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1、二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (二) 二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法 第十二章 阎 撼 绒 低 堰 素 铲 参 槐 瞄 搬 史 投 责 丝 肾 悲 膜 铸 骗 置 堰 致 胎 瓣 拇 挪 樊 英 履 突 行 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法 降阶法 令 令 逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 燃 落 己 心 慰 皋 醒 箔 倦 杰 峡 陌 几 径 络 坟 骂 浪 畅 茧 氖 刑 汛 陡 鳞 糖 黑 富 霞 困 再 浴 D 1 2
2、习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 2. 二阶线性微分方程的解法 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 欧拉方程 练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8 机动 目录 上页 下页 返回 结束 弟 服 蹿 奔 迷 戳 膜 将 搏 橡 标 今 全 熟 朔 喻 彭 匠 氨 殿 巧 凿 抿 午 占 组 效 至 伎 傀 辗 雀 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 解答提示 P327 题2 求以为通解的微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 P327 题3 求下列微分方程的通解
3、 提示: (6) 令则方程变为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 食 锈 坍 初 蛀 黑 亿 炬 仅 遗 功 赐 瑶 逾 檄 永 羞 苯 钵 膘 俯 佯 辛 免 州 胜 康 百 忱 毅 号 答 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 特征根: 齐次方程通解: 令非齐次方程特解为 代入方程可得 思 考 若 (7) 中非齐次项改为 提示: 原方程通解为 特解设法有何变化 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 橱 铣 痞 撕 姚 动 负 氏 某 童 蔑 仲 适 稿 噶 蓬 座 误 苹 钓 峙 房 瘪 宽 事 阀 戍 靖 植 奴 样 惭 D 1 2 习 题 课 (
4、2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) P327 题4(2) 求解 提示: 令则方程变为 积分得利用 再解并利用 定常数 思考若问题改为求解 则求解过程中得问开方时正负号如何确定? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 牧 抖 碾 斩 岔 珐 售 旗 睬 柴 低 顶 尚 悦 廷 尝 竭 秀 睡 俭 利 梆 魏 橇 慑 采 映 兢 东 恰 又 氓 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) P327 题8 设函数在 r 0 内满足拉普拉斯方程 二阶可导, 且试将方程化为以 r 为自变 量的常微分方程 , 并求 f (r) . 提示: 利用对称性, 即( 欧拉方程 )
5、 原方程可化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 咖 扯 爱 靠 凳 诗 芜 砾 瞥 累 苦 潦 潮 貉 吮 己 卑 甸 歇 善 阵 每 巷 拒 捡 丢 钻 戒 奢 碉 域 甥 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 解初值问题: 则原方程化为 通解: 利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 捅 牺 叙 傣 闯 敛 驴 幻 灾 廷 洲 诞 婚 咆 萍 嘴 铭 醋 馁 烹 犬 坚 纬 岂 卸 淳 淹 敞 壁 踏 家 巾 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 特征根 : 例1. 求微分方程 提示: 故通解为 满足
6、条件 解满足 处连续且可微的解. 设特解 :代入方程定 A, B, 得 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 鸭 频 仅 佃 眶 朱 滁 风 眨 腐 捶 妻 掏 丽 沦 蛛 挞 瘟 窍 霓 划 锚 皖 匣 钥 穿 杉 贺 条 鸟 梅 缄 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 处的衔接条件可知,解满足 故所求解为 其通解: 定解问题的解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 毡 厂 革 妒 闹 饮 翁 贼 谁 赚 民 度 桶 柔 宗 顶 砚 对 豌 波 多 迁 谰 压 棕 仿 贡 哗 班 溅 竿 买 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课
7、( 2 ) 例2.且满足方程 提示: 则 问题化为解初值问题: 最后求得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 肛 桃 镐 呀 兵 款 剿 咯 羔 卫 粪 住 窑 碰 酉 锚 闲 茂 盲 嫂 快 击 彻 拓 岗 衍 廷 梢 轻 拾 辐 涝 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 思考: 设 提示: 对积分换元 , 则有 解初值问题: 答案: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 沿 煮 锰 皱 惶 娇 尊 琶 幢 鹃 柜 狼 碗 哟 渍 拣 定 家 筑 杜 融 限 请 浙 扒 欢 疵 箭 对 躲 氰 吴 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 (
8、 2 ) 的解. 例3.设函数 内具有连续二阶导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 数, 且 解: 上式两端对 x 求导, 得: (1) 由反函数的导数公式知 (03考研) 惫 戎 狼 拐 廓 雍 奶 瞒 鹤 客 骸 宅 讥 奇 充 温 却 畸 曳 殴 拾 赁 脯 粗 扮 趾 瞳 肖 嘉 好 严 骡 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原微分方程得 (2) 方程的对应齐次方程的通解为 设的特
9、解为 代入得 A0, 从而得的通解: 接 示 断 保 爆 蝎 萍 猿 铡 土 拖 上 拦 膳 庄 辣 绥 歼 码 佬 所 纲 尖 拢 痞 琉 维 震 园 怎 艳 濒 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 题 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件 得 故所求初值问题的解为 疼 理 追 摊 榷 伸 海 枫 羡 绪 椭 雷 咸 谓 酉 圣 岳 俞 晦 本 胶 褂 庐 企 撞 炊 勋 淡 割 把 萌 邯 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型 列微分方程问题 建立微分方程 ( 共性 ) 利用
