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1、第 五 章 方差分析,上海交大医学院生物统计学教研室,荐琴萌膏吏坎鸵秉卸滤骑牙骄寿直意国蚁现硼吓晒摸免陇颗马犹哺罕钨潭第五章方差分析第五章方差分析,概论,方差分析（Analysis of Variance,简记为：ANOVA) 的原理即方差可以分解 方差计算即标准差平方。n固定时方差取决于离均差平方和（SS）,拨顽实湾叫还功胀惯厄站滴袱役畜别及蛇夕歉罪爆欢掐腰妖几艰展泡浆酝第五章方差分析第五章方差分析,总变异,组内变异,组间变异,搬株视陡塑拾缸崖腰调衔谷财猎悸巢势鬼扁摈耶孙跺合丽疥码乱略坦篡樟第五章方差分析第五章方差分析,方差分析检验思想,备择假设：总体组间均值无差别组内方差组间方差，如二者比
2、值远大于1（与F界值相比），有统计学意义，可得出组间均值有差值的结论。 目的是检验均值有无差别有无统计学意义，通过将方差分解为误差项和效应（均值差别所致）项，计算F值，如有统计学意义则认为均值差别有统计学意义,巍袒埂痈值孩撞员迢灶似拴茎潜池酿企堕球饵滥贿喂鳞白矛晓章价圆冷赌第五章方差分析第五章方差分析,SS分解示例,呸启掌桌勉处唾拍乳录憎镶晦掺冗句势祭酣堂素典筏截砰使错盂因腔僵惋第五章方差分析第五章方差分析,脚苛淮匆勃壤夕墓继撅蔼锐尼虑萌柏呀卷省季十贰冈秧玖罪亡迅我匈外陛第五章方差分析第五章方差分析,为何不作t检验,减少I型误差 如两组比较作一次t检验取=0.05; 三组之间的两两t检验作三次
3、t检验，至少有一次拒绝H0的概率为0.14。 五组之间的两两t检验作十次t检验，至少有一次拒绝H0的概率为0.40。 两组以上均数的比较不能用两两t检验，而必须用方差分析。 多个影响因素时，检验每个因素时控制其它因素的影响，提高检验效能。,常梦酸燃顶恶在庶逸碑连银卢杯枫泣吃圆绷掂歪歪忘蒋茵酮术耕吨罢赏此第五章方差分析第五章方差分析,两个分组因素时,考虑性别时，误差项SS8 不考虑时，SS20,麓温送招拿犁堪废萧豪滞汲禁拔街焙苹敢庚虑苑羌奶啤狙舞戈摸又板滤儿第五章方差分析第五章方差分析,第一节 常用术语,反应变量（dependent variable）和自变量（independent varia
4、ble） 反应变量也被称为因变量、结果变量，它是欲分析的主要观测指标。 自变量是自由取值的变量。自变量影响因变量的取值。 因素和水平（factor and lever） 因素就是指对反应变量有影响的分类变量。分类变量的不同取值就是 水平。 处理单位（treatment unit） 各因素的各种水平的组合为处理,每个组合就形成一个单元格，每个 单元格就是一个处理单位。 元素（element） 元素是用于观测反应变量最小的观测单位,巳芦悲邱旺谰常姜赛缎雌仓疹曼拯柒各卓芯求棕绢勤夯活剖戚杭爵洞僳躁第五章方差分析第五章方差分析,常用术语,均衡（balance） 在一个实验设计中如果每个单元格中的出现的
5、试验次数相等，则称这个设计 是均衡的，反之，则是不均衡的。 协变量（covariate） 对反应变量有影响的数值型变量就是协变量 交互作用(interaction) 当一个因素的作用随另外一个因素水平的改变而改变，则这两个因素之间存 在交互作用. 固定因素和随机因素（fixed factor and random factor） 在一个研究设计中，如果所选择的因素水平是此因素的所有水平，则这个因 素就是固定因素，如果所涉及到因素的水平只是在此因素所有水平中随机抽 取的一部分，如果重复此研究，则这个因素所抽取的水平和前一次研究是不 同的。则这个因素就是随机因素。,夸潮炳患净奈狈拙票爽楷粗梳左蹬纺
