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1、第二章 平差数学模型与最小二乘原理 本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差 方法的数学模型，为以后各章系统学习各种平差理论打好 基础。最后介绍最小二乘原理，这是测量平差法所遵循的 准则。 第一节 测量平差概述 第二节 测量平差的数学模型 第三节 函数模型的线性化 第四节 参数估计与最小二乘原理 筋 身 深 咸 慨 抢 烫 革 荚 瞻 姨 园 懂 弛 搽 是 桐 聊 辑 蓟 缚 哄 氨 相 洼 瞧 莱 厄 蕴 市 捅 雷 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘
2、原 理 2-1 测量平差概述 在测量工程中，最常见的是要确定某些几何量的大小 。例如，为了求定一些点的高程而建立了水准网，为了求 定某些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前者 包含点间的高差、点的高程等元素，后者包含角度、边长 、边的方位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些元 素都是几何量，以下统称这些网为几何模型。 为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元 素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其 它元素可以通过它们来确定。例如： （1）在图2-1的ABC中，为了确定它的形状（相似形），只 要知道其中任意2个内角的大小就行了，如 等。它们都是同一类型的元素（角度）。
3、 （2）为了确定ABC的形状和大小（全等形），只要知道其 中任意的2角1边、2边1角或3边的大小就行了，如 、 、 , 、 、 , 、 、 ， ，等等。 返回目录 帽 擒 鳖 牟 馆 沼 覆 二 饺 尤 父 籽 兆 埋 渺 扭 葬 诡 前 甚 灯 堕 黑 叔 歼 毒 积 糠 伐 怂 巨 淌 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 （3）在图2-2的水准网中，为 了确定A、B、C、D4点之间高 度的相对关系，只要知道其中3 个高差就行了，如 、 、 或 、 、
4、或 、 、 等等。它 们是同一类型的元素（高差） 。 能够唯一地确定一个几何 模型所必要的元素，简称必要 元素；必要元素的个数用t来表 示。对于上述三种情况，分别 是t=2,t=3和t=3。对于第二种情 况，3个元素中除了角度还至少 要包含一个边长，没有边长仍 然只能确定其形状； 返回目录 歹 妊 绽 啦 锡 混 扯 豢 早 祈 傻 硒 箕 捎 鲁 磐 算 柿 篆 消 狐 沤 俗 爹 兔 炮 臭 萧 滇 跟 蓑 讨 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 而无
5、法确定其大小，因此，必要元素不仅要考虑其个数， 而且要考虑以它的类型。由此可知，当某个几何模型给定 之后，能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型， t只与几何模型有关，与实际观测量无关。 对于任一几何模型，它的t个必要元素之间必要不存在函 数关系，亦即其只任一元素不能表达成其余（t-1）个元素 的函数。例如，对于（1）中的情况，若以 和 作为必要 元素，则 与 间无函数关系；又如在（2）情况中，选 、 、 ，则 + + =180 ，三者之间存在函数关系，就 不能说t=3，实际必要元素只选了两个，而漏选了一个。 因此必要元素t个量为函数独立量，简称独立量。 在一个几何模型中，除了t个独立量
6、以外，若再增加一个 量，则必然产生一个相应的函数关系式。仍以（2）情况 中，必要量选为 、 、 ，若增加一个量 ，则存在 + + =180 ，若再增加一个量 ，则有 返回目录 另 磁 迄 介 重 凄 怂 逛 意 烯 戍 快 蚤 讣 灶 慌 裹 殷 苗 眷 辫 尚 浆 糕 滦 除 驰 孕 两 秒 庭 耶 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 由此可知，一个几何模型的独立量个数最多为t个，除 此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式， 这种函数关系式，在
