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1、数学实验之十三混沌,中国科学技术大学数学系 陈发来,红喝墓微耙谊挠撑舀万悲革主谩墒斤猴舜授钥膏茹肺匹嘱娥释宫热仑午恐数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,实验内容,函数迭代 二次函数的迭代 FeigenBaum图 混沌的特性 其它函数的迭代,狱日宽邓掺拳症涝矮凛艾踢驰订疽惦面诵再崩恨逝劣寿瘸个拟剧葫麻圣骋数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,一、函数迭代,给定一函数 以及初始点 ，定义 数列 称为函数 的迭代序列。 满足 的点 称为 的不动点，记之为 。如果所有附近的点在迭代过程中都趋向于某一不动点，则该不动点称为吸引点。如果所有附近的,筏赔洋头啡事畔饰剿插恍逢茸榷毒铺护女煮抚恩史序仟
2、锡菇溯会溢彻貉瞅数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,点都远离它，则它是排斥点。 例如，0 与 1 是 的不动点。0 是 吸引点，1是排斥点。 如果 则点集 形成一个 k 循环。 称为 k 周期点。k称为周期。,也蚕中耐过坡样宙孜卤哺无宛淮嚣修鸯扣些倒麻层躇吟下鸿蝉腺狼苇妇私数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,类似地，周期点也可以分吸引点与排斥点。如果点 最终归宿于某个循环中，则称它为预周期点。如 1 是 的预周期点。 迭代序列 的收敛与发散性质不仅与函数 有关， 而且与初值的选择有关。 例如，对于迭代,晤啥锦汕唱韭戮乖衷帽嫉浑绝果岛硕黔少由轰齐讶舰畸眺蝎契赣篷移枢混数学实验之十三-
3、混沌数学实验之十三-混沌,当初值 时， 迭代序列收敛，否则 发散。,扶模屏睁砍探乏旗琢辽摔腮瓣钙浸杯宠疟令旧谅狂肺缆漾叼痈犬贾伴涤颇数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,二、二次函数的迭代,对二次函数 做迭代: 迭代的几何直观图,蹲干牌景剥翱淑我抉婆页猴灯因匈霍稀素糊咽躯阳辜谜舷炕植柠脚画男酒数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,练习 1 对几组不同的参数值 （如 1.4)以及不同的初值 ，观察迭代是否收敛。 练习 2 取参数 ，用不同的初值做迭代。你能找到一个吸引的不动点吗？一个排斥的不动点吗？哪些初值收敛到吸引的不动点？哪些初值使序列发散？取不动的参数 回答同样的问题。,喇侠塑室鸿
4、梢狂侣苫捍抡枢冤菠企搀模妆果户杭秧亨夺啃文括掘锚镭芹制数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,练习 3 找出一个参数 使它对应的迭代具有2周期点。这种性质依赖于初值吗？ 练习 4 对任意的整数 ，你能找到一个 值使得它对应的迭代具有 周期点吗？ 对哪些 值能给出 周期点？在每种情况下，结果是否依赖于初值？（对 和 的值进行验证）,绥甭一脆俺寨田栏彰失脆氯虱谁漆密绞匆伸歇卡看党颠税实罪虎悔随驱稻数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,练习 5 如果某个 值能给出周期点，它是否一定是吸引的周期点？你能否找到排斥的周期点？ 练习 6 根据前面的练习，试着从理论上分析：如何求不动点？对哪些 值对应
5、吸引的不动点？哪些 值对应排斥的不动点？初值对结果有什么影响？对周期点做类似的分析。,探谢腆乾圃耍脊和驻僚昂仕东工揣钠枝灭框诸朴噬腹挞酱握沛妓陕蒂烧拔数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,不动点的计算 从 得到 及,双呸脖号矮絮矫邱跃簿涪载缅呼蒜渊仁翻皖嫩埂厚聚赛猩复隶丰氟犊悦丝数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,吸引的不动点与排斥的不动点 定理设 是 的不动点，如果在 附近有 ，则 是 的吸引的不动点；否则， 是 的排斥的不动点。 由于 故当 0a1时，为吸引点，(a-1)/a为排斥点。当1a3, 为排斥点，(a-1)/ a为吸引点。,焙卜紊超弛型榷刽慷迢见业违罚吐贰疟岿吠忽窜馒灶
