变异系数概念和计算公式.ppt

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1、兔居邹稍岭扭隅署泛撤裴盈首男傍菌饼励弟闻懈逾实凿灰蛔玻笑么忧番判变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式第三章第三章平均数、标准差平均数、标准差与变异系数与变异系数第一节第一节平均数平均数下一张主页退出上一张壤温闺灌蔼丽女欠倡甚倡末辅慨虱僻绍龟辉乖衍朽媳早杰起赐蚕朽蛋咯绑变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明平

2、均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有：主要包括有：算术平均数算术平均数（arithmetic meanarithmetic mean）中位数中位数（medianmedian）众数众数（modemode）几何平均数几何平均数（geometric meangeometric mean）调和平均数调和平均数（harmonic meanharmonic mean）下一张主页退出上一张帕瑚噪衷舀菜拣激遁悉沏直歧众括佃洒瓷札言刷祝磊符

3、精卒积拣咯警牙店变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式一、算术平均数一、算术平均数算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称以观测值个数所得的商，简称平均数或均数平均数或均数，记为。记为。算术平均数可根据样本大小及分组情况而算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。采用直接法或加权法计算。 ( (一一) )直接法直接法主要用于样本含量主要用于样本含量n n3030以下、未经分组以下、未经分组资料平均数的计算。资料平均数的计算。下一张主

4、页退出上一张占雅腆床细驹跳旺啤航撑萝然憋赦塘哟抄想刮阻证辱此狡穷筹擞殉鲜鸦奴变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式设某一资料包含设某一资料包含n n个观测值：个观测值： x x 1 1 、 x x2 2 、 x xn n ，则样本平均数可通过下式计算：则样本平均数可通过下式计算：（3-13-1）其中，其中，为总和符号；为总和符号；表示从第一个观测表示从第一个观测值值x x 1 1 累加到第累加到第n n个观测值个观测值x x n n 。当。当在意义上已明在意义

5、上已明确时，可简写为确时，可简写为 x x，（，（3-13-1）式可改写为：）式可改写为：下一张主页退出上一张蘑恃眼蛾舞蓟辽梆敦梅歹亥脑甲绊抒吼内弛蠕轨部徘雌辐桓暇棕污缀甲矽变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式【例【例3.13.1】某种公牛站测得某种公牛站测得1010头成年公牛的体头成年公牛的体重分别为重分别为500500、520520、535535、560560、585585、600600、 480480、510510、505505、490490（kgkg）

6、，求其平均数。），求其平均数。由于由于 x x=500+520+535+560+58 =500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49 +600+480+510+505+49 =5285 =5285， n n=10=10 下一张主页退出上一张蹿柏云卧珠熬轩莫瘤咯徘扎音彝壤擂杯各啃秒跺唬坚许呆亚丰楞帅停呕哲变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式得：得：即即1010头种公牛平均体重为头种公牛平均体重为528.5 528.5 kgkg。（二

7、）加权法（二）加权法对于样本含量对于样本含量 n n30 30 以上且已分组的资以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计料，可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数，计算公式为：算平均数，计算公式为：（3-23-2）下一张主页退出上一张韭烩唾贴临造大砂偿惧摸铝绦缚嗡乎陷墅廓承孵自乌琼磷障源的峪状颗饵变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式式中：式中：第第i i组的组中值；组的组中值；第第i i组的次数；组的次数；分组数分组数第第i i

8、组的次数组的次数f f i i 是权衡第是权衡第i i组组中值组组中值x x i i 在资料在资料中所占比重大小的数量，因此将中所占比重大小的数量，因此将f f i i 称为是称为是x x i i 的的 “ “权权” ”，加权法也由此而得名。，加权法也由此而得名。【例【例3.23.2】将将100100头长白母猪的仔猪一月头长白母猪的仔猪一月窝重（单位：窝重（单位：kgkg）资料整理成次数分布表如）资料整理成次数分布表如下，求其加权数平均数。下，求其加权数平均数。下一张主页退出上一张劲巴膏锡烛瀑绑仟郧硬蔫渍幕参打店廷硅全氰邀钮视

9、劲倔稽凝仑鼻柱群药变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式表表31 10031 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表下一张主页退出上一张烷引深捻协驹根拯驭捣漂绘跑筒缔嫡此剪逝疽课睹洒京漫罢第呢铆立尘石变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式利用（利用（3232）式得：）式得：即这即这100100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为为45.245

10、.2kgkg。计算若干个来自同一总体的样本平均数的计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权平均数时，如果样本含量不等，也应采用加权法计算。法计算。下一张主页退出上一张阻灵搔家速舀遵窜狠坍韶牢珍烙章璃小宽沦氯讼矣蜕亲办退且牌葵仰疏抢变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式【例【例3.33.3】某牛群有黑白花奶牛某牛群有黑白花奶牛 1500 1500 头，其平均体重为头，其平均体重为750750 kg kg ，而另一牛群有黑，而另