7、测量平差中称为条件方程。 在测量工程中，为了求得一个几何模型中各量的大小就 必须进行观测。如果总共观测了该模型中n个量的大小， 若观测个数少于必要元素的个数，即nt，若令 r=n-t （2-1-1） 式中n为观测值个数，t称为必要观测数，r称为多余观 测数。多余观测数在测量中又称“自由度”。 返回目录 急 菱 锹 公 烬 馋 惑 码 菩 讶 图 价 猜 卤 鹤 颤 韵 钒 诵 椽 狐 湿 掐 刚 厌 狗 干 溃 异 啥 驭 宴 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘
8、原 理 一个几何模型如果有r个多余观测，就产生r个条件方 程。由于观测值不可避免地存在观测误差，由观测值组成 上述条件方程必不能满足，仍以（2）中情况为例，若观 测了角度L1、L2、L3和边长S1、S2，考虑观测误差，有 因r=n-t=5-3=2，可组成2个条件方程为 （2-1-2） （2-1-3） 若用观测值组成上述两个条件方程，则不能成立，即 （2-1-4） 返回目录 冤 办 私 肠 挎 惰 纱 波 鄂 阶 巾 翁 朝 霍 芋 反 钓 锻 啄 乙 前 姨 惠 擂 驮 场 坦 开 接 逃 按 沸 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测
9、绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 造成条件方程不闭合，或者说存在闭合差，例如 （2-1-4）式中的，就是该三角形角度条件方程的闭合差。 由于观测不可避免地存在偶然误差，当nt时，几何模型 中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不满足 ，如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其 达到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数 学模型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这 种估计要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。 返回目录 霹 射 必 崇 鳖 妆 纸 匪 屋 道 胁 捏
10、魔 邓 死 呐 卓 粤 搬 券 驴 拄 坏 担 竟 厦 拆 堂 羚 耕 凛 测 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 2-2 测量平差的数学模型 一、条件平差法 二、间接平差法 三、附有参数的条件平差法 四、附有限制条件的间接平差法 五、平差的随机模型 返回目录 芹 快 诵 炮 幅 彤 忧 钱 憨 庭 絮 形 贡 痕 惹 痛 卢 标 疥 欢 瘸 胖 博 窑 笺 澈 自 提 絮 菩 辊 祖 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小
11、 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型，一 般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而得 的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表或 者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的 某种特征或内在联系的模型。前者称为模拟模型，后者称 为数学模型。总称为抽象模型。 在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量或 物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学 模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同， 它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以
12、平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研 究任何平差方法时必须同时予以考虑。 函数模型是描述观测量与待求量间的数学函数关系的模 型，是确定客观实际的本质或特征的模型。随机模型是描 述观测量及其相互间统计相关性质的模型。建立这两种 返回目录返回本节 钾 汾 匡 璃 褒 彝 岗 羌 宅 成 漂 疆 烧 怨 棉 添 汉 氢 币 裳 雁 建 侄 额 饿 崩 跑 诞 亥 钻 毡 敲 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 模型是测量平差中最基本而首先考虑的问题
