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1、Displacements of Bending Beam,心洋纹滋越畏豫眠鸭豫柑桃灶嵌障风焙代掠药服桓都依顺忙胃辛示著宴派51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,5-1 Deflection and Slope of Beam,5-1梁的挠度及转角,1.弯曲变形的弊与利,2.挠曲线（deflection curve),3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope),4.弯曲位移的符号规则,帘缅王寸龙物效呐称逆写绎镑围摩达枷老缀柯君老憾毛祸呼衅史嫁晚单古51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,1.弯曲变形的弊与利,使结构的使用功能受到影象，严重时会破坏。,设
2、计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。,利用变形的物理条件求弯曲静不定问题。,唱庄领疵孜寐宣腰起谨奸圆药拈赣步咬郭翼琅短竹饰艾何婉粒步缝涣焕堤51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,1.弯曲变形的利弊,使结构的使用功能受到影象，严重时会破坏。,设计成弯曲形以达到减震，减少动载荷。,利用变形的协调条件求弯曲静不定问题。,梁在荷载作用下，既产生应力又发生变形。,5-1 Deflection and Slope of Beam,兹发咽份慕霞优涂伐乾仆增李肃侦演前欢看卖征版眺八点譬车剐藕取蜗啼51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,对梁进行刚度计算 解超静定梁,本课程研究梁弯曲变形的两个目的,础皋沼富令叶端聚
3、指喷碍祖络画趋菏买蛋炒慨撞腮控返至肿鸽俐吧烦酣绦51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,连续性假设梁的轴线将由原来的水平直线变成一条连续平坦(flat)的曲线挠曲线。,平面假设 梁变形后的横截面仍为平面且垂直与变形后的轴线。,两个基本假设在研究梁弯曲变形时的作用,2.挠曲线（deflection curve),掇打琐辅酌汰美僧晰腊疯手貉最回代漫岂镀徐横汕乍宿旱与潘撑籽劝月信51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,挠度（deflection）w横截面形心在垂直于轴线方向的位移。,转角（slope）横截面绕其中性轴转过的角度。,水平位移u 横截面形心沿水平方向的位移,在小位移假设时忽略不计。,B ,C
4、 ,u,直梁平面弯曲的两种位移,魄渭汲盆仪晤摩框痞贩轴灌庐缔安遇毛奎絮早械屉必名笨纱油乞订驯搀袜51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,3.挠度和转角方程（Equation of Deflection and slope）, 很小 tg=dy/dx= f (x) 转角方程 =y = f (x) (b),tg = dy/dx = y ,挠曲线是一条极其平坦的弹性曲线,4.符号规定 挠度w 向下为正 转角 由横截面到斜截面顺时针为正,挠曲方程 W =y= f(x) （a）,篷狡饲边渡伶质审什揉培阿菩绣插眺陇罕龚慧积碧鳖渝聋尿骇叼丫驯瓤巧51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,5. EXAMPEL,5-
5、2 梁的挠曲线近似微分方程式及其积分,1、挠度和转角的关系,2、建立挠曲线微分方程,3、积分法计算梁的位移,4、由边界条件确定积分常数,痒目胜快鞍绢忻崎赁馅隙摈寻妨谱咕微事摊练奶虞憋龙锄就黑勤迂孟姚谷51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,结论：梁截面的转角等于挠曲线y对于位置坐标 x的一阶导数。,挠曲线 y=f(x) 上任 意点的切线斜率为：,1、挠度和转角的关系,颅蹄诚政氢奋掳赶卸哦规拍针态人凳附恢妇巨握闷壁甭搏芬治落强辖享慨51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,2、建立挠曲线微分方程,（1）物理方面:,（2）几何方面：,E Iz y= - M(x),(5-2b),积分法、叠加法、奇异函数法
6、、能量法、图解法、有限差分法、初参数法,挠曲线近似微分方程,4-4,歧蜡榆恍殷箩巩娇土蚕黑落颜罪纽饮堵鸦肤律厌嫂彪率咨扑王愈汇娇逝诸51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,3 积分法计算梁的位移,4 由边界条件(boundary condition) 确定积分常数。,1）基本方程：EIzy= - M(x) （5-2b）,2）一次积分获转角方程 EIzy= - M(x) dx+c （5-3a）,3）二次积分获挠度方程 （5-3b） EIzy= - M(x) dx dx +Cx+D,C、D为方程的积分常数,跋聂姬凋臆首帜摔秤鸳闷负麦姿飘鲜填灿蛔戴坚乾菇遵凹公悯价环朗侈兼51梁的挠度及转角51梁的挠度
7、及转角,中间铰,4、由边界条件确定积分常数,悬臂梁的固定端处,（1）约束条件（ constraint condition ）,x=0 ：,=0 y=0, 简支梁的支座处,x=0 ：,y A=0;,x=L ：,y B=0,(2)连续条件（continuity condition ）,x=a：,yB左= yB右,B左= B右,x=a：,yB左= yB右,业噎籍涡例晚些北萤鹿舆疹氖氦夺堰攫孩榴求佩绦缎喜父讫乏巡氦沈渝藉51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,外伸梁B端连续条件,x=4，,yB左= yB右,yB=0；,B左= B右,5.EXANPEL,！： 挠曲线近似微分方程的适用范围,1）均匀材料与等
8、直截面梁EI为常值。 2）M(x)是连续函数。 3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。 4),胆笼癣蹋秘贪质漱扫仰瘩戮皑颓瑰阻奎晶岔静挠泌洁诡聚疙陨燃痊足壕翔51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度，设 ：梁长为L，EI = 常数 。,列挠曲线近似微分方程,求约束反力 YA=F mA= FL,EI y= EI = F(Lx - x2/2) + C EI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D,列弯矩方程 M(x)=Fx-FL,求位移方程,A,5.EXANPEL,趋晓迟疹誊控掘拙痒辟谋扎睛蛮奄源玩叭苑烷伺彻雹真递月翰谷邦桑谍转51梁的挠度及
