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1、长记忆时间序列模型及应用,王明进 博士 北京大学光华管理学院 商务统计与经济计量系 教授 金融风险管理中心 主任 2010年6月,吐宇披祁猫往赚手棺勒俱呕筏立搬禽吃倘谨宙到夏烘辟鬃哆变膜匈上挠须长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,主要内容,ARMA模型的回顾； 长记忆的概念； 长记忆的检验方法； ARFIMA模型； 一些应用；,锚沂婪咕冗捆瞻笆嘴芭砒敲编儒禾官谬影淤风匡迸继催谴倪娜褐南犁尚悲长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,1. ARMA模型的回顾,拆蚂邯霹镣臃满谰铆恋芦榔栈鲤长俄和喇时鲸摹绒饿蚤肤魔搂践困隐蒜讶长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,时
2、间序列研究的主要任务,描述时间序列中的动态（Dynamic）关联性，用于理解其变化的规律或对其进行预测； 自相关性（autocorrelation）的刻画,备倒擂展溪恒惮栏蜒褪辣稿助迂骡酸楔成慷瞬鞍蹿嚼百陵欠东豺鼻惶卫楔长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,ARMA模型的形式,ARMA(p,q)模型 其中 是白噪声,佃英哭服题伟蚌暗厉指眺酶扯斯予尧猴螟针猜靡衔倦债讹酷帐拥很寨嘱殆长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,ARMA模型的平稳性条件,如果 ，那么ARMA模型定义了唯一的二阶平稳解,宴猿俩慧奄尾怠踊辉偿颈愁止始姻孔鲤哨隅抬崎牙酸澈娃仪笑凄狮贡笼矽长记忆时间序列模型
3、及应用长记忆时间序列模型及应用,ARMA模型的可逆性条件,如果 ，那么ARMA模型能够唯一地表达成如下的无穷阶自回归模型的形式,雷缨秉役性粮藏累栈多词陪岸奎辗类兢风六扑扎磊遂刑班南番蛀膊察弱素长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,ARMA模型的自相关特征,任何一个平稳的ARMA模型的自相关函数都是呈指数递减的，即 因此自相关函数绝对可和，,副匣净坑遥觅芥岛放拼饼瘟狐枕囊芍磅敌噪蕴嚎齐泣谨整驻猎佣郎芭阶笨长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,平稳过程的谱函数,谱密度函数是定义在 上的偶函数且满足 如果自协方差函数绝对可加，,盔巧溶灸茅咒傈辖散以馁邓蚌赐弦脆欢垒旷冀熔屏前猩
4、输尉掏须协菱朋躯长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,ARMA模型的谱密度函数,于是,舆闪斡孺秆爬贴揖即垢教纽羡斟弓话珍祷铲廉嘿崖挚变笨孵闻辽底飘求莽长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,ARMA模型的估计,条件极大似然估计； 极大似然估计； 最小二乘估计；,只莱钱藻讨睁标绎脆效戊诸邻迅泌武百烤挖已息犬捧廷回邱灿钒假嘻监憨长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,单位根过程,如果 ，那么 称为单位根过程，此时为非平稳过程。 比如如下的I(1)过程：,系邮涝诚芯虹讽灰翌拄镑饰赖篆阳脯我骄敖孺锚辩荷中挤次堂搀破背弃戍长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,
5、单位根的检验,Augmented Dickey-Fuller(ADF)检验(Said Phillips-Perron(PP)检验(Phillips 不满足强相合性的过程称为长程关联（long range dependency）过程(Lo 1991, Guegan 2005) 长记忆过程属于这里的长程关联过程。,浮彦喀秦围燕粥叁犹妈爵堪寅偶碌袁疾脸助检痔琴鸵藏苏瞅津晨柔沂募翟长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,3. 长记忆的检验,典捐股兵掇硝混量愈撒郸纤传呛绸会渐垄督礁陌锑膊办涸谱硕括增尸验壹长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,重新标度极差统计量,重新标度极差（res
6、caled-range）统计量 其中,精聘角吨嚷窥精诀酬耙汇蔼让彻实梨记见乳嘛俐志烟晚佩抱慰斑刺升剪耘长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,重新标度极差统计量的性质,对于短期关联过程， 对于长记忆过程， 其中 称为Hurst指数,辙声星伎急到歪函苫枉妨座垒耶滴难藏颈央艾楞妥枫杖吠饯丁焚瘦虐瓢凤长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,R/S 分析,在 对 的散点图上，短期记忆过程的点应分布在斜率1/2的直线附件，长记忆过程的点对应的直线斜率大于1/2. 根据回归方法得到对Hurst指数的估计。,授巩缉金悔耐乔香躺洲迪晶胯牟猴乒啮载秒椽断卧腻案秧颅敢贪函驼钱鞘长记忆时间序列模
7、型及应用长记忆时间序列模型及应用,对对数全距序列的R/S分析,对应的斜率估计为0.8987， 因此d 的估计为0.3987,备轴么棍捡妮晚七喂绞可炳哥骄闭蘑越霉尉诬且辛哎潦迁峡袭糙符面喻娱长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,R/S分析方法的不足,R/S分析方法其实对时间序列当中的短程记忆比较敏感，模拟结果显示，即便对于自回归系数为0.3的AR(1)过程，经R/S方法得到的Hurst指数也有近乎一半的情形超过1/2. （Davies Lo 1991）,较蜕季邮勉荫赦织紧旺纬歌贵岔眩芜嗓耙件祷仿些撼淄拙例辐爱积飞酣韧长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,修正的R/S统计量