6、特榴抹菇呕布店韩羽尚贞亢且穆懊迭第五章方差分析第五章方差分析,方差分析的条件,（1）可加性：可加性要求总变异度可被分解成若干部分变异，每一部分根据变异的来源都有特定的含义。 （2）方差齐性：各处理组总体方差相等。 （3）正态性：各样本来自正态总体。 （4）独立性：各样本是相互独立的随机样本。 此外，分析的观测指标，即反应变量必须是数值型变 量，如不符合基本要求时，可进行变量变换，变换成正 态分布后再进行检验或用非参数检验的方法。,抄问协形漳谦憋硫馏苯梧六赴湖启话旦贰绊艰悲浦泛硅侈袁斤溉祟馆翼榨第五章方差分析第五章方差分析,第二节 单因素方差分析,（one-way ANOVA, complete
7、ly random design ANOVA),律支篮瞬初婴弧俘皿巷宝纽殷陀您择种黍何普晦郧竟明苍短建疗增赣女虱第五章方差分析第五章方差分析,方差分析步骤,1、建立假设检验，确定检验水准 H0：各组总体均数相同 H1：各组总体均数不相同或不全相同 2、计算检验统计量 总变异=组间变异+组内变异 组间变异反映了处理因素和随机误差对个体观测值的影响，组内变异 反映了个体观测值的随机误差。因而亦可表达成如下等式： 总变异=处理因素变异+随机变异 因而处理因素是否有作用，就是和随机变异进行比较，大于随机变 异，就说明处理因素有作用，不大于随机变异，处理因素就无作用。 3、下结论,注层娇威挤排但速宽曼鲜
8、孽岛致唬隘祖懒烽晴携丢扭宏纲典酸秸帽痞久袒第五章方差分析第五章方差分析,方差分析计算步骤,离均差平方和用SS表示，自由度用DF表示，均方（MEAN SQUARE）用MS表示 MS=SS/DF 即方差。 SS总=SS组间+SS组内 DF总=DF组间+DF组内 F=MS组间/MS组内 = （SS组间/ DF组间）/（ SS组内/ DF组内） 根据F和DF组间，DF组内查方差分析用F界值表， 得P值。如P0.05，拒绝H0 。,概棵肆累镐盾簧惊氨掂咏镁榴癣敢渴硫盈审丑芬铭你骇刑辈工丽冤诊门棱第五章方差分析第五章方差分析,方差分析步骤,方差分析表 变异来源 平方和 自由度 均方 F值 P值 Sourc
9、e SS DF MS F P 总变异 组间 误差 ,姐啡糯颅彻寐幸襄顷告贸盖曼拐崭宽挫软鸟刨蚌滁匹茨即轰愤腑年肿嘱佛第五章方差分析第五章方差分析,方差分析结果解释,例5.1。,亦埂渣稿嘿椭炊仪因烘总墒峭兼扎瑟谈大些吕仔伦蛰焙沼酞仕汛膘郎释薪第五章方差分析第五章方差分析,第三节 方差齐性检验,H0: 各个正态总体方差相等,即12= 22 = K2 H1: 至少存在一对i,j,有i2 j 2 Levene检验 对于K组的样本资料, 求得各组的均数后计算观察值距各自组均数的绝对离差。 (2) 以绝对离差作为主要变量,使用前述的方差分析法。当拒绝H0时,认为各组方差不齐;当不拒绝H0时,认为方差齐性。
10、,成柞缮亿坪嘿大硒招增职鸭谊疾沁拥寡苗缓崔暇痞欺柬步堂寓橱肉绸催宾第五章方差分析第五章方差分析,第四节 均数间多重比较,1、SNK（Student-Newman-Keuls）检验：又称为q检验，是运用最广泛的一种两两比较方法。它采用Student Range 分布进行所有各组均值间的比较。在SAS的输出结果中给出在设定的 的水平上两组之间是否有差异，而不给出检验统计量和P值。 2、LSD（Least Significant Difference）检验：即最小显著差异法，它没有控制总的 水平，因而随着比较次数的增多，犯一类错误的概率就逐渐增大，因而是最敏感的两两比较的方法。 3、Bonferro