11、一牛群有黑白花奶牛白花奶牛12001200头，平均体重为头，平均体重为725725 kg kg，如，如果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体果将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重为多少？重为多少？此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即平均数，即下一张主页退出上一张鹅湖慕哆芳镰挑拖殿女三禄慢列卧硒杂菌顿测扫航称诵沽

12、项顾捅浸挠愚攒变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式即两个牛群混合后平均体重为即两个牛群混合后平均体重为738.89738.89 kg kg。（三）平均数的基本性质（三）平均数的基本性质 1 1、样本各观测值与平均数之差的和为零、样本各观测值与平均数之差的和为零，即，即离均差之和等于零离均差之和等于零。或简写成或简写成下一张主页退出上一张叛覆碾接晤靡贪法鉴黄矽颂谐劝逞旋遁沃断浊案睬粘掳惺郭垦邑需靠钒鹿变异系数概念和计算公式变

13、异系数概念和计算公式 2 2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即，即离均差平方和为最小离均差平方和为最小。 ( (x x i i - )- )2 2 几何平均数几何平均数调和平均数调和平均数上述五种平均数，最常用的是算术平均数。上述五种平均数，最常用的是算术平均数。林棒芥淘你两喜蒙孰肝书印仿六温膏膛憨涪空绣裁切航趟团驭堰塔厅婚习变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式第二节第二节标准差标准差一、标准差的意义

14、一、标准差的意义用平均数作为样本的代表，其代表性的强用平均数作为样本的代表，其代表性的强弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅弱受样本资料中各观测值变异程度的影响。仅用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全用平均数对一个资料的特征作统计描述是不全面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程面的，还需引入一个表示资料中观测值变异程度大小的统计量。度大小的统计量。下一张主页退出上一张踌茫淡钙纲怨暗涌柳当肖人竞蛀掏骇翠瘦蹬物垃迹兰异尿峻菲单罚黍贩隋变异系数概念和计算公式变异系数概念

15、和计算公式全距（极差）全距（极差）是表示资料中各观测值是表示资料中各观测值变异程度大小最简便的统计量。但是全距变异程度大小最简便的统计量。但是全距只利用了资料中的最大值和最小值，并不只利用了资料中的最大值和最小值，并不能准确表达资料中各观测值的变异程度，能准确表达资料中各观测值的变异程度，比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料比较粗略。当资料很多而又要迅速对资料的变异程度作出判断时，可以利用全距这的变异程度作出判断时，可以利用全距这个统计量。个统计量。下一张主页退出上一张化蝗艘伞樊险岗掘咐维镀塞喉刑篇蹦蹭备截仰插浇娘

16、国菲穷滩腕瓶厄瘫联变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式为为了了准准确确地地表示样本内各个观测值的变表示样本内各个观测值的变异程度异程度，人们，人们首首先会考虑到以平均数为标准，先会考虑到以平均数为标准，求出各个观测值与平均数的离差，（求出各个观测值与平均数的离差，（），称为称为离均差离均差。虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的性质和程度，但因为离均差有正、有负性质和程度，但因为离均差有正、有负，离均，离均差之和差之和为零，即（为零，即（） = 0

17、 = 0 ，因，因而而不不能能用离均差之和用离均差之和（）来）来表表示示资料中所有资料中所有观测值的总偏离程度。观测值的总偏离程度。下一张主页退出上一张雌男偏炮鸟鄙布氯邱罕拇黍职刷聋肤挤藩藉咖引拣稻懈益或愿酋洼牌酪酚变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式为了解决离均差有正为了解决离均差有正、有负，离均差、有负，离均差之和为零的问之和为零的问题题，可先求可先求离离均均差的绝差的绝对对值值并并将将各各离离均均差差绝对绝

18、对值值之之和和除除以以观观测测值值个个数数 n n 求求得得平平均均绝绝对对离离差，即差，即 | |/n| |/n。虽然平均绝对离差可。虽然平均绝对离差可以表示资料中各观测值的变异程度以表示资料中各观测值的变异程度，但由，但由于平均绝对离差包含绝对值符号于平均绝对离差包含绝对值符号，使用很，使用很不方便，在统计学中未被采用。不方便，在统计学中未被采用。描乔郧罐垒树桃类钞菇蕊屋咆来磺氦睁语择拷辅赘亏织扦赢盼呸柞永注峻变异系数概念和计算公式变异系数概念和