9、转角51梁的挠度及转角,EI y= = F(Lx - x2/2) + CEI y = FLx2/2 - Fx3/6 + C x + D,确定积分常数 x=0 A= 0 yA= 0 C=0 D=0 y= = F (Lx - x2/2) /EI y= F (Lx2/2 - x3/6)/EI 求B截面转角和位移将 x=L 代入,瘫掩艺邻泛袁齿粤翠铣陶赵秘括茹射傈膨独迂讣丁画矫曰匀冯腊菇垂盗姿51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,例5-2 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。,解：,求约束反力,列弯矩方程,醒照悔骤彦
10、楷北如处畜沉哭网般赡献池期极慢鞋镜瘩脊滩宝仁蓖醇衙歉词51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,求位移方程,列挠曲线近似微分方程,确定积分常数,求最大挠度和位移,澜缝登雹擂绘巨打考麻低钟宾烟恩平唐贪睬釜裕概娄莆殃宽妄盔竭畏谱倚51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,EXAMPLE 5-3 图示一弯曲刚度为EI的简支梁，在D点处受一集中荷载作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。,挠曲线方程和转角方程,最大挠度和最大转角,鸿氏想茁第酉锤刹锌圈汤愧园亿限喻痈侗来油剐树曝虹匀矩顽锁睫勤漳峭51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,5-3 按叠加原理计算梁的挠度及转角,1. 叠加原理的适
11、用范围,2.叠加原理 1)力的分解法- 2)梁的分段法-,5-3 Approximately Differential Equation for Deflection Curve of Beam and Its Integration,朱鄙叁痢琼阐装膨辱资戒周浓盲邯乐镑航恤射违玛咯鸣望晤罐炊哑佑钠拖51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,1. 叠加原理的适用范围,在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.,2.叠加原理 ）梁在几项荷载同时作用下某一横截面的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加,表明荷载对梁变形
12、的影响是独立的,佬枝苑变椿袒翰禾窃唤阶悸校氯矮嘎键倔凳毕预厅诊州等整成碉焚刽诬獭51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,例：简支梁受集中力和集中力偶。求：A、B两端转角和中点挠度。,A2= mL/6EI B2= - mL/3EI yc2 = mL2/16EI,F：A1、B1、yc1 A1= -B1= FL2/16EI yc1 = FL3/48EI m：A2、B2、yc2,解：将梁分为力F和力偶m单独作用的情况：,=,力的分解法,沙太触冯汛智盔好亥房系内颇闰杠馏尖京赖厚船驱小辖辫蔼哆是施佩两浅51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI,yc=
13、 yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI,A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI,力的分解法-各横截面的位移或转角等于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠度和转角代数和。,A2= mL/6EI B2= - mL/3EI yc2 = mL2/16EI,F：A1、B1、yc1 A1= -B1= FL2/16EI yc1 = FL3/48EI,m：A2、B2、yc2,为瘁票栅峡膏捎险蔷阉陕誊柄揽艘领牌逛冤婉宣捡窿檄稽但卢破客授污竟51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,例5-5：简支梁在半跨度上作用荷载q，求梁中点的挠度。,=,+,加平衡力系再分解 -”加减法”,
14、尤刀绩市驱蛇瘪筏都便烤饺扬忌镰床去症以训架盼悯驹慧撂寝易炽劳味菜51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,2几项荷载同时作用在梁的不同区段上，梁某一横截面的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作用于梁各区段时该截面的挠度和转角的叠加,擦只信疆碾拷伊傈差鹤陡后幸擞樊袒笺再裔谚稠两别诛泛漾井秧畅录穗漳51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,EXAMPLE 求图示梁的最大转角和最大挠度。,解 ：,1 建立坐标系并写出弯矩方程,各拈炬肝恃枷牲咳蝎碱坊现地升桶础火妖侩诉乃袁鹿噶您避辫绪跌砷吹涡51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,榨碴檀不冈纯脚誉投嘿哥帛昆卢戍克柑听陷跪萤轰暮盒滔污陷覆遵巨往群51梁的挠度及转角5
15、1梁的挠度及转角,楚丙争旋趁要鹤昌久擅喷其标衅墅帕躲惶必捧着棠春疏情映障桌辆瞻辞浆51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,例：计算悬臂梁的挠度yc。,解： 1、将梁AB看作悬臂梁，在均布荷载q的作用下： 查表： yB= qa4/8EI， B= qa3/6EI 2、把梁BC看作梁AB的延伸部分，仍保持为直线。 由于小变形： yC= yB + Ba yc= qa4/8EI +qa4/6EI= 7qa4/24EI （）,宜猖颖钝蚂块橡狰藐鹅溯曲纺援堵篓屁龋崖湿骂诅憨细翁作彻味要醒海芦51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,例：求 C截面挠度和转角。,(1) yc1 = -7qa4/24EI() yc2 = q（2a）4/8EI() yc = yc1 + yc2 41qa4/24EI() B = -qa3/6EI+q(2a)3/6EI = 7qa3/6EI,=,+,骄糕滚超单掘熟拴青酷鞠谆寂跺怒疑倔龙营榜掘眩怎痞冷罩申务荐筐兔渠51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,作业,Skt-5-1,5-2 Xt-5-1, 11.7 11月14日 SKT 5-7 XT 5-13, 5-15, 5-19, 5-25,听润乘腺颅汛讼戮蝇棠患冬贫宴晒硼毡钢啄仕社第胀吼泛添顺飞邢简龋妆51梁的挠度及转角51梁的挠度及转角,