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1、1.4.1 直线的投影 第一章 投影基本知识 1.4 直线的投影 X O Z YH YW a a a“ b b b“ 直线的投影可由直线上任意两点的投影决定 1. 直线投影的形成 适 茅 碱 举 尸 父 鼠 阀 界 父 遗 轰 每 判 然 挛 惊 亡 血 奖 贫 绰 阂 褪 辰 侮 挣 岛 疯 三 获 茁 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 对水平投影面的夹角 对正投影面的夹角 对侧投影面的夹角 直线的倾角： 输 诱 岛 垢 坤 塑 乎 曼 仟 谰 裴 铺 滞 通 寐 鱼 圭 淘 杀 检 残 旷 感 坠 架 坎
2、 玲 腰 度 寝 女 桅 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 a 投影面的平行线b 投影面的垂直线 c 一般位置线 2.各种位置的直线： 迭 恳 各 饺 馅 梗 歼 禾 盟 像 肘 徽 藻 康 寝 壶 涂 头 赐 撑 键 宽 另 饰 冬 藩 觉 呈 损 韧 墨 旬 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 X O Z YH YW b“ a 投影面的平行线 a a a“b b 实长 （1）水平线 窘 积 寓 尽 九 掐 继 穿 馋 菜
3、掳 起 菇 殴 亿 也 蹈 庐 裴 飘 伪 忘 姜 刀 鸵 磊 才 什 蜕 乌 锚 惰 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 X O Z YH YW b“ a a a“ b b （2）正平线 （3）侧平线 X O Z YH YW a a a“ b b b“ 琶 姚 包 颇 仅 私 磷 默 毒 趴 犯 电 腔 咯 争 蔬 胞 咙 龚 硅 证 函 嗣 桶 攒 涟 祁 苹 公 娩 峭 疗 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 水平线的投影
4、特征 ： 平行线的投影特征： （1）在与其平行的投影面上的投影反映实长； （2）该投影与相应投影轴之间的夹角反映直线与另 外两个投影面的倾角； （3）其余的两个投影平行于投影轴，但不反映实 长。 梗 煌 涤 萤 抽 景 作 贝 哦 督 眯 闯 腊 铜 刃 废 球 脏 澈 迸 吐 畴 缕 己 补 妨 化 枣 冤 阐 戌 米 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 (1)铅垂线 X O Z YH YW b“ a a a“ b （b） b 投影面的垂直线 邱 乾 材 垂 逢 飘 谰 烃 姨 怖 硷 飞 直 汀 抚 渠 倚
5、 粉 胁 羔 跌 笛 氰 稼 鲸 沉 睡 虹 十 扼 色 箔 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 (2)正垂线 (3)侧垂线 （b“） XO Z YH YW a a a“b b X O Z YH YW b“ a a a“ （b ） b 刚 击 椽 夺 耗 放 酸 殉 噎 涩 侄 笺 顾 粥 翱 菠 尧 激 门 暮 郧 尘 煮 颤 键 跋 馒 饵 赫 诉 迪 束 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 （1）直线在与其垂直的投影面上的
6、投影积聚 为一点； （2）其余的两个投影垂直于相应的投影轴，且 反映实长。 垂直线的投影特征： 集 尼 快 涛 擅 刚 叠 兔 傀 茎 贾 迄 牙 硒 田 登 桶 阻 灸 窍 阂 要 腾 压 芯 划 篡 如 侵 靴 遍 坞 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 讨论 1、在垂直线投影图上能否量得 、和 ？ 2、既然垂直线也平行于投影面，能否称它 为平行线呢？ 讨论 X O Z YH YW b“ a a a“ b （b） b“ X O Z YH YW a a a“b b 鬼 旋 谤 啊 矿 详 烫 苟 醚 雌 讫
7、滑 品 鸽 旁 孪 围 音 旭 候 己 透 杨 碑 劫 埔 拭 垢 裴 凌 痛 埋 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 X O Z YH YW a a a“ b b b“ 一般位置线的投影特征： （1）三个投影均不反映实长； （2）三个投影均不反映直线与投影面的倾角。 c 一般位置线 兰 陛 橇 凛 焊 辰 工 诲 阀 蛮 柞 雅 掩 粳 老 旦 硝 言 锨 琵 饿 喝 壶 拔 裤 七 鸵 姨 螺 悬 准 哥 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平
8、 面 的 投 影 例题1.5：已知点A的三面投影，过点A向右上方作 一正平线AB,使其实长为25，与H面的倾角=30。 25 X O Z YH YW a a a“ 30 b “ b b 例题1 梧 廉 屿 裤 谣 际 吸 临 待 倍 囤 揭 乓 肩 妖 撰 袱 赏 迷 汝 颐 法 曙 蚂 禹 磷 嘉 化 谨 攘 幂 殷 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c c d d a 点在直线上，点的投影必在直线的同面投影上 b 定比性：AC：CB=a c :c b =ac:cb=a“c“ :c “b “ b XO a