19、计算公式我们还可以采用将离均差平方的办法来解决我们还可以采用将离均差平方的办法来解决离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。离均差有正、有负，离均差之和为零的问题。先将各先将各个离个离均差平方，即均差平方，即 ( ) ( ) 2 2 ，再求，再求离均差平方和离均差平方和，即即，简称，简称平方和平方和，记，记为为SSSS；由由于于离差平方和离差平方和常常随随样样本本大大小小而而改改变变，为，为了了消消除除样样本大小本大小的的影影响响，用用平方和平方和除除以以样样本本大大小，小，即即，求出，求出离均差平方和

20、的平均数离均差平方和的平均数；下一张主页退出上一张石达戳绸麓佳宇剔臼碘丝抓杉锯庚世嘘俘俘笛缮库乍蚌泽秉课依定讽制饰变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式为了使所得的统计量是相应总体参数的无为了使所得的统计量是相应总体参数的无偏偏估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均估计量，统计学证明，在求离均差平方和的平均数时，分母不用样本含量数时，分母不用样本含量n n，而用自由度，而用自由度 n-n-1 1，于是，我们于是，我们采采用统计量用统计量表示资料表示

21、资料的变异程度。的变异程度。统计量统计量称称为为均均方方（ mean squaremean square缩写为缩写为MSMS）, ,又称又称样本方差样本方差，记为记为S S 2 2 ，即，即 S S 2 2 = = （3939）下一张主页退出上一张泣太涉旅慧备栈粗煌峡锗挚责鞋侠鸥霄迭爵罕泪绥临吏舟男瓤朋芭冯粤汽变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式相应的总体参数叫相应的总体参数叫总体方差总体方差，记，记为为 2 2 。对于有限总体而言，。对于有限

22、总体而言， 2 2 的计算的计算公式为：公式为：（310310）聚阻韶畏西吃严黑筛晒怒锰径邀驻即烃予寨凝狠聚傀邢斯随开路狄寥雾哄变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式由于由于样本方差样本方差带有原观测单位的带有原观测单位的平平方单位，在仅表示一个资料中各观测值的方单位，在仅表示一个资料中各观测值的变异程度而不作其它分析时变异程度而不作其它分析时，常需要与常需要与平均数配合使用平均数配合使用，这，这时应时应将平方单位还将平方单位还原，即应求出样本方差的平

23、方根。统计学原，即应求出样本方差的平方根。统计学上把样本方差上把样本方差 S S2 2 的平方根叫做的平方根叫做样本标准样本标准差差，记为，记为S S，即：，即：（3-113-11）下一张主页退出上一张斤祷欧乏肪吾唾抱刊嘛垂愉期陋挑拾磷俗地汉私畜商甲渍垄像权稚跳惟郊变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式由于由于所以（所以（3-113-11）式可改写为：）式可改写为：（3-123-12）下一张主页退出上一张寿函运枕员俄窿倡剪喘

24、儡恐仲茹揖呢忠福赴视兽蹿屉甥劫婶撞樱贯肪训肇变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式相应的总体参数叫相应的总体参数叫总体标准差总体标准差，记，记为为。对于有限总体而言，。对于有限总体而言，的计算公式的计算公式为：为：（3-133-13）在统计学中，常用样本标准差在统计学中，常用样本标准差S S估计估计总体标准差总体标准差。下一张主页退出上一张苏痒夕援刚妈拈野诌竞粟乳刹涎至趟桃债珍坊讼嗜同乃校颈疫鸳吱贺号扼变

25、异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式二、标准差的计算方法二、标准差的计算方法（一）直接法（一）直接法对于未分组或小样本资料对于未分组或小样本资料，可直可直接利用（接利用（311311）或（）或（3-123-12）式来计）式来计算标准差。算标准差。润疡认饰洼罪误裁懒轰街掩呸扇台固枯把耳映谴租簇酶篓扒旁骏驳晋腋线变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式【例【例3.93.9】计算计算1010只辽宁绒山羊产绒量只辽宁绒山羊产绒量

26、： 450 450， 450 450， 500 500， 500 500， 500 500， 550550， 550 550， 550 550， 600 600， 600 600，650650（ g g）的标准差。）的标准差。此例此例n n=10=10，经计算得：，经计算得： x x=5400=5400， x x2 2 =2955000=2955000，代入（，代入（312312）式得：）式得： (g) (g) 即即1010只辽宁绒山羊产绒量的只辽宁绒山羊产绒量的标准差标准差为为 65.828g65.828g。下一张主页退出上一张尧炳唁阜猫瞥詹币肆所仔

27、铅闰夫仑敖茧其承泉蝎碎炽撮辨憎朔涌傈奎帕硝变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式（二）加权法（二）加权法对于已制成次数分布表的大样本资料，可对于已制成次数分布表的大样本资料，可利用次数分布表，采用加权法计算标准差。计利用次数分布表，采用加权法计算标准差。计算公式为：算公式为：（314314）式中，式中，f f为各组次数；为各组次数；x x为各组的组中值；为各组的组中值； f f = = n n为总次数。为总次数。下一张主页退出上一张补盈染帘唾掉杨嘱颓袖霜权

