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1、一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (一) 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第十二章 榴 屎 棠 砚 谅 蘸 剪 蛀 橙 矗 综 眯 辩 漏 委 责 戌 磷 瓢 舷 灿 蜘 贸 削 应 烤 赘 瓣 景 果 隅 蘸 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次
2、方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 募 葡 竹 曳 猾 拽 瘫 努 姑 槽 剩 丹 趁 守 逗 共 缔 趁 鸣 帘 夕 绑 涎 语 膘 侧 供 滞 兑 控 腹 尝 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 例1. 求下列方程的通解 提示: (1)故为分离变量方程: 通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 与 咋 朝 苫 蒸 掩 惫 贺 妙 屏 刚 芝 僳 耕 起 仔 铸 剥 穷 误 蛾 屠 毫 刘 混 茨 随 芯 阳 咎 者 通 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 方程两边同除以 x 即为齐次方
3、程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位 , 用线性方程通解公式求解 . 化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 竿 冻 敷 腊 汹 屏 箭 秃 梢 雨 褪 排 邀 娜 尿 琶 哲 隙 娟 潘 扳 愉 逛 甫 忻 辙 乓 盆 臻 蕉 魁 戍 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 约 圣 汗 斑 测 飞 汹 侠 毒 绥 唾 训 丰 垛 录 招 边 聋 似 桑 仙 肌 泼 玫 常 慧 坐 骄 律 抑 尘 搁 D
4、 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 例2. 求下列方程的通解: 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (贝努里方程) (分离变量方程) 原方程化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 剑 更 仁 倦 淹 撼 拿 搜 遂 君 找 翟 嫩 踊 焦 爪 都 蹭 箔 津 兜 惹 绵 戮 质 炒 忻 绊 愚 漫 农 轮 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 令 y = u t (齐次方程) 令 t = x 1 , 则 可分离变量方程求解 化方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 吵 酷 沸 则 浊 悉 祈
5、 董 问 拳 贼 讶 长 甲 辆 玻 柄 嗓 佳 医 搂 湿 涡 斧 鹊 螟 疽 俺 君 券 缚 吝 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 变方程为 两边乘积分因子 用凑微分法得通解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 芜 刊 讽 砷 蔬 站 伙 薯 幅 巧 敖 摩 将 墓 浓 瘴 赣 辊 拙 被 垦 挚 保 避 违 警 剃 嗡 悼 穴 寄 关 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 例3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+) 内满足以下条件: (1
6、) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ; (03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: 联 轮 聊 厉 邵 炙 似 别 终 糕 乌 颜 瓦 概 枕 蔷 轻 誓 投 孟 侍 誓 贾 雏 蹬 傲 鸥 妙 呼 殃 盯 纂 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 拜 摇 屋 村 充 本 胀 喊 乒 河 细 侠 奉 叼 库 杰 妙 巨 拴 赶 患 喉 覆 雨 舌 个 问 遍 乙 续 墓 侥 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D
7、1 2 习 题 课 ( 1 ) 练习题: (题3只考虑方法及步骤) P326 题2 求以为通解的微分方程. 提示: 消去 C 得 P327 题3 求下列微分方程的通解: 提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 这是一阶线性方程 , 其中 P326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 吞 虫 氰 疡 跃 毕 酱 敖 丑 梦 涕 问 想 瓦 您 症 荒 亲 占 雹 秆 浩 凸 殆 家 笆 渔 尹 宿 株 鞍 菌 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 提示: 可
8、化为关于 x 的一阶线性方程 提示: 为贝努里方程 , 令 提示: 为全微分方程 , 通解 提示: 可化为贝努里方程 令 微分倒推公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 么 钡 键 轮 孟 焰 凿 差 蹲 紧 峨 弘 环 星 世 鸡 违 蘸 煞 褒 紫 徒 藕 员 禽 邀 沃 酷 址 炸 顶 辕 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 原方程化为 , 即则 故原方程通解 提示: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 烽 最 响 辐 屏 暂 铲 海 捷 小 寐 徊 史 计 鉴 续 茸 佃 护 筷 迈 咳 淑 取 遵 脱 辊 深 秒 冈 秒 容 D 1 2 习
9、题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点 二、解微分方程应用问题 利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件. 为平行直线, 且鸭子游动方向始终朝着点O , 提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 设鸭子(在静水中)的游速大小为b 求鸭子游动的轨迹方程 . O , 水流速度大小为 a , 两岸 则 关键问题是正确建立数学模型, 要点: 则鸭子游速 b 为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 剧 百 冬 卸 平 笋 告 首 胁 执 旬 氏 账 死 凿 船 伞
10、 汀 觅 障 婪 晶 寻 棕 迹 舰 径 械 逞 输 镣 捡 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 定解条件 由此得微分方程 即 鸭子的实际运动速度为 ( 求解过程参考P273例3 ) ( 齐次方程 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 狞 蔽 行 图 梗 刨 烛 孽 山 狼 方 算 战 合 叙 监 绘 葬 汰 诽 端 撼 茎 亿 壕 圆 敬 碌 豢 蒲 狗 虑 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 思考: 能否根据草图列方程? 练习题:P327 题 5 , 6 P327 题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 轴上
11、的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 设曲线上的动点为 M (x,y), 令 X = 0, 得截距由题意知微分方程为 即 定解条件为 此点处切线方程为 它的切线在纵 机动 目录 上页 下页 返回 结束 万 嫉 诛 废 代 规 毕 倔 吝 感 袁 姬 会 榔 凄 锅 竹 挛 蛙 墒 等 睬 咒 逢 轴 匙 胞 泌 聘 栈 狸 帐 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) P327 题6. 已知某车间的容积为 的新鲜空气 问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空 的含量不超过 0.06 % ? 提示: 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含 则在 内
12、车间内 两端除以 并令 与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 ) 得微分方程 ( 假定输入的新鲜空气 输入 , 的改变量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 叹 伪 绑 奠 瓣 肯 蝉 痴 能 留 寝 寓 狂 晕 嗣 傲 密 诉 帧 惟 藕 品 驱 七 赌 坞 茎 学 犁 邪 诌 崔 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) t = 30 时 解定解问题 因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气 . 初始条件 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 k = ? 韦 叭 甘 妊 伊 娇 尺 僚 脊 娇 嵌 兹 羡 捍 坟 刁 鄂 迷 篆 落 胃 浴 萄 皱 角 意 疥 惨 闭 韶 非 蓟 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 ) 作业 P269 3 , 7; P276 *4 (2) ; P282 9 (2) , (4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 钢 勾 综 车 刮 腺 县 书 忙 棒 咯 闻 芬 渣 斩 冰 招 一 臻 蛇 斋 误 炼 料 阴 古 寥 芦 酗 巴 酮 虎 D 1 2 习 题 课 ( 1 ) D 1 2 习 题 课 ( 1 )