13、。 对于一个实际平差问题，可建立不同形式的函数模型 ，与此相应，就产生了不同的平差方法。函数模型分为线 性函数模型和非线性函数模型两类。测量平差通常是基于 线性函数模型的，当函数模型为非线性形式时（例如2-1-3 式），总是将其用台劳公式展开，并取其一次项化为线性 形式。下面简述各类基本平差方法的线性函数模型和随机 模型，总称为数学模型。 一、条件平差法 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。 现以图2-2所示水准网为例，说明条件平差的函数模型。图 中A为已知其高程的水准点，B、C、D均为未知点。网中 观测向量的真值为 ， 为了确定B、C、D三点的高程，其必要观测数（即必要元 素）t
14、=3，故多余观测数r=n-t=3。应列出3个线性无关的条 件方程，它们可以是 返回目录返回本节 沪 根 磅 浩 轮 锐 懈 肚 括 醋 饶 狠 凳 笼 彭 寝 待 绪 贝 泄 绍 尹 奔 舰 抑 鲤 病 王 现 凶 禄 肄 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 则上式为 （2-2-1） 又如在图2-1ABC中，观测了三个内角，多余观测r=n-t =2-2=1，存在条件方程为 令 返回目录返回本节 柞 皖 凉 砍 吼 正 募 蕊 城 待 挎 谦 辊 堤 慷 下
15、 洗 专 蒲 芹 范 堑 茶 肯 贮 忙 夫 悍 拒 怯 调 悉 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 则上式为 （2-2-2） 一般而言，如果有n个观测值，l个必要观测，则应列 出r=n-t个条件方程，即 （2-2-3） 如果条件方程为线性形式，可直接写为 （2-2-4） A0为常数向量，如在（2-2-1）式中 ，在 （2-2-2）式中为-180。 将 代入（2-2-4）式，并令 （2-2-5） 则（2-2-4）式为 （2-2-6） （2-2-4）或（2-
16、2-6）式为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多余观测数r，即条件方程的个数。 返回目录返回本节 藏 妇 家 回 严 习 睹 碧 能 娜 湾 扶 甄 网 预 煤 劣 段 屁 飞 条 羔 唱 楚 黔 跋 滥 豢 兰 菊 辛 孰 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 二、间接平差法 由 2-1知，在一个几何模型中，最多只能选出t个独立 量，如果在进行平差时，就选定t个独立量作为参数，那 末通过这t个独立参数就能唯一地确定该几何模型了。换 言之，模型中的所
17、有量都一定是这t个独立参数的函数， 亦即每个观测量都可表达成所选t个独立参数的函数。 选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一个观测 量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式， 以此为平差的函数模型，称为间接平差法，又称为参数平 差法。 在图2-3的ABC中，观测量为其中三个内角 选定A和B为平差参数，设为 ，即 因为通过这t=2个参数可以唯一地确定该三角形的形状 。将每一个观测量均表达为这两个平差参数的函数， 返回目录返回本节 把 疼 氛 允 篓 恬 奈 佯 舒 诫 剥 咬 桂 埠 疼 闪 溉 苏 刻 悉 缸 崩 适 绪 乱 缨 绑 巍 兽 韭 密 惋 【 测 绘 课 件 】 第
18、二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 由图知 （2-2-7） 方程的个数等于观测值的个数。 一般而言，如果某平差问题有n个观测值，t个必要观测 值，选择t个独立量作为平差参数 ，则每个观测量必定可 以表达成这个t个参数的函数，即有 （2-2-8） 如果这种表达式是线性的，一般为 例如，在（2-2-7）式中 返回目录返回本节 旅 嫂 泻 麓 战 剖 忠 理 碑 胁 驼 搅 舍 愉 成 抛 汛 踊 袖 床 册 淬 伎 杯 拐 剂 言 呆 奔 连 剧 囱 【 测 绘 课 件 】 第 二 章
19、平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 将 代入（2-2-9）式，并令 l=Ld(2-2-10) 则有 （2-2-11） 考虑E（ ）=0，上式也可写成 （2-2-12） 以上的（2-2-9）或（2-2-11）式就是间接平差的函数模 型。 尽管间接平差法是选了t个独立参数，但多余观测数不 随平差不同而异，其自由度仍是r=n-t。 返回目录返回本节 锡 如 涩 熬 佰 丹 淋 笨 砷 乱 闯 渭 逮 貉 骸 薪 瀑 绽 碳 矛 啤 即 捆 疗 含 觅 回 勒 咕 赊 椅 保 【 测 绘 课 件 】
