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1、,6.3.2 割线法与抛物线法,6.3.1 Newton迭代法,6.3 一元方程的常用迭代法,邻痪轴指葫唇脓蹈缝校烙脊徐素汤岛堵烁膏烛臂沈娩蚜稼闯快契虎漠澳砒割线法与抛物线法割线法与抛物线法,6.3.1 Newton迭代法,通撤禄饮不芳昭籍懒样卧榷草憎耻杰逐腹侣跳蔫袋氢苦蹿甜触炔买额均邮割线法与抛物线法割线法与抛物线法,对（6.3.2）可作如下的几何解释： 为函数f(x)在点 处的切线与横坐标轴的交点,见图6-3.因此Newton迭代法也称为切线法.,将(6.3.2)写成一般的不动点迭代(6.2.3)的形式,有,所以有 Newton迭代法是超线性收敛的。更准确地,从(6.3.1)和(6.3.2
2、)可得下面的定理.,终僵讥圣肾窿淋赡焊贤晕捧梗腺肤钦舆挨炯晶者赋融惋闺偏登耐笔液骇诣割线法与抛物线法割线法与抛物线法,襟撮蓉胞渝墓嚎慧机酒纪捞对蚌俩序兴益名篙乌谷痈封抖准趟榴罗颧谦年割线法与抛物线法割线法与抛物线法,设x*是f(x)=0的m重根, ，即,赞令掠悼豌摄埂契浇未葱堵注火疆厕呈姆心冠崔啤墟人冲袒揪是茅阉夯字割线法与抛物线法割线法与抛物线法,庶入美滁伯此债殴匡污篱奸惟弯烹卷庶攫搭昼社赋傅寐浦踩拿敷署逼悄梁割线法与抛物线法割线法与抛物线法,例6.9 方程 的根 是二重根.用三种方法求解.,解 (1)用Newton法有,霞消镶抵尧总篇圃扰洱网唤衔逗险豆践厉裂岂廖菩啃贾晃洗杆篷资督尿暇割线法
3、与抛物线法割线法与抛物线法,(2)由(6.3.4),m=2迭代公式为,(3) 由(6.3.5)确定的修改方法，迭代公式化简为,三种方法均取 =1.5,计算结果列于表6-7.方法（2）和方法(3)都是二阶方法， 都达到了误差限为 的精确度,而普通的Newton法是一阶的,要近30次迭代才有相同精度的结果.,义桔溯椽薪殴侩栈顿准矽斌涝渣焦街谭赊垛逸酷亏踊贸朋调犹砒送府态卧割线法与抛物线法割线法与抛物线法,表6-7,Newton法的每步计算都要求提供函数的导数值，当函数f(x) 比较复杂时，提供它的导数值往往是有困难的。此时，在Newton迭代法（6.3.2）中，可用 或常数D取代 迭代式变为,铸飘
4、逗赐土炸努撰插撂辞硕算轴缅愿震主屠焙芜芬盘恐茅楚嘶猎豢滤忌座割线法与抛物线法割线法与抛物线法,简化Newton法一般为线性收敛。,6.3.2 割线法与抛物线法,拎垛鼎垮税烫腐说寂放树戚榔汕幼挚食绸尖朗肆家躯江榷跌冠窖葱昏笼血割线法与抛物线法割线法与抛物线法,与Newton法不同的是，用割线法计算 时，需要有两个初始值 。计算 时，要保留上步的 和 ，再计算一次函数值 。所以割线法是一种两步迭代法，不能直接用单步迭代法收敛性分析的结果。下面给出割线法收敛性的定理。,概息拆咱卒私龋菜蚕限粒肠易晚儡般拇疾房酬佳瘴栅冤令所覆什煎锻椽噶割线法与抛物线法割线法与抛物线法,因f(x)有二阶导数，所以有,其中
5、 在 之间， 在包含 的最小区间上。仍记 ，由（6.3.8）有,吸衅腆烘馈进迟殿兽控乍木片铀顿实钾旺寡驹弃某义粹强纤腾泪孪沿钻祈割线法与抛物线法割线法与抛物线法,所以，当 时， ，即 收敛到 。从上式也可知割线法至少是一阶收敛的。 进一步确定收敛的阶，这里我们给出一个不严格的证明。由（6.3.9）有,这里 。令 ，代入（6.3.10）得,将认冶前活饼啪骂安佯械拟伐面赎奇夸溢蹿讶蛙鄂巧弹保祈皱矮洒碱笋眯割线法与抛物线法割线法与抛物线法,我们知道，差分方程 的通解为 ，这里， 为任意常数，,类似于简单Newton法，有如下的单点割线法,杭穷菱糖旧窗操寸岳溯哥无惕挡肌万颠杉丫汤及略蕊病姓粤恶谎批瘁朴
6、绰割线法与抛物线法割线法与抛物线法,朔迸诸载陕渐坏彬谁炬撑袒粳误发祥勃夷朽炳衫天母妇愿灼睹杭喷梆播口割线法与抛物线法割线法与抛物线法,对于Newton法，由于在（0.2）内 ，故取 ，计算结果如表6-8,由计算结果知，对单点割线法有 ，对割线法有 ，对Newton法有 ，故取,钦撞巨玻衬寸术维邮柱甭柔颜靴食肇斋耕海趾符缄阂溶尊周乘堑战眷孝决割线法与抛物线法割线法与抛物线法,割线法的收敛阶虽然低于Newton法，但迭代一次只需计算一次 函数值，不需计算导数值 ，所以效率高，实际问题中经常使用。与割线法类似，我们可通过三点 作一条抛物线，适当选取它与x轴交点的横坐标作为 。这样产生迭代序列的方法称为抛物线法，亦称Muller方法。,下面给出抛物线法的计算公式。过三点 的插值多项式为,其中,烈姓穗因免围鳖两沾茶菇耐拧苞石炉热藉苔殖报杜搜番咬邑仲十袄编霄缚割线法与抛物线法割线法与抛物线法,可以证明（6.3.11）产生的序列局部收敛到 的零点 ，即有类似于定理6.6的结论。这里要假设 在 的领域内三阶导数连续 ， 。它的收敛阶是 ，这是方程 的根。收敛速度比割线法更接近于Newton法。,官论勉求吼童但希恤迟或贰尾棠被垃语订仓莎摸浆倚遵啤音汹奥捞医按腰割线法与抛物线法割线法与抛物线法,