3桥涵水文——水文计算中的数理统计法.ppt

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1、桥涵水文,工程学院,秒钮乒砸沦副污很朋羽济族争谆佃昆剂恫诊绪祷亲饮褐纯絮刑滑嘘篡黑裤3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,第三章 水文计算中的数理统计法,水文统计法系利用水文现象的不重复性和各种水文要素具体数值的出现属于偶然性的特点，运用概率论的原理，对实测水文资料进行统计分析，从而推求出它的规律性,并进一步预估今后发生变化的一种方法 在实用中,不能单纯依靠统计规律来解决复杂的水文问题。为了使水文计算结果更趋于符合客现实际，还应辅以物理成因的分析。,棕歪瞒哩煌誓稠芍仰骂放裙纳给概吞汤羔妹玉堤炽硷汞笆黎合邻拔钉滔阴3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的

2、数理统计法,3-1 机率和频率,一、随机事件 必然事件：当多次观察自然现象时,就会发现有许多事情在一定条件下必然会发生 的。例如河流中的洪水流量，每年汛期必然会出现一次最大的洪峰流量。 不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件称之为不可能事件。例如在流域内下了一场暴雨后，要使所属河流水位不变化是不可能的。 随机事件：在自然现象中，除了必然事件和不可能事件外，还存在另一种事化即在一定条件下它可能发生也可能不发生，这种事件称之为随机事件。例如黄河每年都要发洪水，但洪降流量出现的具体时间和数值，年年变化，每年都不相同，称之为随机事件。,统淑蛆澄辟虽减锗甫蚤铸返于漱葛递浅肢段僻均瓦绣棘畔演篇砧八隐哗

3、徊3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,随机变量: 统计学中把这种随机现象的各个不同值称之为随机变量。 随机现象好象是无规律的，但观察了大量的同类随机现象之后，就会发现它还是存在着一定的规律性。例如观察河流的年径流总量便可以发现多年平均年径流总量是一个稳定的数值，这种规律性需要从大量同类随机变量中统计出来。 对水文现象来说，就需要从大量水文实测资料中来推求，实测资料愈多，规律性就愈明显，预估的精确度也就会愈高。系列可以是有限的，也可以是无限的，水文资料一般都是无限系列。例如某河流年最大洪峰流量值所组成的随机变量系列，应包括河流过去的和未来的无限长久年代中所有的每年最

4、大洪峰流量值，所以是一个无限系列。,陇传诊匿鸟溃阂腊荚裸靶蚕捍翠芍瞎视搁炔枫撰典琐奈扁随芍氟舟焰剃躇3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,二、频率的含义,机率(概率)是一个具体数值，它表示某随机事件在客观上出现的可能程度即可能性的大小，该数值称之为某随机事件的机率（或称为概率、或然率）。 若试验的可能结果是有限的，而且所有结果出现的可能性都相等，则称之为简单随机事件，其机率可按下式计算： (3.1) 式中P(A)为一定条件下的随机事件A的机率；n为全部试验结果的总次数；m为随机事件A出现的总次数。 例如抛掷一枚硬币的试验是简单随机事件，其可能的结果只有两个，即出现“

5、正面向上”和“反面向上”，对均质硬币而言，其出现任何一种结果的可能性是相等的，因此根据公式(3.1)算得出现“正面向上”这一事件的机率为1/2(50%)。,帛句架片捐条韭新塑锁鹰嫂竟旋剿壮俺梢烹镀抵矿一勤邢暴窗并殴茎阎霄3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,当事件A在一系列重复的独立试验中,出现次数m与试验总次数n之比值，在水文现象中称之为该事件A在这一系列试验中出现的频率。设以n代表试验的总次数，m代表事件A出现的次数，则事件A出现的频率为 与机率计算公式(3.1) 完全相同，意义上有所不同。 区别: 机率是随机事件在客观上实际出现的可能程度，是事件固有的客观性质

6、，不随人们试验的情况和次数而变动，是一个常数,是理论值； 频率是利用有限的试验结果推求出的一个经验值，将随试验次数的多少而变动，当试验次数达到无限多时，才能稳定到一个常数即等于理论值机率。,涎颖碳婿禄暇疏龚顺佛吏瘩帝缀莲浦贤忱壳友爽身剧介昂聚盔敏溃暴灰昧3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,三、重现期 指等于和大于(或等于和小于)某水文特征值平均多少年可能出现一次，所以又称呼它为多少年一遇。频率与重现期的关系相当于频率与周期的关系。 由于水文特征值并不具备严格的周期循环，重现期仅是在很长年代里的平均情况，也就是说平均多少年出现一次，绝不能说，正好多少年一定出现一次。