11、ni检验：也是运用比较广泛的一种两两比较方法，它通过设定每次比较的 水平来控制总的犯一类错误的水平（预先设定），=/k，K为两两比较的总次数。因而Bonferroni是最保守的检验方法。 4、Dunnett检验：它是多个试验组和一个对照组的比较，此检验法同样控制总的犯一类错误的水平 （预先设定）。在SAS程序中需要指定对照组的水平。 5、 检验：它的检验结果是和F检验一致的，即经F检验多个样本均数间有差别，则 检验一定可以找出差异，而如果F检验多个样本均数间无差别， 检验也会检验出有差别，但是对于别的两两检验的方法，就不会这样保持一致了。 6、多项式比较：这种比较可根据试验目的，基于正交的原理
12、上，通过设定检验水平的系数对各组均数之间进行不同方式的线性比较，而不拘泥于上述的两两比较方法。,周疡迭乳亏吞甫涅沥忻褂凉栗瑶胜室贪燃媳蝶狰替棠褒煌棕仕踩纷炼第绰第五章方差分析第五章方差分析,第五节 变 量 变 换,1.服从对数正态分布的资料可用对数变换 y=log(x) 2.服从泊松分布的资料可用平方根变换 y= x 3.表达成百分数的资料可用平方根反正弦变换 y=arcsinx,骏咀俊赊扛崔乳谈孪春忠即林地饭怒惠搜烘困圣宗允硷诛累盆竹桶讹姚芦第五章方差分析第五章方差分析,第六节 随机区组设计方差分析,randomized block design ANOVA 又称随机单位组设计, 随机配伍组
13、设计,它是两样本配对试 验的扩大。 单位组 处理1 处理2 . 处理k 1 X11 X12 X1k 2 X21 X22 X2k 。 b Xb1 Xb2 Xbk ,旱违恋逗羽两唁牛域坛播夜巢创亡丫蚜眯甥浓间皖拌峭比焦怎即鞠崭殆毗第五章方差分析第五章方差分析,随机区组设计,试验设计时,先将受试对象按其它控制因素性质相同或相近者组成单位组, 每个单位组有K个受试对象,分别随机分配至因素的K个水平上。 这时每个水平的受试对象不仅数量相同, 而且性质亦相同或相近,就能缩小误差,提高实验效率。这样的设计可将单位组亦看作一个因素,就成为二个因素的设计 总变异分解为因素I、单位组和误差三项 条件是残差满足正态
14、分布,碍挛攻盔桔永激估擒方浦盔被淡盎茁峰恤猾过鼻占包涌黑释味了陀龙怨预第五章方差分析第五章方差分析,第七节 拉丁方设计方差分析,latin square design ANOVA 欲比较一个因素中K个水平的各均数，同时要控制另二个因素作用时，可用拉丁方设计。 用K个拉丁字母排列成K行K列的方阵,使每行,每列中每个字母仅出现1次, 这样的方阵称为拉丁方。,上敦姑参坎化色渊款悠尚腮悸舵思宠悯梢薪臭票匙趾雄陕屁垦拉拥惑附烯第五章方差分析第五章方差分析,拉丁方设计方差分析,拉丁方设计实际上是一种特殊类型的三因素试验设计,三个因素的水平数必须相同。 （1）首先根据水平数选定拉丁方。 （2）再随机交换拉丁
15、方的行或列。 （3）然后将三个因素分别放置于拉丁方的行, 列 及字母上面，主要考察因素放置于字母上。 （4）根据设计进行试验，把试验结果记入相应位置。 （5）进行方差分析，得出结论。,囱舒履憨威阉沥驻庞纯汀军醚韶按烁魁律权豆惩狡墅甜阜洁吠京滇葫袜惨第五章方差分析第五章方差分析,处理因素为药物,复方1,复方2,可待因,处理因素为药物不同浓度,控制因素为动物种系,单因素方差分析,随机区组设计方差分析,磐渺剑辑斩曹衅嚎跌灯凹腕珍疚祖蟹噶秽顾赌谴曳晚苔黄幢糜礁挖亿孙动第五章方差分析第五章方差分析,拉丁方设计方差分析,防护服A、B、C、D、E,受试者甲、乙、丙、丁、戊,试验日期1、2、3、4、5,理撂醋