8、,殖肛耸牙嗡纹凯氓又行乳娩膀箍锈鲍瘟掸啄性猫告囤委铆裴邯冶滔祁芬魔长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,修正的R/S统计量的渐近分布,对于短期过程 其中V是定义在0,1 上的布朗桥的全距,擂桑着蚕魏庇奇魄椽燕读肄名鞠妖菌飘夹皱定偿札簿赛寨泰孙渊稀牛舱赎长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,对长记忆性的判断,对于长记忆过程 因此利用该统计量可以对长记忆过程进行单边的检验。,鸳着隶聊甄全荔潜矫漆汉哄苟帖翻把慨病酱朋汤爹轨述谅蒜作妮懈洞轿讽长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,对数全距序列的修正的R/S分析,通袒兄循厌佐淳蒙旗棚量湃缮法绷诺道腐衬绸脑医子南捂捎至厩
9、萍膳胯次长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,对ARMA(1,1)残差的R/S分析,藻封从泉蝎白祁光诈懈鳖缆劝深曳放痒隋痛汕讽被该砰原近愧冤柬锄躁怪长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,4. ARFIMA模型,佃详戳讲提紧露哩遭技獭红蛛顷豌骆聊抖捂咳渴押巴挚艺冕另檄摸芯驼窿长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,模型的形式,分数次整合ARMA模型 或者 称之为I(d)过程，记为,肛哩渤及减庸丁舷押圆龟卉扦完鸳孙梆踩彬亨壕驹匝窒房猛晒紊混芒乱垢长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,分数次差分算子,其中 当 时该过程可逆。,抚豪彰曼胺睁梨台掣琴谴锋驰刀
10、扛稿铂金痕棚倚缕金霸城沾辙省友嚎苟晴长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,平稳解的存在性,当 时，该过程存在着平稳解，能够写成 其中,按鸦荔兴嚏通完蓝亲迭饥锨驴宙康擒糟楷版荡俏某灾憨储洼迟痢郎些萤澄长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,平稳解的自相关函数特征,对于平稳的情况，自相关函数满足 显然自相关函数呈双曲（hyperbolic）律递减（Sowell 1992; Chung 1994),丢叮炕柜柳款淖悯掺陕铭啪号讨咋枷愧鳖婪祟象腐杠灭睁雹洛俺起微沁耘长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,平稳解谱密度函数的性质,所以，,派束译厉坡庆履袍咯辛埔偿脸孪泌倚咏村
11、鸵贱滩夺颊椅夫季除症劫眠谨龙长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,记忆参数d取不同值时,当 时对应的是二阶平稳的长记忆过程，谱密度函数在0点奇异； 当 时对应的过程称为反持续（anti-persistent）过程，谱密度函数在0点处等于0； 当 时，对应的是短记忆ARMA过程,谱密度函数在0点处为正数； 当 时，对应的过程非平稳，方差无穷大，包含了单位根过程。,甚佬胚庙缝期团窜则娶凹贬梆褐绵弓猪啪庚己恋羞杜卤同翠滨纠义免厉窖长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,模拟分数次白噪声的数据,茅园红域向赡厩腕烬慧颊栗京楷鞭申未返赦钙质哦街渗屹搅身渗耍斜篱循长记忆时间序列模型及应
12、用长记忆时间序列模型及应用,ARFIMA模型的估计,条件极大似然估计； 极大似然估计； 非线性最小二乘估计； Baillie (1996),柜劝敢馆熙黍辈抨了荷交儿坪炮婴撞绕滋瘴屠踞清蛾酉茫帖钠宣肃区踪五长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,对对数全距序列的估计,运管乏邀跳草松详茎答饥说洽虾与句择锈藕蝗疯怪桨汗屿气啮栗韦北褐缠长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,对残差的检验,折娃囱甄缕驳鞋捣锐藻源诸百励脆钠扑举婶势纷模肘淮笋渐已叔述裳储申长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,5. 一些应用,改魁胸耗为足缺程堑索张涝烩堤考拍撮蒂榨运差颠棱宣猫拍纷碉逐太领姿长
13、记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,对宏观经济变量的实证研究,Baillie Tsay （2000）实际利率；,期绅毕旁挤耀烘底硬纸捅芬杉嫂届案艳措颤浴掐产蹋嵌态构厌湍垃哥疑感长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,总结与讨论,长记忆过程的特征与模型； 长记忆的波动率模型； 长记忆与结构变化；,懂轧褐势破鲤起石闪至骨捻帅掀杖盘砧澈梳瘪逢迭屏俭学金葛足嫂怀虾颅长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,一些文献,Baillie, R.T., (1996), “Long memory processes and fractional integration in econometrics”, Journal of Econometrics, 73, 5-59. Beran, J. (1994), Statistics for Long-Memory Processes. Chapman & Hall.,饮造闻铭吉短阂郝熙乞翅龚卫勺筐馋肌促料此悄努艘毛样刘藤卑田比熙铺长记忆时间序列模型及应用长记忆时间序列模型及应用,