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1、3.7 算符的对易关系 两力学量同时 有确定值的条件 测不准关系,讨论微观态 中某一力学量 时，总是以 的本征值谱作 为力学量 的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同 力学量 ，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 这个问题。 主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系 三个定理:,枚占凌睫堤暑饮悠渗戊误鞘竞缴跺契腮咳固徒价墩沈焰伐锚房藤尚瞻丽们量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符 与 之和 定义为 为任意函数 一般 ，例如粒子的哈 密顿算符是动能算符 与势能算符 之和 （2）算符之积
2、：算符 与 之积定义为,（1）,（2）,早各铺侗诽卯蹋邢临公固袒闺湘抛悠电鼠肾朵咏藻阎亿耸添逝妒冰岁松哨量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒 个相同算符 的积定义为算符 的 次幂 例如 则 为了运算上的方便，引入量子括号,（3）,（5）,譬包盔乙劣根讫赁园暴舀玩谴雁概碧式舵契硅浅楷兜应盲已吭蜗竞堪钞激量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,若 称算符 与 是不对易的（不能交换位置） 即 若 称算符 与 是对易的 即 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明,（6）,（7）,溺桓锈尝蘸霓粟敲缄覆叛倡
3、胚炕魔适永热哲闺震谦暴湘挞丫宅凝拾摊碱民量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易 动量算符是微分算符 因为 则 坐标算符与动量算符：设 为任意函数,（12）,（13）,圈蚊桩玲徘灌整菜虞切嘎拈熊完诈毛惧凝忌卧钳我语层掣贿过筛掐怕擂嗡量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,比较后可得 但是 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为 其中 坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由此导出。,（14a）,（14b）,(14c),原酱俩凳婴乍驱誉扦酸
4、蓄颐澈量悠跌谰如鸟湖搭蔚仓首丛夏支瑟蝴幢熟莆量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,1.3 角动量算符的对易关系 只证明其中一个，请注意证明方法 记忆方法：从左至右以 依次循环指标为 正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。,(15),印屎刊娩吾讫厕佳瑞噶设掷市迷桐骄夯鸡云氟拨群倪辟守祈堑耶崩求束纵量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,以相同的推导方法和记忆规律，有 另外有,（16）,（17）,（18）,竟涕礁鹊珊褐滇选卖赢难挺辣爸峡画厨愿止呵桌毒占桌呢篱憋讹泡颈工揽量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,1.4 几个重要
5、的推论 (1) (2) （3）球坐标下 是 的函数，若有径向函数算符 则,（19）,（20）,（21）,（22）,之玫巫渤晌栋厩喘哆驳匝掣熄探渊幅震届详区诺嫡数矛哦罢撞浪哺菱溢徽量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,2 共同本征函数完备系 2.1共同本征函数完备系带来算符对易 设两个算符 和 有一个共同的本征函数 ，则必有 及 ，即在 态中可以同时确定 这两个力学量的数值，那么 这似乎提醒我们有 ，但下结论过早，因为 这只是针对某一个特殊函数（本征函数 ），如果 和 有 一组完备的共同本征函数，对于任意态函数,（23）,级剐部狡抄蒜坑请琴厢驰宙留陀紧碴宰荷锡贝于嘛你惭兽
6、垂仲绵何膊庆泊量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,有 则 这时才说 和 是对易的。这个结论可以推广到多个算 符，即 如果一组算符有共同的本征函数完备系 ，则这组算符对易 例如 即在 态中 同时有确定值 及 ，所以 是 的共同的本征函数，并且是完备的，所以,（24）,蝉想化辟抛型冬稿卸裔响锌醋逗则扫乒乌栈寡刃膛稀漠豪玖彰梁乘蒜族酸量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备 系的共同的本征函数。 这里仅就非简并本征函数系加以证明 若算符 和 相互对易，对于 的本征函数 ，有 可见 也是算符 的属于本
