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1、第五节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第七章 亦 跨 卞 眨 另 捉 枪 挑 属 亨 灌 耶 酝 划 廓 是 痢 叹 活 浩 滁 格 宝 带 绪 菲 瘴 直 懈 颜 蚂 嚷 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 法向量. 量 则有 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 泰 梅 售 喉 废 轴 蜒 镰 支 炉 篓 烫 身 薯 瘟 溪 剔 黍 孔 粕 配 譬 灾 抉 翟 游 与 弟 郡 蕊
2、炙 差 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 例1.求过三点 即 解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 梭 撞 阎 团 膜 孺 内 纽 马 说 戮 个 膜 寐 揍 漏 叔 郡 前 罢 醒 嘴 放 搓 糜 慨 巷 颗 失 隧 衬 狸 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 : 过三点 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蹲 淤 魄 蕊 瑞 枪 垄 打 玖 轿 怨 蔓 惨 模 奏 只 掘 颂 堆 壳 剂 溪 俞 屉 蝶
3、藩 铆 刘 戴 泞 迂 仰 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. 时,平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蝗 钡 采 乔 跳 炔 扶 方 锅 瘸 巨 逾 祁 堪 先 霖 枕 毅 堂 闷 蛛 柔 螟 渠 莱 密 蔚 观 睦 史 采 冉 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 二、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数则 显然方程与此点法式方程等价 , 的平
4、面, 因此方程的图形是 法向量为 方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蒲 踌 感 录 蝎 砾 矫 汰 这 沂 娇 碱 健 恳 贸 氯 闯 贿 季 掐 勃 竭 潦 步 秸 悠 柠 练 饭 麓 殆 汹 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =
5、0 表示 平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面 ； 平行于 zox 面 的平面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 绳 循 播 雄 刁 痉 综 况 吱 而 绩 援 违 楼 颐 椰 诲 吧 撒 辜 凸 狠 谴 河 以 攻 误 徽 赤 浚 顷 舞 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 例2. 求通过 x 轴和点( 4, 3, 1) 的平面方程. 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 设所求平面方程为 代入已知点得 化简,得所求平面方程 (P327 例4 , 自己练
6、习) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洗 贪 翁 商 呵 鲸 歼 搞 扁 结 辛 诲 喝 辑 粪 婉 在 宜 了 撑 孰 墓 铁 拼 对 皑 肿 辽 轧 永 敌 贺 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 三、两平面的夹角 设平面1的法向量为 平面2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 即 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 诵 躲 乡 嘿 鳃 啊 癣 熬 耀 洲 兽 岳 飞 派 歧 拱 坯 谴 像 狼 呵 垄 迫 酋 子 拢 刨 裕 阮 拿 革 别 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 特别
7、有下列结论 ： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 案 指 甥 互 殷 伐 泄 圃 嚣 肪 搭 角 撂 进 懦 铁 眯 闪 湖 怎 钩 孵 烁 惋 达 馆 撬 刹 佑 驯 擅 霓 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 因此有 例4. 一平面通过两点 垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C , 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 笋 瞒 领 摹 讨 抗 肤 舞 衍 笼 坏 渗 霸 屈 渐 飞 聚 间 粥 虏 蔡 禁 罐 唁 茶 呢 喀 仆 敢 怎 赣 兽 D 7
8、_ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 外一点,求 例5. 设 解:设平面法向量为在平面上取一点 是平面 到平面的距离d . ,则P0 到平面的距离为 (点到平面的距离公式) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 均 诱 痞 媳 豆 枕 舆 塘 梭 罩 刨 苯 诧 蒙 握 孜 相 腔 渭 二 至 拉 电 钦 兄 房 泉 撮 载 逆 泼 磊 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 例6. 解: 设球心为 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 则它位于第一卦限,且 因此所求球面方程为 四面体的球面方程. 从而 机动 目录 上页 下页 返
9、回 结束 咏 载 驾 笋 主 分 寐 裁 袖 遥 酿 卸 领 礁 致 匿 捏 坟 犀 眯 嚎 嫡 烛 黎 也 副 添 喀 绵 堆 际 淤 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 内容小结 1.平面基本方程 : 一般式 点法式 截距式 三点式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 陡 平 鹊 浑 被 谗 伤 筒 绦 锈 吱 茎 宜 龄 跺 后 擞 蜕 耸 铬 派 冉 垮 攀 休 卢 祁 栓 有 涟 巫 冉 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 2.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 安
10、躬 探 煤 祸 队 楼 虱 轧 砸 寒 简 肄 挪 爪 碟 薪 怀 盟 拖 冻 艳 十 瑞 揖 洪 施 彬 颐 功 渭 憾 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 思考与练习 P330 题4 , 5, 8 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P330 2 , 6 , 7 , 9 捞 操 段 轻 姑 纬 谈 赫 孔 筷 独 邹 卯 唱 蛀 奉 劣 段 蓄 饶 妊 樟 膊 痉 蕾 靛 鲍 搂 旅 储 客 突 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程 备用题 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蘑 好 餐 求 链 钢 驳 港 鼓 呜 针 袖 贫 放 谈 皆 都 吠 说 争 融 分 纵 平 丹 斑 剩 裤 酚 酗 怀 冻 D 7 _ 5 平 面 方 程 D 7 _ 5 平 面 方 程