7、重现期并非周期，对于洪水和枯水重现期有不同的表示方法 。 洪水:它们的频率P50%，重现期T就是频率P的倒数，即 枯水: 它们的频率50，重现期为,潭糯术撕歼都夯门欢喊往否壮悦卷腐苫串府船仟间未森呸效壕乳编顾准韵3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,例如频率为2的洪水流量,其重现期 为 ,这就是说等于和大于该值流量的重现期是平均50年一遇;又例如枯水流量P90，则 这就是说等于和小于该值流量的重现期是平均10年一遇。以上所说的重现期，一定要在很长的年代里才能正确。也就是在很长的年代里，出现时间上间隔的平均年数，不是固定周期。百年一遇的洪水流量并不意味着每一百年正好出

8、现一次，实际上，也许会出现几次，也许一次都不会出现，仅是在很长的年代里，平均100年可能出现一次而已。频率与重现期的关系还可从表3-1所列的关系加以说明,立甥妨懂串戚忍抽齐雁隘永死吃赞岛奉虹凄殖棉脂望底撬硬贸眉唇火观固3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,谆码防隔眼嘎搁卿费痔嘻淆烬晒揩煮老凳穆糠埂今篆沉陶输书耍耐麓铁缅3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,四、总体和样本 研究对象的全体，即整个情况的全部系列，称之为总体 总体中随机变量的项数，称之为总体的容量。 由观测所得总体的一部分称之为样本。 同一个总体可以划分为许多个样本。如果样本是

9、随意抽取的，不带任何主观成分，这种样本称之为随机样本。 样本中所包含随机变量的项数，称之为样本的容量,世浙莎革典哥萨壮踊棚路皋溪栅颖偶嫩忿改陶筋蛆迄雷赂既肋荷椿杂覆怔3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,水文计算中，由于水文现象的总体是无限的，根本无法取得，所以只能利用实测水文资料这一部分组成的随机样本来推断总体的规律如果水文资料具有足够的代表性，则在一定程度上是可以反映总体的特征的，所以水文资料的代表性这一点很重要。不过利用样本来推断总体的规律性，由于存在误差，所以反映的并不是总体的客观实际情况，这种误差在数理统计中称之为抽样误差。,拂哈土孜驱蜜珊绸寺戚耀羽借砒掳

10、桨榆诬巳熏红讶份橡乏疡燃厂逼升效比3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,水文统计推算具有规定频率的设计流量所常用的方法是年最大值法(或年最小法-枯水流量和水位)。即从水文站每年实测流量资料中，选取一个洪水成因相同的最大洪峰流量值，则n年的实测资料，可以选取n个流量值，组成有n项容量的随机样本，从而推断总体的规律，解决水文计算中一系列的复杂问题,屯权亭系跳峙囱仑芍宵箱桓登酣袁帘学植霜巢哇者滋幽伐效法担访掷吴假3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,水文现象都是复杂的随机事件，只能用实测资料计算其频率，近似地估计其机率同样，也只能用水文系列的频

11、率分布近似地估计其机率分布(概率分布)。 频率分布能近似地显示随机变量的统计规律，可据此推断复杂随机事件的客观规律性。 例如某站57年实测年最大流量值将其由大到小排列，以每200m3/s流量为一级差分组，先统计每一组出现的次数。根据各组出现次数，计算其相应的组频率也即区间频率、频率密度和累积频率。如表32所示,3-2 随机变量的频率分布,煽廷奶痘攀喀煌殊纵颓嘉刨赔燃勿汲稳像澡藉灾奖预险往碍驾朝檄庙荫泥3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,按表中所列数值点可绘成流量与频率密度的直方图（见下页） 频率密度是频率在区间内的平均值。,画图,画图,党捡遂系舰蔫睹讼豫祁驯耀价碴

12、灰谣厕便网银蛾霞盗灼笼造监邀汲脓汀疹3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,曲线如图31中虚线所示，称之为频率密度曲线，简称密度曲线，它系一条中间高两侧低的倾斜铃形曲线，显示出年最大流量的统计规律。即特别大和特别小的流量出现次数都很少，频率密度小；接近平均值的流量出现次数较多，频率密度大，表示了水文资料的统计规律。,邓绦件锡粉师孔贮赊浇颧湍效坑快矾饮滇上呈各柔伴擎怪俩售辅炭烁确桥3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,某水文站一年的日平均水位,方框图,累计频率曲线,奖大狈羽话否松抽恕假弘蠢典挺落将谍秘锻桔躬品觉淄仲题改窃碴途蔑孔3桥涵水文水文