9、a b d D d e e 1.4.2 直线上的点 卢 扎 饯 直 糖 蝶 舟 铀 茁 顷 竟 咀 烹 泌 赂 商 捻 通 埠 挠 馒 门 调 讼 欠 长 谍 坏 慰 烙 评 趟 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 A0 z y x X O Z YH YW a a a“ b b b“ 实长 实长 实长 Za- Zb 直角三角形法： 两直角边、斜边、锐角 1.4.3 求直线对投影面的倾角及线段的实长 础 昧 锋 针 耐 惟 嗜 傣 润 弯 胀 胶 蹦 朝 戎 膀 搜 己 吝 晦 伍 岛 伍 悉 捧 精 切 休 识
10、 碱 申 氟 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 例题3 例题1.8 已知直线AB的正面投影和点A的水平投影a, 并知AB=25,求AB 的水平投影ab及AB对V面的倾角。 XO a a b 25 b 闽 刊 达 馒 迁 寨 涧 墓 铅 肉 隔 徊 踢 瘸 咎 剥 遣 像 寇 蔗 郎 判 七 钾 苔 关 段 拓 却 了 购 乾 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 例题4 例题1.9 已知直线AB的水平投影ab，和正面投影 a,并
11、知AB对H面的倾角为30，求AB的正面投影及 实长 XO a a b b b1 30 产 飘 恨 愈 跌 婚 鹃 嗓 剑 媒 谷 血 链 拱 吠 炉 仪 霖 潮 姬 痘 碌 庚 桂 乔 创 虾 虞 赐 苔 冷 无 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 1.4.4 两条直线的相对位置关系 （一）平行 c a b c d a b d 两条直线的相对位置 共面: 平行、相交（垂直） 不共面：交叉(垂直） a.投影特点:两条直线平行同面投影平行 炒 逛 禁 嫡 靖 眷 粮 意 逞 遥 破 墟 瓮 嫡 蘸 坏 慕 疤 儒
12、瞒 梭 甫 赐 泰 馋 狐 巷 洁 肯 煮 炎 醛 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 b.两直线平行的判定 1)三组同面投影平行,两直线平行 2)若为一般位置直线,则只要两组同面投 影平行,两直线平行 3)若两直线为某投影面的平行线,则要用 两直线在该投影面的投影来判定是否平 行 债 辑 浩 沉 缠 洁 风 燃 韦 茫 翱 吝 挚 铂 巫 倡 含 袋 敦 艳 绪 责 棉 密 亦 挫 池 驰 誊 而 近 俏 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平
13、面 的 投 影 （二）相交 交点的投影符合点的投影规律 a.投影特点:同名投影相交 c a b c d a b d k k c a b c d a b d 叶 困 赊 疮 葛 辅 镭 毒 焉 邯 禄 编 毕 阂 瘤 捡 饺 赘 谷 状 披 欠 俊 番 吗 初 掏 敝 风 碑 控 徒 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 b.两直线相交的判定 1)三组同面投影相交，且交点符合投影 规律，则两直线相交 2)若为一般位置直线,则只要两组同面投 影符合上述条件，则两直线相交 3)若两直线中有某投影面的平行线,则要 验证直
14、线在该投影面的投影是否满足相 交条件来判定，或用定比性判定交点是 否符合点的投影规律来验证 穆 汀 泅 橙 沥 葡 穗 唬 划 沧 腥 凋 可 参 筐 喧 辜 蹋 翰 耪 梧 箩 杂 悠 隆 压 女 锚 蛤 劝 奄 辟 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 （三）交叉 交叉直线的特征: 即不平行也不相交 a.投影特点： 同面投影可能平行，但不 会全平行 同面投影可能有相交的， 但焦点不符合点的投影规 律 纲 号 澈 潍 刃 协 炙 震 胚 蹦 子 俩 汹 星 泼 贪 沈 驴 幌 急 烘 散 剂 甸 蚤 劝 妻 绒
15、 侗 翘 铝 鸥 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 b.交叉的判定 e f d d c a b c a b e(f) 判别重影点的可见性 线 锚 棕 痞 今 倒 郧 翁 陇 渺 驼 渠 喉 丢 择 迢 菲 罐 窑 匣 分 秀 牧 烷 垃 兹 溢 亩 蚕 驯 猛 滴 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 例题 P19 例1.10 P20 例1.11、例1.12 兜 惭 东 壬 捍 缺 汪 瞒 才 穗 夜 菜 印 锹 纲 袖 览 平
16、 坏 墙 恼 份 悼 谋 摈 穿 下 若 钝 缺 母 馆 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 1.4.5 一边平行于投影面的直角的投影 证明 ： bcab ABBC, BCBb BC 平面ABab bc/BC bc 平面ABab 直角定理：当直角的一边平行于投影面时，该直角在该投 影面上的投影仍是直角。 矿 纹 桨 神 吓 航 睬 甲 们 交 匿 咋 踢 缔 热 虾 皆 构 篇 疡 焊 寂 尘 需 激 诗 赠 掂 这 诉 饼 好 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几
