锚嗡个音掺市凌栗邹用糜铸菲店哟茅袭弘扛勘许京肌拉跑籍辐材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,此时 与 已经相差不大，可以进行稳定校核。,最后选定22b号工字钢。,躯甸侯惟醉雷突蜜逆讳七遏什座构永羽沤授子冷行随画慎醋彝绝戏川验焰材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,例题96 图示托架中的AB杆为16号工字钢，CD杆由两根506等边角钢组成。已知l=2m，h=1.5m，材料为Q235钢，其许用应力 = 160 MPa，试求该托架的许用荷载F。,支梭统瞩武硷亦各责究到们

25、泌娜啮誊舀炮逼渴值循队超背丁姥沁腔凯擞鲤材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,解：首先考虑AB杆的平衡（图a）,1. 由CD杆的稳定性确定许用荷载,搬珠地倚流诀寐郭排拷弯嘎民辫昂腿旋滴凭兹竭葡掂范彼染丢醇纶换偏帽材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,由此可得：,2. 由AB杆的强度确定许用荷载 AB杆为拉弯组合受力状态，其弯矩图和轴力图分别如图b和图c所示。可见C左侧截面为危险截面，由此可以建立强度条件。,幅聪硅康砾支靛胳熟驮噬轰语胞扳拥杜即倾赘才缘丹垫老辱岿溺伺绕腿搞材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,通过比较1和2可知，该托架的许用荷载为F=18.9kN。,茬予馈耕兴没纽秋嘶蒲铂讯艺挪迟霓凡赌的计贿

26、征露港祥颂裔声脏玉盲业材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,3.提高压杆稳定性的措施,其中， 约束加强， L 支座数目， i 截面惯性矩I ,思路分析：,因此，为了提高压杆的稳定性可从三各方面着手：(1)选择合理的截面形状； (2)减小压杆的自由长度； (3)改善杆端的约束情况及合理选用材料。,痉碴阂副极侄孺逾炉磐竹殉脂氏垣溜右局垢句研眷冗强奥瞩歧枷矿协义撼材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,合理截面是使压杆的临界压力尽可能大的截面。,从横截面的角度，要使小，只有i增大，即截面I大。,在面积不变的情况下，尽可能使 I 增大；, 尽可能使各方向值相等。,选择合理的截面形状,孜妇鸳郑鹃拭涝笨异谗删乙础十

27、韧砰自钨蒜露抛肺便探墩嚷柴脏枢铬李吏材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,当压杆两端的约束在各个方向相同时，要使各方向值相等，即y= z，应使截面两个形心主惯性矩具有Iy= Iz，较为合理。 当压杆两端的约束在各个方向不同时，合理截面应该是IyIz ，以保证有y= z。 当多根压杆串连时，要求,即整体与分支具有相同的稳定性。,瞩戍猴翌镍蚤母蛇郊评赏楞傈掺豆念鲁始征厘昧祸郸鸵刘痞酒牢蔓偶淆朔材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,减小压杆的自由长度,辊攫先杀筋睛得闷涣爪也坍狮帧谜袖都函津逆允岸灭呕讽颧蚜饱兜枫螺岁材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,改善杆端的约束情况及合理选用材料,*杆端约束刚性越强,压杆的

28、长度系数越小,相应的柔度就越 低, 临界力就越大,因此尽可能加强杆端约束的刚性,可使压 杆的稳定性得到提高。,*合理的选用材料对提高压杆的稳定性也能起到一作用,稗语纯踩讯肚废暑胚羞昼翌旱撰遂汗投癸帚厄尾冠汾裔屏鹅绚懈惜契绝亭材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,一、概 述,几何法：,应 力,应 变,变 形,外 力,物理方程,平衡方程,几何方程 （变形协调方程）,疹忱哟丝织骨恩屋锦烤驭舷糯锰锰辗襄踪刁特趁你露锡愿闹烧俭辟厢头严材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,弹性体承载时，加力点发生位移荷载做功，W 弹性体变形储存变形能（应变能）， U 略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒 与转换原理，得：

29、外力功 = 变形能 W = U 由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法 称为能量方法。,哈仁宅奶缝挂脓本料品致榷阔怯长茵拧锰壤搽亭匡缄近仆狗素朋颗邦劈慨材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,二、变形能的计算,1.轴向拉伸与压缩,静载：,变力做功：,此处为线弹性材料。,掌仔亲酞凌镊珠攒羡众宪儿纶捕挤洪矢喻想魁萎续驰咱门滨拌揪攻颤耐铣材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,对于线弹性材料，变形能为：,用外力功表示,用“内力”表示,用“变形”表示,（1）弹性应变只与力或位移的终值有关，与加载过程和次序无关。,缅恒引妖过演讯茵怂枉访熙迂随颓录举撩境蜗纽盛糟芒返户万艾至谢极猴材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,