13、计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,概率分布,概率密度函数,同理:,繁胰篓蒜昌挞稳札巳奉盅癸播堪檀捎郁苦筹矗瑟杨位灸椰振勒瓦栅厩艘嘴3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,3-3 经验频率曲线,在工程设计中往往需要知道某一指定频率P的水文特征值是多少，一般就采用频率分布曲线。 利用实测资料点绘的频率分布曲线称之为经验频率曲线。 当实测资料足够多时，经验频率曲线可近似地作为总体的频率分布曲线，用内插或外延推求相应的水文特征值。,裂干粱江砌斥力茎幂碱精姆艇捉叙腰挤合漂贱菇喷叛奢州嘻贞本胞寺虎笺3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法

14、,一、连序系列经验频率计算 根据选取的各年最大洪峰流量值(包括插补延长资料)，按其大小顺序排位这种系列称之为连序系列在数理统计中又称之为简单样本设系列共n项，按由大到小的次序排列为： ，.等于和大于数值出现的次数为1其频率为 ，等于和大于的数值出现的次数为2，其频率为 ，；等于和大于 的数值出现的次数为m其频率为 ，所以各随机变量的经验频率可按下列简单公式计算：,铂看序铝搅钎歧谭晾颈丑痹根泌蔓蚀钻似等血度勺伏凸菏喳十瘸筹膀掘颐3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,公式(3-5)只有在掌握的n项资料就是总体的情况下，计算的结果才属合理对于实测水文资料，都是有限的年数，

15、以此作为样本资料推求总体，此公式就显然不合理。例如有10年资科(n10)其最末一项m10的经验频率 这就意味着再也不会出现比这个实测最小值更小的数值了。这显然不合理因为随着观测年数的增多，总会有更小的数值出现因此，(35)公式需要修正，修正后的公式如下： 上式称之为数学期望公式。,四茬步储霉班固痉范荆扁硼肝浇傈探藕屿轧氟锦缕碟众妈十酿浸训咆诅茄3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,二、不连序系列经验频率计算,若系列中，包含有历史洪水考证的资料，则实测或调查到的特大洪水可在较长时间内进行排位，这种系列称之为不连序系列(即特大洪水与一般洪水之间有空缺项)，是个不完全样本

16、由于对历史洪水的调查考证是一项必须进行的工作因之常见的多为不连序系列不连序系列的频率可按下列方法之一进行估算： 第一法：将实测系列和特大值看作是各自从总体中独立抽取的几个随机连序系列，分别在各自系列中进行排位，其中实测系列的各项经验频率仍按式(33)估算。而调查期N年中的前a项特大洪水(无遗漏时)，序位为M的经验频率 为： 式中：M为历史特大洪水按递减次序排位的序位； N系调查考证期。,赔蝶普匠逼谁巩谈陪艳甲香蒸轴沦衷贱沂瑶摈廖倡恫吾募埠柱耕尤搬擒退3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,第二法：将实测系列和特大值共同组成一个不连序系列作为代表总体的样本，实测系列为其

17、中的组成部分从最远的调查考证年份迄今的时期内进行统一排位从而估算其经验频率。设在调查期N年中，调查到为首的有a个特大洪水其中l 个发生在年实测与插补系列之内,则N年中的a项特大洪水的经验频率仍用公式(3-9)估算。实测系列中其余的项，因为抽样是在总体内小于末位特大洪水的条件下进行的，其经验频率估算公式为 式中：为实测系列第(ml )项的经验频率；a是在N年中连续顺位的特大洪水项数(包括发生在实测系列内的项)；nl为实测洪水系列项数；l 是实测洪水系列中抽出作特大值处理的洪水项数； ml 为实测洪水的序位；其余符号意义同前,滞叁骚姿刨气冤船憎婪口湛轩亡秀劫腋加饼束缓错撅弧氧淮顶橇幕丰建薯3桥涵水

18、文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,算例31 某站自1935年至1972年的38年中，有5年因战争缺测，其中，以1949年洪水为最大，1954年次之通过历史洪水调查得知，自1903年以来70年中为首的三个大水年是1921、1949、1903年，并断定不会遗漏比1903年更大的洪水在1903年以前，从文献考证比1921年更大的洪水有两次，其大小次序为1867、1832、1921，其中不会遗漏比1921年更大的洪水，小于1921年的洪水则无法查清按第一法求经验频率,廉押还劣树疙冕歧椿钒赔敲王徘桌届洼刷鞠栏乙趣唐麓夜平轮藻铺拍挞凭3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计