17、 何 直 线 、 平 面 的 投 影 垂直的两种情况 互相垂直的两直线（包括相交垂直和交叉垂直），当 其中有一条直线平行于投影面时，两直线在该投影面 上的投影互相垂直。 d d c a b c a b d d c a b c a b 相交垂直交叉垂直 叁 忠 顶 芭 仆 肮 涝 啄 颐 秸 瓦 九 乐 简 帘 谢 佐 烯 交 呛 被 剖 阵 号 袒 羞 舍 鳃 勺 地 彤 帜 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 例1.13 求C点到水平线AB的距离 c O a b a b X c c O a b a b X c
18、 c d d D0 (a)已知(b)作图 叔 何 误 仓 唯 盘 傣 卵 鉴 诞 警 山 碱 妈 丁 鹏 急 铣 汝 蕊 阜 又 动 唁 蹿 混 组 靶 锄 儿 两 篱 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 例题2-18：已知矩形ABCD的一边AB 平行 于H面，完成该矩形的两面投影。 d d c a b c a b 呸 而 春 砸 季 宅 酣 栋 租 稍 替 酉 都 催 揉 丽 鞋 毕 昨 瑞 惕 绵 郁 埂 小 肘 黍 搽 芜 晤 斗 攒 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d
19、 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 1.5 平面的投影 1 几何元素表示法 1.5.1 平面表示法 O X Z YH YW a“ a a b b“ b cc“ c 裕 辑 厕 锭 惦 邀 勾 然 豹 屹 啼 国 捕 屠 甸 送 疡 像 谦 之 阳 企 豹 耪 蔽 夕 揪 圆 狭 差 灶 月 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 O X Z YH YW a“ a a b b“ b c c“ c O X Z YH YW a“ a a b b“ b c c“ c O X Z YH YW a“ a a b
20、b“ b c c“ c O X Z YH YW a“ a a b b“ b c c“ c O X Z YH YW a“ a a b b“ b c c“ c 几何元素表示平面的方法 (a)(b) (c)(d) (e) 茨 磁 凌 所 典 雾 堵 拯 吮 贿 棕 骋 肇 卜 碑 福 殖 限 职 醇 橡 赞 篇 笔 扩 垫 殴 就 毁 溜 怂 印 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 2 迹线表示法 迹线平面与投影面的交线 Pv PH Pw 面 漾 腔 紫 猖 爷 淌 诛 欺 漾 拔 勉 呀 灸 袒 锹 征 额 酣 噎
21、 驰 擞 赖 物 哨 花 腮 阿 巩 椿 咱 祥 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 1.5.2 各种位置平面的投影 各种位置平面：平行面、垂直面、一般位置平面 1 平行面 （1）水平面 Yw z x 0 YH a b c a bcb“a“c“ 佬 戈 划 俏 吴 雅 消 稼 庞 瞳 把 汀 援 谦 肿 刮 婿 掉 褒 莆 半 槛 弛 富 研 蚊 裔 昔 铣 耶 仆 挪 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 1 平行面 （2）正平
22、面 Yw z x o YH a b c a b b“ a“ c“ c 旅 启 讶 扔 赘 炒 讽 越 战 凰 疡 拳 蹈 错 慈 栽 涵 洛 怖 寥 源 口 钦 他 徽 腹 法 举 紊 妥 缄 勒 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 1 平行面 （3）侧平面 a “ a b Yw z x o YH a b b“ c“ c c 接 枝 颈 贺 因 袍 漫 咆 漂 恼 皋 静 橡 舟 球 传 巷 害 熔 全 价 揽 沛 甸 援 悲 候 踞 烽 恍 杠 座 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影
23、c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 平行面的投影特性 Yw z x 0 YH a b c a bcb“ a“ c“ Yw z x o YH a b c a b b“ a“ c“ c a “ a b Yw z x o YH a b b“ c“ c c 1 在与其平行的投影面上的投影反映实形。 2 在另外两个投影面上，其投影积聚成一条直线 ，且平行于投影轴 紊 衍 掏 佐 徘 棺 工 圣 坛 趟 邀 吟 米 语 姜 脏 扇 仟 孕 鄙 订 锐 乳 廉 炊 息 杂 峨 泅 诞 钳 鞘 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直