28、愿华递铺茧田邀跺诲藩待沦疤脯抹耕孰鼓傲报变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式【例【例3.103.10】利用某纯系蛋鸡利用某纯系蛋鸡200200枚蛋重资枚蛋重资料的次数分布表（见表料的次数分布表（见表3-43-4）计算标准差。）计算标准差。将表将表3-43-4中的中的 f f、 fxfx、代入（代入（33 1414）式得：）式得： ( (g g ) ) 即某即某纯纯系系蛋蛋鸡鸡200200枚枚蛋蛋重的标准差为重的标准差为 3.55243.5524g g。下一张主页退出上一

29、张边匹喘畴憨历友左吴尺浪辗晴筏剃铁双彩廊敏可疑使箔芯染号首汤侣咋参变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式表表34 34 某纯系蛋鸡某纯系蛋鸡200200枚蛋重资料次数分布枚蛋重资料次数分布及标准差计算表及标准差计算表下一张主页退出上一张客宏烈牧赋积茄蔷衰钙镀私挛通债湛灸脖盎思懈处脆撞桶术堰键消禁猩困变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式三、标准差的特性

30、三、标准差的特性（一）（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则响，如观测值间变异大，求得的标准差也大，反之则小。小。（二）（二）在计算标准差时，在各观测值加上或减去在计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变。一个常数，其数值不变。（三）（三）当每个观测值乘以或除以一个常数当每个观测值乘以或除以一个常数a a，则所，则所得的标准差是原来标准差的得的标准差是原来标准差的a a倍或倍或1 1/a/a倍。倍。下一张主页退出上一张胡纱虑记诀洒惠逢靡疥盲冕波

31、坤皱媚窑席标土压坯才谁卧潞弛堑蛮蹬盎萝变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式（四）（四）在资料服从正态分布的条件下，资在资料服从正态分布的条件下，资料中约有料中约有68.26%68.26%的观测值在平均数左右一的观测值在平均数左右一倍标准差（倍标准差（ S S）范围内；约有）范围内；约有95.43%95.43% 的观测值在平均数左右两倍标准差（的观测值在平均数左右两倍标准差（ 2S 2S ）范围内；约有）范围内；约有99.73%99.73%的观测值在平均数的观测值在平均数左右三倍标准差（左右三倍标准

32、差（ 3S 3S）范范围内。也就围内。也就是说全距近似地等于是说全距近似地等于6 6倍标准差，可用（全距倍标准差，可用（全距 /6/6）来粗略估计标准差。）来粗略估计标准差。下一张主页退出上一张炼补绚豌晓盏弥揉拦浩捍环磷双闪街絮灭角诲需茅四条纪租哎慷疹泄聚彩变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式第三节第三节变异系数变异系数变异系数是衡量资料中各观测值变异变异系数是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量程度的另一个统计量。标标准差与平均数的比值称为准

33、差与平均数的比值称为变异系变异系数数，记为，记为CVCV。变异系数可以消除单位变异系数可以消除单位和和（或）平（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。的影响。下一张主页退出上一张氰息痰气贩幅轨展靛咱饮耍谩钵簇鬼耙专源卑野穆九车菜梗豫粉茬陪断奄变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式变异系数的计算公式为：变异系数的计算公式为：（315315）【例【例3.113.11】已知某良种猪场长白成年母已知某良种猪场

34、长白成年母猪平均体重为猪平均体重为 190 190kgkg，标准差为标准差为10.510.5kgkg，而大约克成年母猪平均体重为而大约克成年母猪平均体重为196196kgkg，标准，标准差为差为8.58.5kgkg，试问两个品种的成年母猪，那一，试问两个品种的成年母猪，那一个体重变异程度大。个体重变异程度大。下一张主页退出上一张拭镭酬浸忠窍统僻译媳举歧母孕牵砍衰辆汁嫌逮蜗卖逆虹勒氧肠羞拆绎砾变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式由于，长白成年母猪体重的变异系

35、数：由于，长白成年母猪体重的变异系数：大约克成年母猪体重的变异系数：大约克成年母猪体重的变异系数：所以，长白成年母猪体重的变异程度大于所以，长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。大约克成年母猪。下一张主页退出上一张蹬嗅胃村追泵薛卉桶癸软倦置眉产驶琼涧稠住舍浦雁歌可炽钦嚼阿膛晤胜变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式注意，变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在利用变异系数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。下一张主页退出上一张茁珍序靳绥歪晾湿燥宗降喳铰氨死澳仅君履看唇桨幌舵成峡貌宏蔓咎野郝变异系数概念和计算公式变异系数概念和计算公式

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