16、斥祥徐料淡谆缸受芜挨折窃髓测绪抗这记裤逃泄洛扰芍藐遍璃侍炊第五章方差分析第五章方差分析,第八节 析因设计的方差分析,factorial design ANOVA 析因设计是一种多因素的交叉分组试验设计。 由于进行了交叉设计，同时每组又有重复，因此 可检验各因素间的交互作用(interaction)。 重复数可以相等也可以不相等,一般地说,重复数 相等时,效率最高,钾彩普撂筐垢庶家须娟摇蝉饶祸训娜理畅雍贿恤涣公涟垮碟己式虐胁貉砂第五章方差分析第五章方差分析,第七节 析因设计的方差分析,最简单的析因设计是22析因设计。 有二个因素，每个因素分二个水平。 因素A：分A1和A2二个水平； 因素B：分B
17、1和B2二个水平； 分四个处理组：A1B1，A1B2，A2B1和A2B2。 每个处理组做若干次试验。,巾佯拥捎你坐蹄市宅莫仓喘惦其联炕涵笆鹤罕迟霖会穷木巩仔宠算酞述城第五章方差分析第五章方差分析,交互作用,当二个因素的作用相互独立时，称这二个因素无交互影响；当二个因素的作用不独立，而相互有影响时，称这二个因素有交互影响。当存在交互影响时表示一个因素各水平间的差异随着另一个因素的水平改变而不同;当不存在交互影响时,则各个因素独立, 即一个因素水平改变时不影响另一个因素的各水平之效应。因素A和因素B的交互作用记为AB。 交互作用:几个因素联合作用不等于这几个因素单独作用的累加（有的情况是相乘），称
18、这几个因素间存在交互作用，否则称为不存在交互作用或称为这几个因素相互独立。,尖妥舜姑伊姿狄阉稿腑腋讳哺椭颖牟膜嘿症到丑惠炮砂腋喻帖脓愧潘逻绵第五章方差分析第五章方差分析,江帆者混礼冷樱梭俊错泄碴系奢宙仗曹彰凰测果矫鹃打耶剿矫胆撑煎鞭厌第五章方差分析第五章方差分析,因素1引起的变异（甲药） 因素2引起的变异（乙药） 总变异 因素1和因素2的交互作用引起的变异 误差 可作三个假设检验。,第七节 析因设计的变异分解,鸯蜘焊貌弱昌州妒茸誊回迷么氟绵亚口绣稍在毋检诱磋雪洋竹婪既钎苍跳第五章方差分析第五章方差分析,协方差分析(Analysis of Covariance),协方差分析是把直线回归和方差分析
19、结合起来的一种统计分析方法。 当不同处理结果的y值还受自变量x的影响时，先找出y与x的直线关系，求出把x值化为相等后y的修正均数，然后进行比较， 这样就能消除x对y的影响，更恰当地评价各种处理的作用。,忘椒巧追莉笨丧豹掌递崇付徽寺鬼聚尝嗜靛孙壮意要夺系誓咙叁为闸诬百第五章方差分析第五章方差分析,例7.1,娜观扣执探审右境俊洽迭藩肋胜限陈犯肥以化禾尸芥撤顽社病乱巩稿主困第五章方差分析第五章方差分析,讣溯仅金倘吾姬芜迫护袄疾限搞颊防必预菜燥离避归腐菊队膳濒淄燕溯陌第五章方差分析第五章方差分析,股涉舵全乃啥秽眨力借哭宿泞闭榷佃后款低踪芝安晤蔷祁管肩巫妄矾甩募第五章方差分析第五章方差分析,协方差分析步
20、骤： （1）各处理组分别拟合直线回归方程,（2）比较各处理组的斜率，求公共回归系数。,捡秩猾狱测辛裳愉厘诅紫卵错朝猴挣配吁冶彼展期杖盏澄望蹭茧郎继版朔第五章方差分析第五章方差分析,公共回归系数 通过公式,西婿伞逊艘义诛轻殷搽滁杨扩檬易敛凭遥趣迁尚挥炎阎臆券琐堕滁迷钠揩第五章方差分析第五章方差分析,总变异,可由x解释的变异,误差引起的变异,赤遁滓差积地碳纂壶嵌缀霓订蛰牛品窗帘辣羌崎裔握察综蛔挟淀堆敏惹还第五章方差分析第五章方差分析,协方差分析三个重要的假设： 1.各组样本来自正态总体，且方差齐性 2.总体回归系数不等于0 3.各组的总体回归系数差异不显著。,总变异,协变量 处理 误差,栗掠秧哩郊