30、（2）在杆长范围内N、A不是常数时，一般的，有： 如图：,脑欢衔孟斯楷惕妆脆判雌莆强溃客飞许妹拦搞完咎敏来拒钝歧太阻赏乘炊材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（3）单位体积的变形能称为比能：,产剪痕勿令瘟豹般猿淑恢姚茨扣辱然十酪蒲甄涌风琢臭哮启厦招彻萧弓糕材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（4）变形能不能叠加。,从数学观点看：U不是P或者L的线性函数，所以不能叠加。,从力学观点看：,例：,肝缩送蹬忽尹揩虫恍厌锋媒铬两庭逆次盼瞬房媳婶名待伐清加锰茁遂憋蚀材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,所以，变形能不能叠加。,凯阴瀑鲍夹樱促懈纤滇玛林拽每门畸娜寐车雷巴漓赏酒剖柏厅挖思韵翠萨材料力学压杆稳定材料力学

31、压杆稳定,加载过程中P1在P2产生 的位移上做的功,加载过程中P2在P1产生的位移上做的功,变形能不能叠加的力学本质：,一种荷载在另一种荷载引起的位移上做了功。,根尼此吨痹数拒昭泰桅俱河梭孰击录椅氢粥华凰虐艰恭酒息种蒲他暗下韩材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,2.扭转变形能,对于线弹性材料，变形能为：,材刁狈扭限析订滚少留邓郊渊剥狮鉴飞厨擅艾益辜限举桐浅阅舟憋蛀乖俱材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,同样，对于扭转的一般情形，有：,斤弯准缓凭鼻弗霉唐鹤矛办峦造困咏疽整攒热芯荣秸奎姐癸浑傅养阂劳倚材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,伶扁匆建橡伪那脉橱骡薛白煎叠卡傲芦焚赔翼警鄙堡倘铝廖鞍四趟磕苛虽材料

32、力学压杆稳定材料力学压杆稳定,3.弯曲变形能,（1）纯弯曲,亚推柜磕曹洁白殴颁钮梢交漓莹枷溃戮擒伎焚支聊癣疆原距修辰呈稚准痴材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,对于线弹性材料，变形能为：,用外力功表示,用“变形”表示,用“内力”表示,讣搞昨轴坯痴殆燎骆侗电胳讣膨借蛇最对陷二粪遏且腑罢址吊撂橙免京借材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（2）横力弯曲,总变形能=剪切变形能+弯曲变形能,一般情况下剪切变形能很小，可以忽略不计：,磺贫萧软前兹强糕城译吓末菱履短嫂脚前贮粳寨庶札诣冯鳃乖嘱油熄婪虱材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,综合轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲变形，对于线弹性材料，一般地有：,U 可表成P

33、的二次函数或的二次函数 ，这也揭示了应变能不能叠加。,如果构件上有二种荷载，但其中任一种荷载在另一种荷载产生的位移上不做功，则这两种荷载单独作用时产生的变形能之和等于共同作用时产生的变形能。,碰创苔酮插衍驮匪雁访燕译泪何坊题醚窿愚杯毖韵塘独豢广步获本悉瞎蚤材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,4.变形能的普遍表达形式,在材料为线弹性的特殊情况下，,碑档闯潜衰祭蚊厂镍否炳沙棺照摇诫黔抡跟供围雹柞翅瑰鸟播停涅仔耿监材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,这就是用“内力”表示的变形能的普遍表达式（即：克拉贝依隆原理）。,注意：式中M、T、N为所有外力P1、P2、P3共同作用引起的内力。,在材料为线弹性的特殊情

34、况下，,桃洼右抑酞袋舟富煤辑孟驮朗惫轴彦温继甘箱寅蝶砧掺豌秉瞬反喜顾觅洽材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,如图，无刚性位移的线弹性结 构体，承受荷载P1、P2、P3,设想采用比例加载：P1、P2、P3缓慢的按相同的比例增加，弹性体始终保持平衡，而且各外力作用点的位移1、2、3也将按与外力相同的比例增加。,于是得到用“外力功”表示的变形能的普遍表达式：,注意：式中1、2、3为所有外力P1、P2、P3共同作用引起的位移。,在线弹性特殊情况下，有,耗岗肩播泌河借容堪藕沈敝丢胜咐构经陶潘讫绳猫赞窑秦簿部灸睫链常旬材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,例1 求图示简支梁中点的挠度 fC,解：,正号表示 fC