19、算中的数理统计法,解：根据上述资料情况可按三个连序系列来计算。 甲、19351972年(32)中由于与洪水大小天关的原因而缺测的除外，余下的33年资料可看作一个随机样本，系列各项按大小排位后，各项经验频率按公式(36)估算。n32，m1、2、33。 乙、19031972年(70)系列只有为首的1921，1949，1903年三次洪水，按公式（39）估算N70, M=1、2、3。 丙、18321972年(141)系列，只计算为首的1867、1932、1921年三次洪水，按公式(39)估算N=141, 。,侨拆坝寇吟虎吃衫晾陪希奖旺迈郑硼旨陆杰缚银劣货伞谐漳灭闹初处承损3桥涵水文水文计算中的数理统计

20、法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,上述计算中，1949年洪水，在“甲”系列中同时也在“乙”系列之中，应按“乙”系列计算(时期较长)1921年洪水，在“乙”系列中同时也在“丙”系列中，应按“丙”系列计算求得的各年份经验频率如表33所示.,克察沉办荡羊请语妓崇嘲精萧溉漠姑贺额扬酝樊购稗缀昂蛙励蔚厨按地箕3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,小结： 关于上述两种估算方法的适用条件，一般说来，如实测资料代表性较好时可采用第一法如果调查和考证历史洪水资料较为可靠对为首的几项大洪水水无遗漏时，可采用第二法此外，也可参考经验频率点据的适线情况加以选用,蝴策沃厨何脂默铸叔出垃另庶

21、拌宣谴然牌污构忻蔗惩哑疾壁卒喇殴办瓶唇3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,算例32用(算例31)的资料按第二法进行估算。 11832年以来的首三次洪水按大小次序为1867、1832、1921，各年洪水的经验频率按公式(39)估算，式中N141(即19721832十1141)，M=1、2、3,P=0.7、1.41、2.11。 2上项中末位特大洪水的经验频率为211，故1903年以来首三次洪水，即1921、1949、19031年的经验频率估算可如下进行第一位1921年已列入上项中估算第二、三位洪水的经验频率按公式(310)进行估算。式中 l1故第二位洪水的经验频率,隅

22、亩钦福妙偿风滩帝邻正葛悠有壬涛管狭召戌帧窗事株蓬戍有况培奖虽捆3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,第三位洪水的经验频率 为： 3.以上第2项中末位洪水的经验频率为0.0491，(19351972)年的各项实测洪水的经验频率是小于这末位洪水的条件下进行估其的。实测各项按大小排位除1949年已列入第2项估算外，其余1954年等各项(2、3、33)的经验频率按下式估算： 求得各年经验频率结果如表34,第显置褂厢慎谣芬联蛛伍孺后泻狠卜铅饱迫斜黔挡宜毕妙拓污宦唉花汽喊3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,三、经验频率曲线绘制 (一)点绘曲线 经验

23、频率曲线点绘步骤如下： 1将河流实测到的多年(有限年代)年最大流量(即样本)按从大到小顺序排列，编上序号 (包含历史洪水资科) 2按经验频率计算公式估算出各项流量相应的经验频率 3以流量为纵坐标，以经验额率(一般用累积经验频率为横坐标点绘出各经验频率点据。 4根据经验频率点据的分布趋势，目估绘出一条平滑曲线，这条曲线就是经验频率曲线,惹茧爱症婚篙扇屿呀鲜游慢相毕垫熔尹扑蹈美义件垒妥肺购凤寒绽翱程佑3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,(二)机率格纸 在普通直角坐标方格纸上，点绘经验频率曲线所示曲线呈S形(累计)曲线上部急剧上升和下部急趋下降，使曲线外延找稀疏频率流量

24、时,任意性很大;而曲线外延值正是设计需要的重要数据。为了改善曲线外延的条件减少误差，应使用海森机率格纸 海森机率格纸的主要特点是使正态分布系列在这种图纸上接近于一条直线，其横坐标表示频率坐标系中间密集两侧渐疏的不均匀分格，可按表35所列资科绘制；其纵坐标表示随机变量，一般可采用等分格见图33必要时也可采用普通对数分格见图34。 如曲线两端很陡则可用普通对数分格的一种，使曲线上端平缓些便于外延；否则可用等分格的一种,敦限胰首兴前锻骗仗驾昧粒躺碾拱古验杨舀烷羞洛躬痔误寇陡鳖佃丈则捷3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,覆狡社或陀酗愉馅娄甭馅棺廷霜到寅碱摩巫孝茄盂脸杖拙逐

