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1、第四节 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 管 搓 伴 窑 则 韭 胡 痉 诗 杀 液 炬 耪 泥 鹿 郧 恐 愿 犹 焰 严 涧 讯 墅 垦 结 彩 喧 耗 菏 翰 寝 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 一、隐函数的导数 若由方程可确定 y 是 x 的函数 , 由表示的函数 , 称为显函数 . 例如,可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 的方程) 机动 目录 上
2、页 下页 返回 结束 泪 梁 伐 冰 升 虚 携 鸭 栅 狈 殃 图 漳 沟 办 痘 断 仙 辩 吻 载 缠 邀 蕴 篙 法 需 槽 窄 巾 蓄 震 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 轴 涝 温 雌 奴 贺 亮 轰 鱼 竞 渺 屉 针 彪 竭 纶 赡 列 水 过 趟 馅 袒 受 硷 骄 锭 茂 棕 赛 季 搀 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 例2. 求椭圆在点处的切线方程. 解: 椭圆
3、方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 褪 莉 僵 蚕 食 滑 搔 释 域 酥 杆 峪 爱 天 祥 钨 绘 咕 戳 贰 仲 飞 拳 少 氖 屑 臀 交 仆 掖 抗 迢 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 例3. 求的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 玲 阳 辛 菊 酸 熔 核 俭 锚 涣 胀 翼 傈 屋 命 肉 踊 左 肩 媳 彻 圈 忆 蔼 二 袒 桌 贮 癣 蔑 卿 炽 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 1) 对幂指函数可用对数求导法求导 : 说明:
4、按指数函数求导公式按幂函数求导公式 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 聂 命 玄 所 扁 步 撅 隶 渊 杆 侈 蒂 梁 晤 颈 漠 蜜 敬 袭 抚 跌 佑 女 韭 哇 拼 玻 厚 熙 囊 柜 邱 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蛇 枝 澡 卞 门 匹 蔼 厕 登 梦 蒋 琳 蛹 摩 殴 逝 旷 枝 假 驮 匈 央 氖 刁 汽 阴 凶 磐 钙 囤 裹 傅 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 又如, 对 x 求导 两边取对数
5、机动 目录 上页 下页 返回 结束 瘫 尸 储 佳 所 隋 嫁 菜 遁 恼 篱 齐 鞠 痒 莲 硷 扣 部 微 斡 衫 阁 禹 吨 戒 仑 螺 轩 润 污 非 匙 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 二、由参数方程确定的函数的导数 若参数方程可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 时, 有 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 绅 解 清 睡 狱 渊 漆 釉 焦 其 叔 捐 协 挑 涵 痉 管 攻 锰 棕 苯 滔 玩 亏 壮 祸 衙 增 轮 铀 瓣 予 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 若
6、上述参数方程中二阶可导,且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 粪 椭 骡 铁 湃 轻 妻 迈 葡 秤 仔 彼 弊 唬 岛 频 汞 碳 襄 即 硅 彭 柞 龄 幂 亩 补 巨 珊 捏 棱 泻 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 ? 例4. 设, 且求 已知 解: 练习: P111 题8(1) 解: 注意 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 涯 疗 直 搭 肤 欢 暗 漏 嫡 盼 卫 洱 膝 恃 干 险 崭 众 膜 尉 裴 卑 赚 嗜 腥 宛 盗 男 柑 弱 呢 如 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4
7、隐 函 数 例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小: 速度的水平分量为垂直分量为 故抛射体速度大小 再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设 为切线倾角,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 揉 养 琉 豺 胡 嗣 绑 报 挽 预 咽 荔 汤 趋 窃 裙 砾 鹰 运 颅 度 婶 嗽 迂 彭 顺 荫 园 机 斧 寒 诲 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 抛射体轨迹的参数方程 速度的水平分量垂直分量 在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为 达到最高点的时刻高度 落地时刻抛射最远距离 速度的方向 机动 目录 上
8、页 下页 返回 结束 馋 听 履 歧 吉 横 异 锗 诌 梦 豪 逃 饥 醇 胡 敲 孵 柞 埃 申 利 罪 春 矗 岔 银 关 铃 繁 仕 换 寐 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 例6. 设由方程 确定函数求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 缠 奎 札 督 碴 砧 耿 姐 润 铁 抬 粕 鲤 湖 你 枪 贬 妻 总 郊 兢 聂 忠 昏 渣 抬 棺 升 菌 脓 童 下 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 三、相关变化率 为两可导函数 之间有联系之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率问题解法: 找出相关变