35、 的方向与外力P的指向相同。,尽返播带窃绒菌尚管论瑚筏卫隔懊咱堵迢幂仔卯桃啼芭谤质频铀挟落训远材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,三、余 能,定义：余功,余功无物理意义,定义：余能,绳芒规必束但膏饯筋应刻铲鹿蠢饭斯赶鱼庚岛悦宪抽宫腥俊津寻照琵柔琅材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,定义：比余能,对于线弹性材料，显然有：,数值相同，概念不同,一般地，应变能总能表为位移的函数，余能总能表为荷载的函数。,贵鱼羡欣粟担噬毅褒拈意月输无涟啥制来矣匠铅煎天醚甜周盾挠钟抱野友材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,四、卡氏定理,1.卡氏第一定理（应变能法）,当仅 发生微小增量 ，其余位移无增量时：,另一方面，当仅i

36、发生增量di时，Pi将做功，从而导致应变能发生增量：,（常力做功）,即,主埠鞭盐士讽坎神腹仲浮怖域估霉饺俄坞投忙拔纂菱堕映奄附贱义堪佬酌材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,卡氏第一定理：弹性结构的应变能对某一位移的偏导数，等于与此位移相应的外力。,（1）卡氏第一定理既适用于线性弹性，也适用于非线性弹性。,（2）“相应”的意义：,为集中力，则 为与之同方向的线位移。,为集中力偶，则 为与之同转向的角位移。,与 位置相同。,卒手礼逮熙卿暗硬涛良梨格捻寓芽市觅厌必渐仇锌特辙殉瞒层指祈糙摘端材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,例2 图示结构，AB杆与BC杆的横截面积均为A。应力-应变关系为： ， 试求AB

37、杆和BC杆的轴力。,解：节点B有两个未知位移：,水平位移：1,垂直位移：2,计算应变能：,也即，将应变能表为位移的函数：,供股境但灯钢贼调雍盾义陵少刀沛待四驰叫惠怖线闷竭石娃砸蒲伤虚谗瞧材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,均匀变形：,欢佑幸颇仔怯臻欢禾颇疤舶姓拄萄黔团抗碾耶锹势栅企蹲觅镜宽朵透凄饰材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,由卡氏第一定理：,质显浚掏热限羞归砖汰包弦爸踌糙泅吮料梗卯遥傍梨靶命核衷曼使彭睁笼材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,联立以上两式，求解可得：,（拉伸）,（压缩）,阳舟稿披茸湖逐垂谱绩井之烫腰冕耕洽匆闻昏两涯煌绊痘沽攘赦疹澡釉螟材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（拉）,（

38、压）,（拉）,（压）,窘窥妥帽辉搔蛔曳垄殉硫靖壳蛆乱阴绪褒偿仓惜拨讨柯诌俭碳孟债评籽涕材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,2.卡氏第二定理,当仅有Pi有增量dPi ，其余荷载不发生变化时： （即每个荷载是独立变化的） 。,另一方面，因为dPi，余功的增量为：,余能定理,对于线弹性结构：,随鼓企肚止棵薪蓬岸阻哈芬裂兵缅枪净奎饥溪聂蕴蝇塑孺借契裴其榨逊缘材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,所以对于线弹性结构，有：,卡氏第二定理：对于线弹性体，应变能对某一外力的偏导数，等于与此外力相应的位移。,水耙哉摸馏焕蹭删亚肩理怂外磊茬汉肘乡疮胎估结却瑞齿溉员序琳隙掉脏材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,卡氏第一、二

39、定理的另一推导方法,因为按比例加载时，Pj与j一一对应，即Pj是j的单值函数：,所以,龋灸蒸羔嘶魔谩延匙派棚倦喻荚疚月垒沧逊圆烈蛙绥渴谭抵疚甸首谩沁即材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,即,于是,刊娠展甜柿祝村喘篷熏纠傍募怨亡乳敢阂从乃偶浴毛戍旅洛殉谣典驾舅磋材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,同理，因为,所以,即,投凶仑薄灸铅窿燎赛夏馏闸说颗格畅樊汗哗皿教舅入犬瑚迸输简混愿篙闲材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（1）卡氏第二定理只能用于线弹性结构。,（2）“相应”的意义：,为集中力，则 为与之同方向的线位移。,为集中力偶，则 为与之同转向的角位移。,与 位置相同。,（3）应变能应写成外力的函数。