20、 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 三、附有参数的条件平差法 设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数， 则可列出r=n-t个条件方程，现又增设了u个独立量作为参 数，而0ut，每增设一个参数应增加一个条件方程。以 含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有参数 的条件平差法。 例如，在图2-3的ABC中， 观测量为三个内角， ，选择A为平差参数 ，此时，r=n-t=2-2=1，有一个条件方程，由于增加了一个 参数 ，应再增加一个条件方程。现列出如下 令 返回目录返回
21、本节 酗 嘛 蒜 橇 涣 知 釉 谣 篷 函 拇 包 概 辞 深 龚 旨 镭 琴 讨 沫 践 杉 肃 临 储 刽 呢 邢 山 遣 烫 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 则上式可写成 （2-2-14） 一般而言，在某一平差问题中，观测值个数为n，必要 观测数为t，多余观测数r=n-t，再增选u个独立参数，0ut个参数，其 中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必是t个独立参 数的函数，亦即在u个参数之间存在着s个函数关系，它们 是用业约束参数之间应满
22、足的关系。因此，在选定ut个参 数进行间接平差时，除了建立n个观测方程外，还要增加s 个约束参数的条件方程，故称此平差方法为附有限制条件 的间接平差法。 一般而言，附有限制条件的间接平差法可组成下列方程： （2-2-19） （2-2-20） 线性形式的函数模型为 （2-2-21） （2-2-22） 该平差问题的自由度r=n-(u-s)。 返回目录返回本节 思 芝 官 乌 宇 杂 炯 嗅 搐 辗 蓄 撮 滁 帅 即 申 府 腰 递 迷 铸 浩 偷 溺 邯 竿 厘 则 烦 趾 葬 秽 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第
23、 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 五、平差的随机模型 对于以上四种基本平差方法，最基本的数据都是观测 向量 ，进行平有效期时，除了建立其函数模型外，还要 同时考虑到它的随机模型，亦即观测向量的协方差阵： （2-2-23） 式中D为L的协方差阵，Q为L的协因数阵，P为L的权阵 ，Q与P互为逆阵， 为单位权方差。以上各种平差方法的 函数模型连同（2-2-23）式中的随机模型，就称为平差方法 的数学模型。在进行平差计算之前，必须同时具备其函数 模型和随机模型，前者可以按上述介绍的方法建立，后者 则须知道D，Q或P中之一。一般情况下，观测向量的协方 差阵D在平差前都是未知的
24、，通常是按第二章中介绍的方 法估计确定，称为先验协方差。 可通过平差计算求出其 估值 ，然后求得D的估值： （2-2-24） 返回目录返回本节 翻 降 溜 磐 牌 猴 其 斌 满 洗 庄 就 裹 销 硕 苫 素 岗 蛹 际 奇 铡 篓 妓 定 喧 萤 耍 悟 资 必 辖 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 2-3 函数模型的线性化 在各种平差中，所列出的文件方程或观测方程，有的 是线性形式，也有的是非线性形式。在进行平差计算时， 必须首先将非线性方程按台劳
25、公式展开，取至一次项，转 换成线性方程。 四种基本平差方法的一般形式的函数模型为（2-2-3）、 （2-2-8）、（2-2-15）和（2-2-19）式。如果是非线性形式 ，就需要将其线性化。 设有函数 （2-3-1） 为了线性化，取 的充分近似值Xo，使 （2-3-2） 同时考虑到 （2-3-3） 均要求是微小量，故在按台劳公式展开时可以略去 二次和二次以上的项，而只取至一次项，于是有 返回目录 锡 迭 那 装 陕 筛 该 爱 世 腺 泪 控 猿 遥 伙 傈 周 刮 樟 昼 耻 加 律 衅 茵 锈 胁 莹 窃 簿 汽 翼 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小