25、瑶屹昼售膊褪3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,黍纽镐殷埂魏腾对补错迹淳嘱础猿秩纤照鼠腹陋蕊棺恿谦祈谗崔蔚臣瑞榨3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,鳌山湾历时潮位累积频率曲线,衣霹醛捅忻交钻驴拽瘁突屈鹃瘤萌霜泥傀灸凑涡谜铃付粉岔缔闹巫骑曙似3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,高潮位频率分析,硕暇镣众衷苑孝泡瞥甜倔逐奉戈泻峪楔哟嘱襄适沿凸午兵煌答彪壶第翰锈3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,庶龄悼溯傀拂蹦戴蔡腕着宣暴郑尾挛莎臻靴蠕管抄诗悟汛齐柳谭短衰巨掖3桥涵水文水文计算中的数

26、理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,3-4 统计参数,水文现象虽有共同的统计规律，但由于随机变量取值的不同，其频率的密度曲线和分布曲线具有各种不同的形态,有对称的、有不对称的、有分布比较集的、有分布比较分散的。 在水文统计法中,这种形态特征可用几个具体数值来反映。这些具体数值称之为统计参数，有均值、变异系数(离差系数)和偏差系数，现说明如下。,怖霉守映瘪蕉阑财辫理僧掘郊兴哮邵墩析驰恕孤未酋雇碘候镰况踪漳先阔3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,一、统计参数的特性 (一)均值 系列中随机变量的算术平均值，称之为均值，以x表示。它说明系列的平均情况，表示系列总水平

27、的高低，作为系列间数值大小的比较标准，数理统计法中称之为数学期望值。 设一系列为 ，其均值计算公式为 例如南京的年降水量多年平均值为970mm，北京为650mm，说明南京降水多于北京。这就是用均值反映比较出来的，所以均值是水文现象的一个重要特征值。,镐豺寞计城羌井皇部吉赎发恶帐私疙洲醉忻筑狂悉偏棚较继唇潦纽梯跪剃3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,当年变量的出现次数不相同，X1出现P1次，X2出现P2次，Xn出现Pn次，其中 则各变量对平均数的影响不同，均值为系列中随机变量的加权平均数，即 (二)变异系数(离差系数) 变异系数又名离差系数，以表示它说明系列中各随机

28、变量分布在均值两侧的离散程度。即以均值为中心来进行比较。系列中某与均值之差称为离均差，简称离差系列中各项离差的总和由于正负号互相抵消必然等于零， 即因此采用离差的平方的平均数即 来说明系列的离散程度,烽戒度肉揪天桩楼缉吵足溯冈借士涡怠央晤树役错擒僚绒辑涡鲜翅内绸堡3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,为了保持原有单位，取其开方根作为鉴定系列离散程度的参数。称之为均方差 用下式表示: 上式仅能用于总体或用在n甚大时，当系列项数短少(样本)就应用下列修正公式来计算. 均方差能反映均值相同的各个系列的离散程度，但不能比较均值不同的系列的离散程度一般都采用均方差与均值的比值

29、(即相对量)来作比较这个比值即为变异系数，为一无因次的系数，算式为,诺漱歼盒辣矫审沧殆丁踪洼钙泰姬癣千好咨躇款藤飞写洒寞蹋宾芒霄植仿3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,式中 -一模比系数。 由于根号内是平方值因此 因 故 因而公式(314)又可写为 值大时，离散程度大在水文现象中如对洪峰流量来说， 值大说明河流中洪水在年际间变化大我国暴雨径流的 值分布，大致是山区河流大于平原河流；北方河流大于南方河流；流域面积小的河流大于流域面积大的河流；同一条河流上游大于下游我国河流洪峰流量 值大多在0.21.5之间。,骄现肉寝业杀原麻切缕凄贾甭欲拾撞陕候史趋今晃狂桌脾际完相按

30、鸥熊邹3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,(三)偏差系数 变异系数 只能反映系列的离散程度，但不能反映系列中大于均值的变量出现的次数多，还是小于均值的变量出现的次数多。偏差系数正是可以表明这种对比情况的一个特征值，它又名偏态系数，以 展示也就是说它是衡量一个系列在均值两侧是否对称或不对称（偏态）程度的一个参数。 测量偏度：是用离差的三次方的总和即 离差三次方以后，大的更大，符号不会变离差三次方以后，大的更大，符号不会变即 不对称分布时有两种情况一种是 正值立方占优势称为正偏分布；另一种为 负值立方占优势，称为负偏分布。,股胖邑戳杂层款侗狙哭延埋谱宜塘瘁邑果饺命渣挪

31、泰槐甭咏估砚轴凹瓦芍3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,偏差系数的计算公式为 因为， ，并引入模比系数 ，上式可化为 由样本估算总体偏差系数时需将上式乘以修正系数 ： ， 算式为 ，,聊央谴样比腕昂堤会缆码劣驮宗莱狗禁卫盒阮涅喉躯酸旁驻购摧占保复棚3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,说明：利用上式由样本估算总体的 CS 值时。必须有百年以上的资料，才能获得较满意的结果。实际上资料往往没有这么多，因此，在实际工作中并不用上式计算 ，而是采用 为 某一倍比的数值例如 ， ，再通过配线加以确定。 水文现象中，一般出现大于均值的次数少但离差值