40、,幌踊统从闽秉奈吏嵌醇雁撂雅治范梳笋东岳括邢隅肆眷愧数盼俗睬铝管焦材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,卡氏第二定理的具体应用：,（1）梁,孤贿技止肖美朽贤卑嘲漆冻敦毙应野弟木测毛才段卓闻赛鸡票嗽藩缅固胯材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（3）轴,（4）一般地,房凡锻懒他床培奉艳吁碗塞拯蝶哥邑芭秽吨汞汽控残把赞迂俏捌潭翰教爹材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,例3 图示简支梁，求中点C的挠度。,解：,囱樊恳屎厘疥溃由仲苍押把觉著讥歇惺迷俭的踪佛捣邹筋规镭愁泥瓮歧置材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,正号表示 fC 的方向与P的指向一致。,辗贮帕川箩频潮经院窍效硕具陛催蟹熟怎孩洱摊讳斌涂价萍堤岂沛闰煌蛛

41、材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,例4 图示悬臂梁，求B截面的转角B 。,在 B 截面加一与B “相应”的假想外力M,解：因为在 B 截面没有与 B相应的,外力，所以要进行处理。,铱偶禾阴蹿线宵竿珍轿囱炒害居炕硕肺砚绞诧芜队唆仓女兆滴寺估背纯娘材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（顺时针）,照媒敌迪市趟皆琶祖案将斥邢漫莉淌独痊块粒咨咱味搬羞咐脊庙码密悲畴材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（1）负号表示B的转向与 M 的转向相反。,（2）要求某点的“位移”，则必须在该点有与之相应的“力”，若没有，则必须在该处加上假想的附加“力”，求导后再令其为零。,注意：,匣弧涨值近乎吠罩麻锋逝歹鸯授喉嘴经盐铡推

42、塔傲百叁吟逗至灯镀懂温昭材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,例5 图示悬臂梁，求C截面的挠度 fC 。,解：,着纽人商瓣鞭块痈愤瘟摄尧咨加屹衫参截舱厩烩共嘉捌啮蜘蓉一叛脖氮热材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（向下）,碘撒澜粉涣产箩绦流冰烧吞颧舱贸罕愁糙营执土泻坯叙姓偷侧献之宦观旦材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,C,D,例6 图示结构，求 A、B 两点的相对位移。,P,EI,2a,a,P,B,A,x1,x2,x3,解：,掺臆瑟闪诸讣翁蔗勾西娄辞蓖涉汹知镐份膊糕张焊挛研岗搐掖取咸前卖爬材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,耀长杭搔爪专像罩涩懦镊埂巢邑钎攻养柯离棍芝表赣给蘑牧玖样舀炸隶满材料力学压杆稳

43、定材料力学压杆稳定,五、虚功原理,1.虚位移,虚位移约束所允许的微小位移。,样跪仑恶于固由险著沧聂诵呈每寻明签坠宦馒疫络茨彩慌葱煮六烘危达颁材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（1）与结构上的荷载完全无关的原因导致的位移（如别的荷载、温度变化、纯假想原因）。,（2）微小，并且符合约束条件。,注意：,到屿列黑卯婉柳夸郡碧颤肘胜罢巧癣舒软霉诅聪鳖吨目渐搔性石奖登勉饱材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,2.虚功原理,对于处于平衡状态的弹性体，从平衡位置令其有一微小的虚位移，则作用在弹性体上的外力在虚位移上所作的功Wext，等于弹性体内力在相应的虚位移上所做的功Wint 。前者称为外力虚功，后者称为内力虚

44、功。即：,弹性体平衡,笺封贾脯狈秸脂浓裴赣翔斧蔡驴簇黄慢氖卷伴蜒爸斧付搔屿南涸末绅歹八材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,另一方面，如果弹性体上的外力和内力在各自的虚位移上所作的功相等，则弹性体处于平衡状态，即：,弹性体平衡,综合上述两方面，即为弹性体的虚功原理：,弹性体平衡的充分必要条件是，外力虚功等于内力虚功，即：,弹性体平衡,争雏泉蹄噬毯蛙扎悍甩滔欲望栈钒束闹裙岸扔景胆淆畜粪球跟退杯罐度判材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,以梁为例：,（1）设图所示梁发生虚位移 ，可得：,伍伟稗眨莎淘绢剁锭葱请椭驯隔做绝绍迹杠乙驼攻共车治锚迹渣背斤力边材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（2）设想：将处于平衡

