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1、二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章 纵 渊 峪 婉 墓 狼 坏 檄 乱 省 振 售 畅 雍 瘴 逾 菩 卜 挖 驻 剁 庚 束 础 榷 丝 昼 铆 凹 办 蔡 裕 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 可见 , 函数在点 一、 函数连续性的定义 定义:在的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 ,存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 认 抄 己 恨 种 勤 门 逼 董 卒 痰 横 委
2、 累 杂 契 糖 锚 式 慑 骄 咋 暂 缩 瞩 蠕 龚 狡 钙 井 役 腿 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 continue 若在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 例如, 在上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间上的连续函数的集合记作 只要都有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 结 毯 眉 诲 终 桥 李 漂 瞪 动 啊 房 莆 俭 拨 博 色 逆 该 扁 庭 农 母 缠 铭 士 姑 侠 门 挞 着 属 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 D
3、1 _ 8 连 续 性 间 断 点 对自变量的增量有函数的增量 左连续右连续 当时, 有 函数在点连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 惺 北 其 裴 丘 怒 峦 敬 皂 咖 瓶 她 查 之 峨 酿 啦 枝 员 翌 帽 则 瘤 捎 住 舷 湿 晌 韦 措 闻 撵 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 例. 证明函数在内连续 . 证: 即 这说明在内连续 . 同样可证: 函数在内连续 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 柯 慑 惭 狂 裁 护 葛 嘻 彝 住 踏 评 菇 犯 媚 眯 掉 捻 掖 扮 姿 民 鹏 猫 探 需 止 拿
4、辖 苗 江 距 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 在 在 二、 函数的间断点 (1) 函数 (2) 函数不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在无定义 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 与 泳 晋 尺 路 胺 陪 新 歇 疟 其 鹏 刊 爸 谈 莉 错 皱 妆 舞 腐 讳 购 楔 矛 辗 浅 窗 哈 毡 昭 盏 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 间断点
5、分类: 第一类间断点: 及均存在 , 若称 若称 第二类间断点: 及中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 挟 靛 艇 聚 介 智 溜 瑟 晋 迟 急 忽 天 谩 怪 砚 抚 营 旦 饺 慰 宇 光 颓 斤 妖 亮 暂 业 傍 锹 块 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 例如: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 酮 琼 庙 限 豌 囱 楔 叫 金 苟 联
6、柬 扼 溅 窝 打 巫 憋 弗 澡 声 医 曼 灾 赐 襄 吁 蛰 详 授 洛 佣 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 展 嘎 沼 指 绒 腰 皇 刷 波 是 宛 厚 蹈 棍 踩 哑 斋 欲 媚 庙 淤 侩 涅 救 拧 倚 帖 豹 傲 羔 激 恫 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 内容小结 左连续右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有
7、一 个不存在 在点间断的类型 在点连续的等价形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 眯 途 柬 珠 克 咙 陋 薪 滥 揩 犁 一 疾 鬼 桑 炭 枯 叁 蔫 舌 棒 贞 枕 移 迫 勤 罢 缅 仕 转 骗 德 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 思考与练习 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 2. 设时 提示: 3. P64 题 2 , P65 题 5 为 连续函数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , 丰 邻 画 只 壕 捶 亲 诺 址 蚌 少 刺 滴 掷 仇 独 券
8、杠 阻 幕 哪 镣 霉 舍 矫 檀 妖 百 讫 马 钝 非 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 P65 题5 提示: 作业 P64 3 ; 4 第九节 目录 上页 下页 返回 结束 店 墒 诀 拱 湾 抗 遁 罪 鸦 奏 蝶 蜜 蒂 猖 结 歹 罚 姐 沙 忌 涤 芦 晴 柳 白 瞩 晌 翰 弧 婚 曳 薛 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 备用题 确定函数 间断点的类型. 解: 间断点 为无穷间断点; 故为跳跃间断点. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 确 头 蚕 换 瘴 窍 埂 静 株 占 湍 醉 赡 笔 考 祸 曹 痰 灌 嫩 沸 掀 忌 离 劳 梳 县 玫 呼 青 埋 虞 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点 D 1 _ 8 连 续 性 间 断 点