32、大出现小于均值的次数多离差值小，故都属于正偏。例如大洪水出现的机会总比中小洪水出现的机会少，故 。 【算例33】设有一系列，300 200 185 165 150 解 ： 均值,费扭碾鸽池倚跑株医丑复爪勋傈轮冉郎骚擂剁匠洲蕾唇焦扶崔牲奈非糠窖3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,均方差 偏差系数,滓唱罪境盗毗估煞转沙库烽线迄妈惊沂蜀蘑妓札翔摧筒漾阑犬醇究祭角湍3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,大于均值200出现的变量只有一个，所以次数少，但离差值大；小于均值出现的变量有三个，所以次数多，但离差值都较小，是属于正偏计算结果与上述相符。

33、均值 所对应的频率为 均值所对应的频率小于50是 ，频率曲率的一个重要特征。,浊惦赎妄喜黄陨莎彰囱建匿济貌厅聪浩厢镍磨干们忆岿睡傈嫉宾涨媒挥侯3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,二统计参数与频率密度曲线的关系 均值的影响 若 及 值不变，则密度曲线的形状不变，密度曲线的位置将随的变化沿轴移动，平移的距离就等于两个均值之差如下图所示,酬笛墅绳姚击签屹滓脑飘伐掘惟碌吾哆涧球讳那锤元拣朋兼变壶签惦吩泡3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,变异系数的影响： 若 及 值不变， 值愈大表示分布愈离散，曲线就愈显得矮而胖； 值愈小表示分布愈集中曲线就

34、显得高而瘦； 值等于零时将成为一条垂直于轴的垂线如图36所示。 无负值 偏差系数的影响： 若 及 值不变， 0时为正偏，曲线的偏左， 值愈大，峰愈向左偏 . 时为负偏曲线的峰偏右， 值愈小，峰愈向右偏； 两侧对称，曲线的峰居中间,稼硒坞碍弘卑冰岛坯抛寓噬榔梦滔柠彝战脚崇冶路拴暂煮够苞突掷牧家篱3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,例如年最大流量系列的 越是大于零，属正偏 三、统计参数与频率分布曲线的关系 均值的影响 均值影响曲线位置的高低若 及 值不变，则 值愈大分布曲线位置愈高，反之愈低。纵坐标与 的大小成正比 。如下页图所示,骇辉邦寨央体湃涂蔑酿焊主娃浸益量吴众

35、下僧诈恋埂陀浅彝爸牛茨辛馒哗3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,变异系数的影响 值影响曲线的陡坦程度。 愈大，分布曲线愈陡；由于 无负值，曲线总是左高右低；当 ，曲线将成为一条水平横线，即纵坐标 ，如图39所示,脚逐庐怒纺影乡隋皂类欲汲儿们沤省新茵蝉乘输卉拭该栓吝刨概茶搜色囚3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,偏差系数的影响： 值影响曲线曲率的大小若 及 值不变，在 时， 值愈大，曲线上端愈陡下端愈平缓; 时 ,曲线下端趋向水平； =0时，为正态分布，分布曲线在海森机率格纸上将成为一条直线；,挑绞语耍望隘枢澎汰烫印么滴渭钢性灯针瓣抿科

36、罩铅唐贵闲凯扳喇计才邪3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,0时，随 值的减小，曲线上端趋平，下端变陡，年最大流量系列 无负值，曲线总是上端较陡下端较平缓。如图310所示 偏差系数的影响： 值影响曲线曲率的大小 若 及 值不变， 在 时， 值愈大，曲线上 端愈陡下端愈平缓； 时， 曲线下端趋向水平； 时，为正态分布，分布曲线在海森机率格纸上将成为一条直线； 时， 随值的减小，曲线上端趋平，下端变陡，年最大流量系列 无负值，曲线总是上端较陡下端较平缓。 见下图。,短焙玩嚣蜀餐谗醛文擦谓二糠矿篓息情拉笆上瞅以惨任牡舍继礼激友决伦3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文

37、水文计算中的数理统计法,统计参数的误差计算： 统计参数的误差来源有二， 一是水文资料的观测、记录 和计算所造成的误差； 二是样本代替总体所产生的 误差。 水文现象是无限系列所以 从总体中随机抽样取得的是有限 的样本，不能完全代表总体，误差必然会产生这样由总体中抽样引起的误差称之为抽样误差。 当总体为PIII型曲线分布时，从误差理论得出各种样本统计参数的均方误的计算公式如下：,播咏奈怖套乎邻则弱竟莲谁菊腰骗当亢茫示郑督昼赶棱怠运拼爹剧怔施呜3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,频率计算是用有限样本估算总体的参数，必然存在误差。 统计参数的误差与所选的频率曲线线型有关。

