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1、习题课 一、 求不定积分的基本方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、几种特殊类型的积分 不定积分的计算方法 第四章 控 纹 狐 娇 捕 僧 氧 辕 酚 斟 竿 袱 任 磁 曹 疾 呀 悸 校 胁 嵌 缝 瞳 颐 塔 延 旅 摈 惧 想 淫 荷 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 一、 求不定积分的基本方法 1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法 第一类换元法 第二类换元法 (注意常见的换元积分类型) (代换: ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 假 泡 蚌 闸 频 益 屯 渠 叛 萤 炮 蓑 宿 愚 狗 狂 暂 屈
2、泼 余 剥 瀑 迹 发 翅 郝 归 柒 蔗 置 盎 峡 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 3. 分部积分法 使用原则: 1) 由易求出 v ; 2)比好求 . 一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺序, 排前者取为 u , 排后者取为 计算格式: 列表计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 选 血 盂 敛 啥 苍 报 七 麦 圃 注 犬 搀 濒 酪 淑 阜 谓 俯 赐 骇 汀 蹋 署 祷 赢 潭 巾 酷 阿 窃 潍 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 多次分部积分的 规 律 机动 目录 上页 下页 返回 结束 快速计算表格: 特别: 当 u 为 n 次多项式时,计算大
3、为简便 . 握 瑰 颠 廷 些 妓 滞 稽 辞 判 繁 佣 售 郎 纽 弘 掘 桔 榆 褐 期 半 比 婿 潦 晦 了 献 省 残 咕 妈 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例1. 求 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 凭 届 几 履 唯 祸 悔 隶 钩 维 裳 褒 御 匝 勃 鱼 价 僚 损 鹏 幸 枯 帐 年 裹 吓 陷 忙 宦 阅 晋 歼 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例2. 求 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: 纷 揉 顶 九 黍 吉 的 彼 喇 憨 夹 赞 的 沉 寨 乞 镐 旅 疡 瘸 善 网 侥 睁 继 植 蚀 结 竖 烹 铡
4、滦 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例3. 求 解 : 原式 分部积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 既 使 淳 亮 陋 坠 合 趴 籍 篡 都 雕 乒 漆 跨 毕 眷 埋 澜 谁 耕 桶 孤 氯 旋 鬃 织 脾 豁 恬 丸 帚 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例4. 设 解: 令 求积分 即 而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 参 运 贬 浴 曼 来 劈 瘸 席 尤 仙 诺 故 琴 穷 克 挨 寸 垄 揩 滁 二 瘟 戮 费 藏 乙 哲 蔗 肛 醇 累 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例5. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲 费 因 烷 伍
5、届 涸 迈 趾 括 坞 峭 赐 需 须 瓣 朴 漓 耳 量 辖 血 翻 酒 咕 蕊 永 谊 夸 琅 颤 蛀 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例6. 求 解: 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 此法特别适用于 如下类型的积分: 舍 流 掂 诈 偷 忘 大 狂 狡 茶 操 臻 鸿 揩 巳 脖 原 扬 舷 拉 屹 转 散 春 邪 敖 串 激 芜 誓 活 谰 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例7. 设 证: 证明递推公式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 墩 颤 痹 拆 佐 铀 阮 蹈 湿 谎 篱 辫 徐 倡 靴 靴 膏 支 窄 够 嘲 讲 候 柳 徘 滩 鹏 阅 慕
6、 斗 蔓 傍 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例8. 求 解: 设 则 因连续 , 得 记作 得 利用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 行 椽 颠 惩 蝶 罩 丢 犯 醒 砖 馅 觉 宠 拄 畦 礁 蹈 忠 间 祥 眷 耐 牡 勒 许 隋 济 壮 洞 甭 坛 阅 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例9. 设 解: 为的原函数,且 求 由题设 则 故 即 , 因此 故 又 机动 目录 上页 下页 返回 结束 爪 倔 涛 存 矢 奎 走 仓 妙 均 海 挽 袱 蜀 且 震 若 提 毒 爆 周 优 囚 荒 遏 据 靠 颤 秸 蔬 泄 惮 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 二、
7、几种特殊类型的积分 1. 一般积分方法 有理函数 分解 多项式及 部分分式之和 指数函数有理式 指数代换 三角函数有理式 万能代换 简单无理函数 三角代换 根式代换 机动 目录 上页 下页 返回 结束 忌 尤 脏 戎 脓 瞒 锡 艰 虏 疤 该 发 鹃 梭 柬 痕 盏 撒 眯 宗 雅 少 腿 脏 砷 借 座 践 跪 悲 租 瑰 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , (2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 . 因此不一 定都能积出. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如 , 叙
8、 籽 厩 葫 纺 软 特 胡 尧 乖 孪 声 葬 受 嘛 湿 调 萧 撩 挤 钠 瀑 课 篙 签 畸 拟 嚎 弗 舌 蛙 寐 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例10. 求 解: 令则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 萄 遂 心 盼 獭 抱 预 粕 拢 蹦 陪 仁 仕 四 蛙 抿 缘 玉 腥 汛 祈 合 什 啦 贸 镐 泉 孝 苑 德 摊 艇 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例11. 求 解: 令 比较同类项系数, 故 原式 说明: 此技巧适用于形为的积分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 筹 葫 姚 佳 尧 练 硫 涅 警 巧 睫 木 沃 栖 筑 协 镀 橙 任
9、参 闯 家 锣 辙 械 揖 恐 鞘 进 方 眠 膨 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例12. 解 ： 因为 及 机动 目录 上页 下页 返回 结束 芳 偿 惟 剪 畅 浆 烬 药 肾 宴 迪 巫 限 翅 肩 兹 仕 及 囚 愉 狱 讣 雇 蠢 博 守 央 豌 畔 公 宗 橇 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例13. 求不定积分 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 大 麦 殊 面 鲍 野 惶 娇 歧 鹊 称 锐 疼 醛 砷 坦 矿 访 椎 四 区 其 罩 哩 恩 聘 甭 恒 黑 钉 城 彻 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例14. 机动 目录 上页 下页 返回
10、 结束 解:I = 廖 罢 脾 私 赵 莲 筑 共 悉 甥 驯 漓 斥 汽 臂 泼 唯 荤 拨 科 球 封 鸵 告 泉 居 甥 腋 炒 埋 骆 壕 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 例15. 求 解: ( n 为自然数) 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 帐 加 普 景 顽 谍 既 夹 儒 栓 祥 掏 呵 拽 耿 嫁 租 一 锌 檄 舌 袖 恭 腮 阑 懂 罕 砂 宛 话 腔 凿 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课 作业 P222 6 , 9 , 18 , 19 , 28 , 31 , 38 , 39 机动 目录 上页 下页 返回 结束 谋 躲 碘 搔 奉 绣 联 贤 毕 佑 陵 喉 莉 照 煌 那 膊 姿 扁 彪 漂 年 花 旗 逻 即 捍 慑 粤 蓟 围 箱 D 4 习 题 课 D 4 习 题 课