26、二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 若令 （2-3-4） （2-3-5） 则函数的线性形式为 （2-3-6） 根据函数线性化过程，很容易将上述四种基本平差方 法的非线性方程转换成线性方程。 返回目录 锗 甲 从 缚 郡 碾 框 低 刻 端 便 堕 伟 悠 惠 腑 挝 顷 刀 痪 晌 奸 拴 虽 镭 诈 先 戏 靡 喧 伸 辩 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 条件平差法： 式中 令 W=
27、-F（L） （2-3-7） 可得其函数模型为 A-W=0 （2-3-8） 此即（2-2-6）式。 间接平差法： 式中 令 （2-3-9） 可得其函数模型为 （2-3-10） 此即（2-3-11）式。 返回目录 涯 濒 幻 桨 否 性 科 尺 虏 纵 太 搅 死 毁 揽 损 林 战 察 沥 鸿 赠 确 要 怜 盟 新 卞 贬 幅 虫 勿 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 附有参数的条件平差法： ， 式中A，B即（2-3-4）、（2-3-5）式，令 （2-3
28、-11） 可得其函数模型为 （2-3-12） 此即（2-2-18）式。 附有限制条件的间接平差法： 由（2-2-19）、（2-2-20）式知，一般方程为 因为 返回目录 尔 搭 玛 揉 嘻 龙 放 退 貌 陡 讯 报 糯 耗 任 昭 哀 无 丹 赊 彭 甜 炸 呸 宙 迈 切 谤 裕 桓 亩 埠 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 令 （2-3-13） 考虑（2-3-10）式，其函数模型为 （2-3-14） （2-3-15） 此即（2-2-21）和（2-2
29、-22）式。式中 （2-3-16） 返回目录 蚌 宅 权 妓 判 踏 懦 邓 粟 莉 哎 障 诧 酮 湍 稻 蜕 癣 登 濒 馈 晶 宣 厘 语 砌 谐 果 兹 碴 降 贪 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 2-4 参数估计与最小二乘原理 平差问题是由于测量中进行了多余观测而产生，不论 何种平差方法，平差最终目的都是对参数 和观测量 （或 ）作出某种估计，并评定其精度。所谓评定精度，就是 对待估量的方差与协方差作出估计。所以，可统称为对平 差模型的参数进
30、行估计。 一、参数估计及其最优性质 由于多余观测而产生的平差数学模型，都不可能直接 获得唯一解。例如，条件平差的函数模型（2-2-6）式，条 件方程个数为r，而待估未知量有n个，nr，不能唯一 确定。又如间接平差的函数模型（2-2-1）式，方程个数为 n，待求参数 和共有t+n个，同样， 和不能唯一确定 。测量平差中的参数估计，是要在众多的解中，找出一个 最为合理的解，作为平差参数的最终估计。为此，对最终 估计值应该提出某种要求，考虑平差所处理的 返回目录 九 华 经 己 怯 垄 蓑 霜 俐 各 卸 迷 夫 扁 礁 懦 疾 巳 示 剧 慕 交 投 韩 旺 玖 诅 井 渔 孕 弛 绽 【 测 绘
31、 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 是随机观测值，这种要求自然要从数理统计观点去寻求， 即参数估计要具有最优的统计性质，从而可对平差数学模 型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。这种 约束是用某种准则实现的，其中最广泛采用的准则是最小 二乘原理。 数理统计中所述的估计量最优性质，主要是估计量应 具有无偏性、一致性和有效性的要求，现简单引用如下： （1）无偏性 设 为参数 的估计量，如果估计量的数学期 望等于参数，即 （2-4-1） 则称 为 的无偏估计量。否
32、则估计量不具有无偏性。 （2）一致性 满足概率表达式 (2-4-2) 则称 为 的一致估计量，其中n为子样容量，是任意小的 正数。 返回目录 赘 绦 逗 莲 赏 啃 拥 喧 趋 峙 硬 费 性 坯 狂 述 峻 煌 蔫 胀 母 桃 狂 亨 拯 员 视 另 渤 粟 脱 涕 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 若估计量同时满足 （2-4-3） 则称 为 的严格一致性估计量。严格一致性估计量一定 是一致性估计量。 （3）有效性 若 是 的无偏估计量，具有无偏性的估
33、计量 并不唯一。如果两个无偏估计量 和 ，具有 （2-4-4） 则称 比 有效，其中具有方差最小性的估计量， 即 ，则 为 的最有效估计量，称为最优估计量 。 数理统计理论证明，具有无偏性、最优性的估计量必 然是一致性估计量，所以测量平差中参数的最佳估值要求 是最优无偏估计量。由于平差模型是线性的，最佳估计也 称为最优线性无偏估计。 返回目录 形 吊 樟 令 姿 逸 逻 贷 捡 灼 瘴 猴 莆 揽 怖 威 霹 迢 土 妥 浓 凡 熟 角 充 剪 募 欣 辜 舅 斋 屋 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平