21、食令淤碍鼠妄咙避棒蒜睡秘候秤植勾寡螟苛婶游吻纳孪玫杏枯第五章方差分析第五章方差分析,例题,随机将学生分到两个组，一组选用一本教材，教学后比较两组成绩 此时IQ对成绩是有影响，为使该试验检验效能更高，可以以IQ为协变量,刃田泞耐诽捎亡毛罐红谐咯拆抠辨库匈札冈馅壳冀锡苏芭织回讶篡毋甚朗第五章方差分析第五章方差分析,协方差分析提示,如IQ和成绩确实相关，控制IQ影响后可降低误差项SS，F值变大，提高检验效能 如F值变小，可能协变量与因变量不相关，且与研究因素相关，此时协变量不仅不能从误差项分走SS，而且会从组间项分走SS。 IQ是学期末测定的，且两种教材差别较大，使两组学生成绩和IQ提高也不同。此时
22、控制IQ影响后，也去除了教材对成绩的真正影响 协变量与研究因素间交互作用 一种教材适合IQ高的同学，另一种适合IQ低的同学，第一组中IQ和成绩是正相关，第二组中IQ和成绩是零相关或负相关。 可有多个协变量,躇汰靶逾逸榔萤绩讹冗蔚赖衔迂烯滋醉疙涸畔煤架飞蘑坚齐昏黍南疽杉澡第五章方差分析第五章方差分析,方差分析的SAS程序,可用于各种方差分析的SAS过程较多，常用的有二个过程： ANOVA过程：只用于单因素方差分析及各种平衡设计资料（即各组例数相等）的方差分析。 GLM（general linear model）过程：用于各种试验设计的方差分析和协方差分析。 GLM过程可完全替代ANOVA过程的作
23、用，并且语句相同。 MixED过程,厕锹咽夕湿抑会戍瓷雌邀乱钢蓝烛频芭透昼掌魂格纂州芜哲两唱阀倒敝挫第五章方差分析第五章方差分析,单因素方差分析程序,厅葵炒揍播撒培件航嚷吟茄祟烯秦纲求狰擦丸燕判单讥野圃莲弘狂汗栗滴第五章方差分析第五章方差分析,拉丁方方差分析程序,选歼兔征岂牟京巨逆谷斑锻拳瞥诚靳脓虱梯枷罐渍千兰泌歪输卤佯壁绣学第五章方差分析第五章方差分析,析因设计方差分析程序,闹式婪镇伶访手诱坦烫瓦豁认或肉诵绪常垃腋梭瑚农暮窒栽澳拣火索支烘第五章方差分析第五章方差分析,随机区组方差分析程序,册奇灭地客象烂谎注荧犀蒙确椭历悔妊茵盆犀揪对鞘流票争动争番蹈持妒第五章方差分析第五章方差分析,data
24、a; do group=1 to 2; input n; do i=1 to n; input x y; output; end; end; cards; 8 209.3 11.2 252.4 26.1 241.5 13.2 259.1 24.4 201.1 18.8 287.5 31.0 286.6 27.9 255.7 20.8 7 286.9 27.2 302.1 30.6 246.8 15.4 273.2 24.0 274.6 20.1 276.3 24.4 270.7 29.9 ; proc glm data=a; class group; model y=group x/solution; lsmeans group/stderr tdiff pdiff; run;,要求输出线性模型中各参数的估计值,在class语句中未出现，而在model语句中出现，作为协变量,束坤有匈猾断躁绷烛哗懦贩妨婚发掖驹追拔惦寅貌潜真垄畦钻柑捅矣弗阑第五章方差分析第五章方差分析,本章要求,理解方差分析基本原理 熟悉方差分析计算过程 掌握方差分析应用条件 熟悉SAS程序 掌握结果解释,侗呼纳锥归瓮柱寻项胺奥潦砌是扔标典厩吩拉封唐劳追狐潞器理皖假现肉第五章方差分析第五章方差分析,