38、当总体分布为P型，对于n年连序序列，用矩法估计参数时，样本的均方误的计算公式为：,喘帽具籽嗜一阶抢呛粥调稠箍乡溉蒲团治侨伦今崭仅姐室思砧按策榨臃礁3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,在实际工作中，均方差是在选配频率曲线时作为修正统计参数的参考数值，一般是将均方差记在计算统计参数值之后例如将样本均值写作 ，其所以取正负号，因误差可正可负不能确定不能说某一具体样本的均值，抽样误差就是 ，更不能说总体的真均值可以由此加减而得,俩谋呆讣湛串爹则淡以贯瘸翟术荆睛拍棘椎欠腺姆待星穴杏沟剧戮闭妇增3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,3-5 “理论”

39、频率曲线,按实测资料点绘经验频率曲线，并用经验频率曲线外延推求稀遇频率的流量值，存在着任意性和精确度差的缺点,因此在水文计算工作中，常用数理统计中符合水文现象发生规律的某些曲线作为模型使外延有了凭借。这些曲线并不具备水文上的理论。但在水文计算中广泛加以应用，称之为“理论”频率曲线。 一、频率曲线线型 我国长期采用皮尔逊III型曲线(简称PIII型曲线)作为洪水特征的频率曲线，它是一种概括性较强，适应性较大的频率分布线型。由于我国幅员辽阔水文条件复杂，流域特征各异洪峰流量多变且呈随机变化规律所以如采用单一统一频率分布线型来描述各地资料出现的各种情况，还不够完善。因此在特殊情况的也可以来用与经验频

40、率点据相配合较好的其他线型如克里茨基与闵凯里曲线(简称KM曲线)和耿贝尔曲线等。,芝辱呻姻袍诬赌朝凸布革丫敝梳福拔粟沪郡悉铬棕落譬阁宣观爽附艇挡萄3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,(一)PIII型曲线 PIII型曲线是皮尔逊13种类型曲线中的一种，皮尔逊根据很多的经验资料经过统计整理后都有一些共同的特性，即中间某组出现次数最多，两边出现次数逐渐减少其中第III型曲线是一条一瑞有限一端无限的侗态曲线；正偏态时，一般为左端有限右瑞无限的偏斜铃形曲线基本上符合水文现象的变化规律曲线公式为 （3.23） 式中： 众值处的纵坐标众值是系列 中出现次数最多的一个随机变量；

41、d偏距，众值与均值之间的距离； a曲线起点与众值间的距离； e自然对数之底。,群照常香盲晨汛丫滓驴弗害园学笺英吠俺微妆椽贸琶孩氯池棠颊棒声枫黎3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,(323)式中 、a、d等参数经过适当演算后都可用统计学中常用的变异系数和偏差系数等参数来表示即 根据以上各式可以说明水文资料系列中只需要求得均值 、 、和 三个参数值。PIII型曲线的形式就可以完全肯定了,锭的忿劈坪躬痞旁宇润山混端肤喀啄啼碧辊徐营笔冻做鲸甭逞雕卫告罗窍3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,如将图311中纵坐标轴移至资科系列数值为零的位置如图3

42、12所示设曲线始点与原点的距离为 由于一般的水文资料中(如流量等)，不可能出现负值，因此， 必是一个大于或等于零的数值由公式(325)及(326)得知 所以,伙鲤哀件绊仔厚墅碌偶败疾遣缩栓椒挠犊席占桅胶呢趋朔汗醇幂牡诡壳鉴3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,当 时，则 ，这个关系称为 的下限；如果 ,则 为负值，就不符一般水文现象的规律但当水位标高零点位置取得较高时，则会出现负的水位 就要小于零. 就要小于 但这仅是水位标高位置取位问题不涉及到水文自然现象。 在实测资料中的最小值一定是大于长期资料内的最小值. = 即 所以，在水文物理性质上符合PIII型曲线的 值

43、必须在下列范围之内，即,描版丝毒悍批护漱辱顾效吹币县袁月稳祥起沽阐罪我疚聘港佛辞伸税抛喇3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,当 时，从公式(3-25)中得知, 从图3-12可看出，当 时，曲线就不会呈铃形而为“乙”字形，众值趋于无穷大，这也不符合水文现象的一般规律。因此，只有 才能应用PIII型曲线但在实际工作中，由于 很难确定一般都借助于经验频率曲线位置来估定故都没有深究上述这些情况 在水文统计法中，所需求的就是计算指定为某一频率P所对应的变量 ,或其一变量x的频率这就需要借用PIII型曲线. PIII型曲经公式经过一定的演算后用统计参数来表达，就可应用这个公式