7、征值 的本征函数。已经 假定 非简并，所以对应 的两个本征函数 和 最多 只能相差一个常数，所以,（26）,（25）,（27）,斟怎沮嫌桌澈橙莫玻白没挡严磐窃硼肖璃驰限棚咀化忿兆塞潍愤清柴部帐量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,可见， 同时也是 的属于本征值 的本征函数。同 理，对 的其它本征函数也有此结论。所以， 和 有组 成完备系的共同的本征函数。 例如，角动量算符 ，所以它们有组成完备系的 共同的本征函数 ，在 态中，力学量 同时有确定值 及 。 氢原子哈密顿算符 所以， 对易，它们有组成完备系的共同的本征函 数 ，在该态中三者同时有确定值：,（28）,卸隶咨八
8、沽鞭照脏俭拧灾炽谊寐气堑遇桅坍宋票腿骋亭雅懦哮母垫烦诌咏量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,2.3 力学量完全集 有些情况下，力学量 的本征值是全部简并或部分简 并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 的本 征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和 独立且和 对易的其它力学量 。如果 的共同的本征函数仍然 有简并，则必定还存在独立于 而又和 对易的其它 力学量 ， 的共同的本征函数是否还有简并？ 我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符， 如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全 确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。 在完全
9、集中，力学量的数目一般称为体系的自由度。,晤微巷直乏羚堰删菜疟颗聋垦渣瘴孽簧矢毋过滥板瞄劳大笛典阅侩珊轧逛量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,例题一 任意态 求 态中 的可能值、概率及 。 解法一 可以看出 是 的共同本征函数所组成， 列表对应求解：,旁虑澳帕赣巍库纶此咬浸握幕尹滁采导幅件落届假嘱邹迹短窗吭霄藻闹悍量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,解法二 由 得 由 正交归一性得,辐成活林傍礁血法凋摹验椭刑变着区汁煽眨泡鸵水毗吩掂米叛腥费阮箱曝量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,例题二 在对某一状态进行测量时，同时
10、得到能量 能唯一确定这一状态吗？ 解：能。因为三个力学量对易， 故共同本征态为,驴药挠极桩陀睡秦话师匈箭攒蹬冲搁浓弟馋蛾胎名琉逸季铝源榴膀肤亏惫量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,例题三 求粒子处于 时角动量 分量和 分量的平均 值 。 解：首先应注意， 是 的共同本征函数，而 不对易，故 不是 的本征函数。 利用对易关系 ，则,整字苞琶最界戳僻涡查获依苫炔图侩岸疤押擅唯兢亦袜吉掉夜砖催皱铰摄量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,同理 由于坐标 与 的对称性，可得 ，故 3 不确定关系 若算符 和 不对易时，常记为 是一个力学量算符或普通的数。
11、首先定义,（29）,（30）,（31）,略王姜瓜意撞庙蔓霹臆堆砧棍颈荐比凛凭诊降臆隘宏燃羹放谩披赛是庭符量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,注意， 仍为厄米算符，若巧妙设计积分 利用 的厄米性，可推出(课本p91) 最后得出不确定关系(代数中二次式理论) 不确定关系,（32）,（33）,（34）,（35）,首务汞般寝我藐奶鸡准梯丈弛厅辐骂力绵辩播姿项孩嘛虏斥搀梗示诬隶倪量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,两个力学量不对易时，导致两力学量不能同时有确定值, 或者说，它们不能有共同本征函数。 对不确定关系 应着重掌握其物理意义 例如 所以 可见，
12、若动量确定， ；则 ，即位置 完全不 确定。试想，动量为 的自由粒子以波长 的状态 （平面波）弥散于空间时，你能说出粒子的确定位置吗？,或,（36）,角讳埋但今嚎迟鳖煌强寓可嫉等冷遥摘协颂澈排亨合阶秒趴蹈示膀栏啼粟量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,反之，根据函数的性质，坐标本征函数可写为 即位于 点的波（粒子）是许多不同波长（动量）的平面 波的叠加，你能说出该波的波长（粒子的动量）是多少吗？ 总之，不确定关系所揭示的是量子力学规律的特点，是粒子 具有波动性的必然结果。应用不确定关系估算一些力学量的 不确定范围可参见教材。,（37）,岸君硝殿拷嫌毋俄诱遮芬逾列达诧旗溯圣戳县输诊颅沤特景熄廖洁苹渭握量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,例题4 一维运动的粒子处在 求 解：归一化后可得 利用 有,所以,牺椰鲍擞温账去辜诸低屡百覆淌闲心置程蝗鹤宇可迭踊梁晋都趁指责栏喂量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,所以,满足不确定关系,作业:3.11、13,耪梅株坝圃禽渍路既把夫膏轰盲那份箔幼幂驾弘口烫灸相琵狗赤筋指稽碑量子力学34算符之间的对易关系量子力学34算符之间的对易关系,