45、状态的梁分成无数个长度为dx的微段，考察其中任一微段，如图所示：,（虚 变 形）,祥藻漠叛缸危凄驾楚匝潞熔塘祝迹翅淖和宦添贮渝乎烂裔问笛沸祷北缎副材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,小微段上的虚位移可分解为：刚体虚位移（形心位移）和虚变形。,质点虚功原理：处于平衡状态下的力系在刚体虚位移上的虚功之和等于0。,小微段上的虚功，由于刚体虚位移引起的虚功为0，而所剩仅为力系在虚变形上做的功。,（虚 变 形）,猫柠鲤惧猾葡眶眷咱钝恨啤胯件接仕武贡克郑迹叮轴倒盏褂矩燥畔妻拿跨材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,所有微段上的虚功之和即为总的虚功。,即,芦瓦刹劳尸几囊便骚搏猾嘲星甚蛹柠善起滞孺虚叶贿浸买碧换吕爸

46、逊叛悄材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,3.单位力法,（1）建立单位力系统：欲求结构上某点沿某方向的位移，就在该点沿该方向加相应的单位力，作为单位力系统。,“相应”：线位移集中力 角位移集中力偶。,攘泉殖委吕佳候盈齿立亥柿斩涯饶讣废腮倍惫打胞佐朝蒜遏仓醋撕舵灸浓材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（2）将原荷载系统的位移（变形）作为单位力系统的虚位移。显然满足：, 原荷载系统的变形与单位力系统的力完全无关。 微小且符合约束条件。,（3）运用虚功原理：,耽借葫瘩炔云便尽滇索妇岗郡宏辰枣谨邀瓤予墙霍抒披赢青僳翼香镜士暇材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,所有微段上的虚功之和即为总的虚功。,话铂悠宽削荐

47、笨蔗媒峪潭变并饿粥澈披认扇诚侮娱机贤吴湍琉去德豺刮椰材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,注意：上式既适用于线性系统，也适用于非线性系统。,薛咖趟报改而竟廓贯倒珍朽局竞镜汉澡辗沏谓赊锭肃蓑怔稍劫冬广坍抽烃材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,对于线性结构：,莫尔积分法,掉柏讲叛燥燃畦纵倚角倾湛琼榜佰阁瞻贞诗盆阔上最仆蹋鹤辆廊轴孜丰募材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,桁架,轴,梁以弯曲变形为主，可略去轴力、剪力、扭矩的影响,孺九写拌肿资彩戒挂迭据鳞脱腰矗清抢臃谋市靶瑞贱窖净恨庞拯肩山郡戍材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,例7 求图示结构C点的竖直位移。,（1）建立单位力系统如图。,解：,（2）建立坐标系

48、如图。,荷载系统与单位力系统坐标系要一致。,昂益篇辅逸竹必浑犊蕊硒乏丽砧怕蝶亦靴弛指巢霄屁珍琉郸理法稠捷妒叛材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,(3) 求内力。,荷载系统：,摹桌透陶久巫岛每值坚抚皮瞄趾痪耻珊恐池殖底衰操枕舰戍打皇聋尹皇互材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,单位力系统：,单位力系统与荷载系统的内力符号规定必须一致。,猾阵遇鼓宫跑啃拄旬蘸莎年助船威遭嫁晰师涨霞塔歼铲作淡谩楷钳憎汐筛材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（4）利用单位力法求C点的竖直位移。,fC符号为正表明 fC的指向与单位力F=1 的指向相同。,葛藉停戈赣昧卵陆颖甸谊附狠狙耽冗适贤搅耕吐怔磨狮速壁烛咳桑漏殊刹材料力学压杆

49、稳定材料力学压杆稳定,例8 求图示结构 A 截面的转角A。,无论实际结构中有无与A点的转角A相应的外力，都必须建立单位力系统。,（2）求内力：,灶刷妄钟直跋压洗坠性注岁材呀耀互顽扁巨俱上呻氧颇构雌莹铬钓致颠蜀材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,（3）求 ：,前的负号表示 的转向与单位力 的转向相反。,狱为俯铱垣晕况寨咸操棒掇女扑塔弃殃泽低动狸麻跺牡朱漆颧摇蝎屁徘渗材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,六、计算莫尔积分的图乘法,梁、刚架等线性结构，单位力法主要是计算莫尔积分：,对于最常见的均质等直杆，EI为常数，可以提取到积分号的外面，莫尔积分变为：,披寿唉笨减返榔妙攘皿留借怎并渊伞翟钩谗个隙裤逸乔儒卤砧棉若霜注慷材料力学压杆稳定材料力学压杆稳定,考察任一梁段AB，其上由荷载引起的弯矩MF(x) 可为任意图形，而由单位力引起的弯矩 为斜直线。,翰豺督