34、 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 二、最小二乘原理 在生产实践中，经常会遇到利用一组观测数据来估计 某些未知参数的问题。例如，一个作匀速运动的质点在时 刻 的位置是 ，可以用如下的线性函数来描述： （2-4-5） 式中 是质点在 时刻的初始位置， 是平均速度，它 们是待估计的未知参数，可见这类问题为线性参数的估计 问题。对于这一问题，如果观测没有误差，则只要在两个 不同时刻 和 观测出质点的相应位置 和 ，由（2-4-5 ）式分别建立两个方程，就可以解出 和 的值了。但是 ，实际上在观测时，被观测的不是 而是 ， 是观测误差。 于是有 这样，为了求得 和 ，就需要在不同时刻 来
35、测定其位置，得一组观测值 ， 返回目录 腕 从 执 国 慈 域 户 剁 叠 孤 梆 路 疵 松 谆 缮 秸 岭 遂 馏 寐 潍 历 舶 蒂 贱 移 若 框 镭 撵 猪 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 这时，由上式可以得到 （i=1,2,n） （2-4-6） 若令 ， ， ， 则（2-4-6）式为 （2-4-7） 这是间接平差的函数模型。 如果将对应的 用图解来表示，则可作出 如图2-4所示的图形，从图中要以看出，由于存在观测误差 的缘故，由观测数据绘出
36、的点观测点，描绘不成直线 ，某些“摆动”。 这里就产生这样一个问题：用什么准则，来对参数 返回目录 纤 佩 饶 擦 坡 疫 趁 询 佳 寂 邹 气 赵 款 狂 距 窥 晋 揽 盆 汽 啃 批 肖 惫 弧 闹 些 于 熄 椎 肘 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 和 进行估计，从而使直线 “最佳”地拟合于诸 观测点。这里的“最佳”一词要以有不同的理解。例如， 可以认为：各观测点直线最大距离取最小值时，直线是“ 最佳”的；也可以认为，各观测点到直线的偏差的绝
37、对值 之和取最小值时，直线是“最佳”的，等等。在不同的“ 最佳”要求下，可以求得相应问题中参数 和 不同的估 值。但是，在解这类问题时，一般应用的最小二乘原理， 按照最小二乘原理的要求，认为“最佳”地拟合于诸观测 点的估计曲线，应使诸观测点到该曲线的偏差的平方和达 到最小。 设观测值 的估值为 是观测值 的改正 数（或称残差），是 的估值，则由 可以写出 所谓最小二乘原理，就是要在满足 （2-4-8） 的条件下解出参数 的估值 ，若令 返回目录 俺 含 斌 妄 籽 绚 沪 魁 吐 犀 锹 额 捣 察 盘 峡 般 睦 酸 桩 募 丙 碗 酗 胳 桔 溜 崔 笆 阻 轩 裂 【 测 绘 课 件 】
38、 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 若令 则上式也可写为 （2-4-9 ） 式中 表示参数的估计向量，在上述例子中， 。满足（2-4-9）式中估计 称为X的最小二乘估计，这种 求估计量的方法就称为最小二乘法。 从以上的推导看出，只要具有（2-4-6）式的线性关系的 参数估计因此，这种估计方法在实践中被广泛地应用。 测量中的观测值是服从正态分布的随机变量，最小二乘 原理可用数理统计中的最大似然估计来解释，两种估计准 则的估值相同。 设观测向量为 ，L为随机正态向量，其数学期望和方
39、差 分别为 返回目录 涡 必 匹 互 拒 然 降 沉 练 清 窗 颖 邱 几 顺 阶 研 范 未 话 募 红 革 届 睫 局 句 口 锐 扳 亭 桨 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 由最大似然估计准则知，其似然函数（即L的正态密度函 数）为 （2-4-10 ） 由（2-4-7）式并顾及 则知 （2-4-11） 故（2-4-10）式也可写成 返回目录 护 另 彬 嵌 智 割 冤 昼 叛 豫 验 腑 醋 撒 缸 廖 炸 牟 啃 贤 箔 腮 闹 艘 怨 兜 到 窖 薪 淌 亨 澳 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 【 测 绘 课 件 】 第 二 章 平 差 数 学 模 型 与 最 小 二 乘 原 理 或 （2-4-12） 按最大似然估计的要求，应选取能使lnG取得极大值时 的 作为X的估值量。由于上式右边的第二项前是负号， 所以只有当该项取得极小值时lnG才能取得极大值，换言 之， 的估值量应满足如下条件： （2-4-13） 考虑 为常量，上式可写成