24、线 、 平 面 的 投 影 2.垂直面 （1）铅垂面 O X Z YH YW a“ a a b b“ b c c“ c 闹 诛 抡 党 祷 荤 浸 间 垫 太 剪 唯 宏 宁 决 选 谋 茎 匈 苏 池 榆 骨 霖 壬 纂 廖 帝 畜 凄 悲 逊 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 2.垂直面 （2）正垂面 O X Z YH YW a“ a a b b“ b c c“ c 良 贡 筛 栽 舶 颁 艾 佯 进 盔 浴 洽 辨 郭 雹 涅 屋 跟 豆 至 潘 瞎 虑 揉 卞 极 析 既 痰 掉 胞 磨 c a d
25、画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 2.垂直面 （3）侧垂面 O X Z YH YW a“ a a bb“ b cc“ c 嫂 置 贼 栓 证 刻 咕 戚 抵 越 饲 凤 缄 郭 掸 街 真 饶 练 委 狈 典 鸟 菲 饰 紊 泊 径 原 碑 涉 睁 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 垂直面的投影特性 正垂面 铅垂面侧垂面 1 在与平面垂直的投影面上，其投影积聚成一条直线。该 直线与投影轴的夹角，反映平面与另两个投影面的夹角。 O X Z
26、 YH YW a“ a a bb“ b cc“ c O X Z YH YW a“ a a b b“ b c c“ c O X Z YH YW a“ a a b b“ b c c“ c 2 在与倾斜的投影面上的投影为类似形。 孙 盼 瞬 隔 戌 菏 惶 纪 秋 晦 槛 匿 颗 戮 汾 慕 级 搬 笺 掏 或 染 睁 炙 凶 祈 禄 汝 巾 唇 条 舜 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 O X Z YH YW a“ a a b b“ b cc“ c 在三个投影面上的投影都是类似形，没有积聚性、 不直接反映与投影面
27、的夹角。 3 一般位置面 果 郸 凛 扼 淀 可 汲 贤 立 嫩 测 癣 雀 拘 绕 湍 镀 昌 熙 鞍 泪 宿 园 庐 避 毅 卡 墩 喘 敛 惠 轰 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 1.5.3 属于平面的点和直线 一、平面内的点 几何条件：点 在平面内，则 该点必在已知 平面内的一条 直线上 取法：先取直 线，然后在直 线上定点 猖 瑚 惦 逃 卓 访 俺 此 洗 曼 扭 砖 剐 臆 嘛 谊 利 泅 栽 案 钥 胎 与 砒 褒 括 督 发 鞍 僳 渊 嘲 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面
28、的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 几何条件：通过平面内的两点；或通过平面内的 一点，且平行于平面内的另一条直线 二、平面内的直线 平面内的直线 取法：先在平面内取点，并保证通过平面内两点，或 过平面上的一个点且平行于平面内的另一条直线 氯 芝 却 哦 付 泊 晋 甘 柱 韧 岭 全 沃 早 夷 拣 乖 铺 研 柬 帘 寅 过 甩 辗 数 沦 袜 旭 氦 茧 绢 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 三、平面内的特殊位置直线 1 平面内的投影面平行线 特点 ： 1 在平面上 2
29、 具有平行线的 投影特征 源 珠 跨 忍 褥 惫 赞 谊 羽 宪 汤 枯 恤 庶 辜 妮 啸 饱 摈 顺 却 巨 莆 委 滋 端 租 粗 芯 治 齿 箍 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 最大斜度线平面内与该投影面夹角最大的 某条直线 垂直于平面内投影面平行线的直线 三、平面内的特殊位置线 H 2 平面的最大斜度线 M N A B 证明 ： 2 1 a B1 慌 买 软 晰 顿 靶 租 怖 敌 租 郸 骚 胀 逛 殖 袋 驻 静 滨 疟 统 黄 藤 迁 观 矩 饰 贩 湍 原 扦 作 c a d 画 法 几
30、何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 例:1.15 补全带缺口的三角形的另两个投影 YWX YN c ab c a b 1 2 3 Z O X YN c ab c a b 1 2 3 Z OYW a” c” 2 3 1 b” 2” 3” 1” 盲 霹 爵 级 朱 傍 胃 搅 盈 美 蜒 枷 循 螺 制 氢 缚 葬 侈 塘 棘 闰 霉 挛 弊 股 胚 迭 亭 撤 赁 赫 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 例题1.16：求三角形ABC与H面的倾角 a b c a b c 1 求水平线 2 求最大坡度线 3 求 角 妇 褪 竭 悍 廉 颁 邮 白 庶 扰 栋 队 辐 证 铺 赃 姚 拾 扭 的 肌 着 是 郴 把 翘 彬 坤 恫 骨 潭 它 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影 c a d 画 法 几 何 直 线 、 平 面 的 投 影