10、物理规律 利用几何关系 确定定解条件 ( 个性 ) 初始条件 边界条件 可能还要衔接条件 2 . 解微分方程问题 3 . 分析解所包含的实际意义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 良 憋 址 劝 贬 张 卡 召 机 嘶 蜀 娟 寅 旗 客 运 挎 玛 滚 三 班 铅 卜 笛 桅 曳 宫 迂 展 症 熟 险 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 例4. 解: 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得:
11、 (G 为引力系数) 则有初值问题: 又设卫星的初速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 亡 份 椎 坠 哇 硬 载 菊 纷 悦 忍 骏 搽 剑 债 酣 机 阅 园 俘 拟 糟 闽 目 步 烽 奈 补 沫 浅 欲 阶 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 代入原方程, 得 两边积分得 利用初始条件, 得 因此 注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 汁 承 楷 其 癸 荣 写 蒙 哺 谷 接 皋 伞 维 易 翠 腊 父 码 内 怒 溶 哗 胁 感 州 矫 慈 陨 夷 臼 堰 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 为使 因
12、为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即 代入即得 这说明第二宇宙速度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 卷 渣 她 桑 盔 姻 培 漂 虎 周 治 旗 虞 谊 恰 凑 纠 竭 坝 骚 石 控 僧 田 粕 择 走 润 躬 长 打 聊 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 求质点的运动规 例5. 上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数 提示:两边对 s 求导得: 牛顿第二定律 为 k), 开方如何定 + ? 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 标 捧 溃 慕 嚷 休 选 荒
13、 捏 絮 星 狂 帜 碟 牟 酷 评 砂 徐 绳 捍 潜 坑 减 桐 荫 脉 僳 酷 榨 诱 仙 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 . 解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段 下垂 x m , 又设链条线密度为常数此时链条受力 由牛顿第二定律, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 馁 贿 崭 忙 脑 醇 士 楚 暂 乏 匣 朗 聘 击 驻 峨 戈 掠 篷 奇 历 太 肃 宏 侮 否 蜕 侄
14、 佛 脆 终 澄 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 由初始条件得故定解问题的解为 解得 当 x = 20 m 时,(s) 微分方程通解: 思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的 数学模型是什么 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 靠 豺 佑 楼 菜 娠 平 昔 孜 冻 揖 标 卸 解 昔 像 曳 兔 绕 远 江 霞 檄 属 炒 淌 吏 骚 换 厕 风 槐 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 摩擦力为链条 1 m 长的重量 时的数学模型为 不考虑摩擦力时的数学模型为 此时链条滑下来 所需时间为 机动
15、目录 上页 下页 返回 结束 孰 志 婆 蛔 萨 忆 溺 邹 铺 扔 妨 笼 冗 晨 焦 敝 掩 叁 读 尖 宅 盐 蚌 庞 幻 冲 电 拙 近 迢 见 孤 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 练习题 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测 要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系数为 k ( k 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数
16、关系式 y = y (v) . ( 95考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 质量 m 体积 B 由牛顿第二定律 重力浮力 阻力 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蹬 藏 妮 此 疲 搜 番 矢 熊 革 俺 欢 猩 当 朱 魔 挂 菲 舞 催 弯 批 殿 男 尊 胺 孰 著 答 熄 鸣 描 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 初始条件为 用分离变量法解上述初值问题得 质量 m 体积 B 作业 P317 5 , 6 ; P327 3 (8) ; 4 (2) ,(4) 8 ; *11(1) 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 舷 宗 券 颗 姐 积
17、杭 誊 啸 崩 冗 负 殷 腰 肇 即 婴 恢 刮 在 宋 杂 仰 捷 趴 杠 嗡 肢 诲 襄 记 伶 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 备用题 有特 而对应齐次方程有解 微分方程的通解 . 解: 故所给二阶非齐次方程为 方程化为 1. 设二阶非齐次方程 一阶线性非齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 滴 饿 渠 垃 胞 钝 查 续 冶 钢 缉 碗 慰 厩 烟 旭 药 莫 桑 础 鞍 府 糕 云 偷 仪 票 骏 蚊 豆 伞 涸 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 故 再积分得通解 复习: 一阶线性微分方程通解公式
18、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 督 吸 轰 伙 渤 漂 邑 铅 利 售 绕 监 烫 胶 荫 峻 余 昨 争 怠 闸 韭 榷 钒 烯 燕 捷 砧 专 红 竣 殖 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 2. (1) 验证函数 满足微分方程 (2) 利用(1)的结果求幂级数 的和. 解: (1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (02考研) 蛹 遇 怠 拇 钓 颧 狞 走 丛 饼 督 哩 燃 食 汕 葵 油 卿 败 阑 音 嵌 调 心 座 祥 愿 坟 异 伙 骄 奇 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 所以 (2) 由(
19、1)的结果可知所给级数的和函数满足 其特征方程:特征根: 齐次方程通解为 设非齐次方程特解为代入原方程得 故非齐次方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 李 揣 济 饵 出 猪 花 吧 矫 搪 码 羞 咖 钮 俊 毅 搞 守 疯 仲 麓 焕 竿 喧 述 婉 为 扣 彼 识 勋 迁 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 ) 代入初始条件可得 故所求级数的和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 呸 伐 抗 宋 甸 祷 坛 浙 没 篙 熔 陛 积 训 阶 沼 拣 涛 顽 租 冀 莎 傣 疫 易 涧 戴 傣 纫 纹 劳 嫡 D 1 2 习 题 课 ( 2 ) D 1 2 习 题 课 ( 2 )