44、推求频率曲线纵坐标 的值公式为:,奖蛤乎羚朋筐扯卵毒鞭曰饿幻磋鼎形起咆轿罐刑尘禄饺颈状喷功凹启芜峭3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,水文计算中，一般需要求出随机变量取值大于等于xp的频率P （xxp)，也就是通过对密度曲线进行积分，即: 直接由公式计算P值非常麻烦，实际做法是通过变量转换，变换成下面的积分形式:,穴题障鹊梳景贵指透打败隅盔拍停灯厅兰都铺淄庇吧急形欠脱浅伏虎址论3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,皮尔逊型频率曲线的离均系数 值表（摘录）,弃凉绵成塑有锹忘让乒留蚀来闯仔溺叭爪爪水堪弄骚蕊箍镭蚀愤欢液启怜3桥涵水文水文计算

45、中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,式中： 频率为P的随机变量； 离均系数，是频率P和偏差系数 的 函数， 可由附录一附表12查取； 模比系数， （二）KM曲线 当 时，PIII型曲线下端出现负值；当 时，曲线就不会呈铃形而为“乙”字形都不符合水文现象的规律，已如前述克里茨基与闵凯里为了要修正这两个缺点,蝉环蓑丰衬阉否立便俐糙侦任皮粤盈亿褐专拖准当躁野颜学嘿朗治沙划湘3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,即要防止负值的出现和适应于 值较大的情况，提出了用 的PIII型曲线为转换基础，修改制定成KM曲线上述pIII型曲线可用另一形式写成。 式中： 函数 令

46、新旧变数服从下列关系： 式中 ： ab-常数 KM频率曲线方程为 或写成 (3.28),冕亲求柄主拌描语惹妨庙雍疙刃掠佛排硕富汽鹏戳禽殖请企稚贯暇筷貉蒙3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,x的变化范围为0 用数理统计中的方法可求得 因此，从实测资料中求得 后则可按第2式和第三式 用试算法求a、b， 随之用第一式可决定a 值， 式(328)KM曲线形式也随之可确定下来 注：试算法较烦，已制成表格，使用时根据 的比值、 和规定的P值，查得模比系数 ,并根据式 ,求出 值,贪供侈闪讯匈逃收亚赃志营二刘雨刷类缮吏殆兜卞溶追深镇阮缕画摘告力3桥涵水文水文计算中的数理统计法3

47、桥涵水文水文计算中的数理统计法,(三)耿贝尔曲线 耿贝尔曲线是根据极值定理导出的当有n年年最大流量值就有n个最大项，组成一个分布，因最大项是极值因此其分布称为极值分布理论上极值分布有三种，耿贝尔应用第I型极值分布来分析洪水频率。按第I型极值分布律对于年最大流量值而言，大于或等于某一给定变量x值的频率为 (3.32) 式中变量及参数： （3.33） （3.34） （3.35） （3.36） （3.37） （3.38） （3.39）,彭福苑蝶稽溺化醚安酣杨雷付都闸倘吸缝聋狡庶栖笺船扇常妹搞累嗅绸盎3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,式(3.32)可改写成 (3.40)

48、 从式(3.40)可见y仅与频率P有关因此 及 也仅与P关，也就是项数n的函数所以当n确定后，耿贝尔y由 公式列出了 及 关系值见附录之8附表120 由式(3.33)和式(3.40)得 （3.41） 将式(3.34)和式(3.35)代入式(341)得 则 （3.42） 上式称为第I型极值分析样 。,酣志肘偿疡莉宏貉搐室这掌蜗快掇柬旨径挽而饯粉掷论炯匹肝菊抵铺蓟映3桥涵水文水文计算中的数理统计法3桥涵水文水文计算中的数理统计法,二、“理论”频率曲线绘制 “理论”频率曲线绘制是以实测水文资料的经验频率点据为依据，选配一条具有一定线型的理论”频率曲线使该曲线能最佳地反映经验频率点群的趋势，也就是说必须与实测资料配合得最好配线的具体方法有多种，目前在工程设计中常用的是适线法适线法的要点是： 1. 根据实测资料计算经验频率在机率格纸上点出经验频率点据绘出经验频率曲线 2选定频率曲线线型，估算统计参数 和 ，在绘有经验频率曲线的同一机率格纸上绘出“理论”频率曲线 3检查“理论”频率曲线与经验频率点群的符合程度，如