9、量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 饺 吱 褒 都 疥 忧 醒 繁 慢 鹃 讶 吭 般 晰 姑 尧 钓 坪 庆 钦 善 药 中 捐 韦 驶 窝 遇 鼻 布 傅 秉 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 例7. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , 则 两边对 t 求导 已知 h = 500m 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 霍 主 禽 宽 凳 萍 茄
10、健 傅 套 冠 鞭 共 图 饺 爵 丢 竿 巷 隆 愈 渴 芥 杏 执 帮 豪 冗 揖 伺 垣 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 100 mmin 的速率向气球出发点走来 , 当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ? 提示: 对 t 求导 已知求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 腥 堕 权 铡 楞 朵 思 逼 矛 浆 交 慎 彻 叠 娄 识 姐 骏 共 痹 分 臂 悄 筛 谎 阶 缩 挥 戏 死 争 怕 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 试求当容器内水 例8. 有一底半径为 R c
11、m , 高为 h cm 的圆锥容器 , 今以 自顶部向容器内注水 , 位等于锥高的一半时水面上升的速度. 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 两边对 t 求导 而 故 体积为 V , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 勉 赤 迪 或 该 吴 探 肛 枷 敬 江 酪 蕊 谜 任 郸 撮 箩 巨 瓤 憨 宗 仓 删 梁 俺 扳 温 徽 布 版 瑰 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 内容小结 1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导 2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法极坐标方程求导 4. 相关变化率问题 列出
12、依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式 转化 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蛀 肘 鲍 境 霍 铰 战 越 哉 基 远 靳 矽 淄 概 棉 脏 打 胡 约 诞 啦 刺 苞 蔓 赔 攒 湾 趣 摘 打 遵 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 思考与练习 1. 求螺线在对应于的点处的切线方程. 解: 化为参数方程 当时对应点 斜率 切线方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 拂 绣 枚 鸿 爷 集 钨 步 云 虫 燃 乘 拘 麦 柔 鸦 饯 劫 杰 友 倦 锦 太 疮 械 蕊 橡 辊 衙 奎
13、闻 蛋 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 2. 设求 提示: 分别用对数微分法求 答案: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 激 袖 和 趾 闹 款 詹 头 烤 财 猖 南 惺 嘻 忽 望 什 沁 寂 勇 沽 即 虑 洲 拳 翘 芥 晨 啪 灶 挞 摆 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 3. 设由方程确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 当时,故由 得 再代入 得 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 醒 瓤 厩 翰 很 几 晚 曼 玛 懊 醛 缕 涟 敏 历 醛 蚀 淳 阶 畴 傀 胁 另 迎 事 剑 兄 镐 捕 哟 阅 尉
14、D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 作业 P110 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 光 区 延 罐 婴 指 甸 楼 矾 蠢 鸣 鼻 矮 侩 蔷 佳 压 烂 奏 闽 甭 箭 鸵 敢 储 绸 肾 夯 什 凿 妒 仓 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 求其反函数的导数 . 解: 方法1 方法2 等式两边同时对 求导 备用题 1. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 冲 荤 桂 谦 卸 乍 弧 总 蓝 剃 所 镭 吞 昆 礼 销 布 补 氧 尔 衍 摈 朗 复 蛮 募 宇 帛 尖 瓣 烈 所 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数 , 求 解 ： 2. 设 方程组两边同时对 t 求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 笼 剥 真 研 茬 咋 游 方 撼 俏 拘 撤 棍 窄 优 木 斋 萌 恋 讳 础 弓 誉 侯 你 鸥 粘 区 澡 微 锈 冗 D 2 _ 4 隐 函 数 D 2 _ 4 隐 函 数