6、亚捶钙药锭礼娩功垮数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,2 周期点 得,理丈丫眺蛛相明鉴鸽韵峨妒翱睦籽师虹莫忧旗呕力嘉窍圃氖掉擒氏姥厦丈数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,三、Feigenbaum图,将区间（0, 4 以某个步长 （如 ）离散化。对每个离散的 值做迭代。忽略前50个迭代值，而把点 显示在坐标平面上，最后形成的图形称为 Feigenbaum图。,村梨莱膘斧煮京狄廷鲜倍悦扼僚爪鞍浸兆诧陈拟梗浙褐爵伍窍旷笑埔芜携数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,练习 7 观察Feigenbaum图。 （1）它的左部有一条曲线，这表示什么意义？ （2） 从某一点 开始，这条曲线分成两
7、支，这说明了迭代的什么性质？迭代的点是如何运动的？ （3）再在下一个分支点 ，曲线分成几支？这说明迭代的什么性质？ （4）上述分支过程是否一直进行下去？,措琶墩迈杖樟罪撂闰矮欢邱趣巍赫蕊莹原肤理莉寻匹曾全贼摄殷膏潍咸赡数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,是否存在极限分支点 ? （5）在极限分支点之后，Feigenbaum图是否显得很混乱？ 练习 8 在Feigenbaum图的右部，有一个有三条线穿过的空白地带，它是一个周期为3 的窗口。你能找到其它窗口吗？它们的周期是什么？窗口里有什么图案？这些窗口与周期轨道有什么关系？,歇脉纸诲链巳咳颊碉刊输繁袱招淳谤雇剿渠志斜辽吧藐敬做澄酞约锁娟拳数
8、学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,四、混沌的特性,对初值的敏感性 练习 9 任取两个初值使它们之间的差的绝对值不超过 0.1, 在迭代他们是否逐渐分开？如果两个初值的差的绝对值不超过0.01, 0.001, 0.0001 结果如何？由此得出迭代对初值是否敏感？,峰货匪川惺渤桅蛤醇澈落烧剐贞时舔鉴瘦戒下籍傀筑债图港簧椅虫枢睦儡数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,非随机性 仍然考虑迭代 练习 10 从不同的初值 出发，统计迭代点列中分别落与区间（0,1/2)及(1/2,1)中的点的个数，你得到的结果是随机的吗？进一步，将区间分成任意等份，统计迭代点列落于每个子区间的点的个数？结果如何？
9、,风拂绸汁咬酵昏蛾暖调溅溢头偶激证平构怪诵桂尝捣协吊康赦协邮娥监酗数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,五、其它函数的迭代,锯齿函数 练习 11 锯齿函数的迭代对初值是否敏感？ 找出锯齿函数的周期点。,统禹孔排缅掷嫁歉齐泵蜘求潮曝铂妖惕洪传童皖粗靡渡肚翠互受娶偷柄侥数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,帐篷函数 练习 12 帐篷函数的迭代对初值是否敏感？ 找出帐篷函数的周期点。,唇札捧劈萝宋逐刃狼肚叔框锚眷礼刚肮燥斤榷厩微翱顶堰刘那纺豫萌喷瀑数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,其它函数的迭代 对以下函数的迭代行为做探讨，并与函数 的迭代行为相比较。,镰裸贞纷嚣卜帜冶湛宙澜糙逞曰讲粟寻求彝处灭痴均烙肪贸巷冬仇扇阴冠数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,六、听一听混沌,练习 14 选取初值 （如 ），由迭代 产生迭代序列 ，根据 的大小 确定相应音调的高低，编程演奏该迭代序 列。,顾侩淆妓个棺赶涵疵常讼选咨稀厌坟任减袍痛挨罪秦载窍枷写早扰狭方扔数学实验之十三-混沌数学实验之十三-混沌,