第五讲特征值与特征向量.ppt

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1、第五讲 特征值与特征向量,矩阵的特征值与特征向量和相似标准形的理论是矩阵理论的重要组成部分，它们不只在数学的各分支，如微分方程、差分方程等中有重要应用，而且在其他科学技术领域也有广泛的应用，如工程技术中的振动问题和稳定性问题等。本章将介绍特征值与特征向量、相似矩阵、实向量的内积与正交矩阵等概念，讨论方阵相似于对角矩阵的问题,凶傣轨淋尹部纽烷尺惧认起塔衔蕴班烤斗尝氛间寿宽新菇爱廉美案父苞颓第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,知识脉络图解,特 征 值 和 特 征 向 量,定义,计算,应用,性质,求特征值,求特征向量,方阵的相似对角化,计算,化二次型为标准型,对应不同特征值的特征向量线性无

2、关,对应于不同特征值的特征向量正交,帜盏酉师秒留宣麦渡官买苟蓄桂哮帕赘散屹络声受腾磨辛池态知点咖侯赫第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,重点、难点解读,首先要理解特征值和特征向量的定义以及特征向量与相似对角化问题之间的关系。理解两个矩阵相似的定义和必要条件。,熟练地掌握特征值及特征向量的求法以及求一个正交矩阵把一个具体的实对称矩阵相似对角化的一般步骤。,对于方阵的对角化问题，应掌握以下几个基本结论： 阶方阵A可以相似对角化的充分必要条件是A有 个线性无关的特征向量； 方阵未必总是可以对角化的，但实对称矩阵一定可以相似对角化，而且可以正交相似对角化。,酣哉绞爸窒淄岗拇急彼样沈挥野概渺霜

3、据帖堂叫纱邓佑凡唯享炭沥宏骑局第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,一、求具体矩阵的特征值与特征向量,1、矩阵的特征值与特征向量,设A是数域F 上的一个 阶方阵，如果存在数 和数域F上的 维非零向量 ，使得,则称 为A的特征值， 为A的对应特征值的特征向量，称 为A的特征矩阵；称 为A的特征多项式；称 为A的特征方程。,2、求具体矩阵的特征值与特征向量的步骤,第一步 由特征方程 求得A的 个特征值，设 是A的互异特征值，其重数分别为 ，则,第二步 求解齐次线性方程组 ，其基础解系,氨歇跪穆锣蠢际甜世郑善膀骏高跳涎郸符申豢似痊堂剥记刀伊遮耳滩曙室第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向

4、量,就是A对应特征值 的线性无关特征向量，而A对应特征值 的全部特征向量为,3、矩阵运算的特征值与特征向量,4、特征值的重要性质,设 的 个特征值为 ，则,邑犯硅蛤陛椒萧盯钡净现孰粗厢搏署为宫剁驮负返走鸦镶瞪妹徒掌掂忠哮第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,例1 设矩阵,求 的特征值与特征向量。,解 法1 经计算可得,从而,中绵嗓鸭渺骋渴先鸵幽锥九均烽颧青鹿瓜赴社佯粥怀孕茹丈扇斟氮笺舀是第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,故 的特征值为9，9，3.,当 时，对应的线性无关特征向量可取为,所以对应于特征值9的全部特征向量为,（ 是不全为零的任意常数）,当 时，对应的特征向量可取

5、为,所以对应于特征值3的全部特征向量为,（ 是不全为零的任意常数）,法2 设A的特征值为 ，对应的特征向量为 ，,即,由于,所以,又因为,盖箔方钢赢努会幢编恩弹宝佳粳银娱吩买店冀拿畔宇滤赚什早互尽朽诈帖第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,则,因此， 为 的特征值，对应的特征向量为,由于,故A的特征值为 。,当 时，对应的线性无关特征向量可取为,当 时，对应的特征向量可取为,由,得,鸿斟付备抉犁扔段蝉村恒咽呵卯周厩首弓渝硅橙效揭溜牙去铸淘孕马王绘第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,故 的特征值为9，9，3.,所以对应于特征值9的全部特征向量为,（ 是不全为零的任意常数）,对应

6、于特征值3的全部特征向量为,（ 是不全为零的任意常数）,二、求抽象矩阵的特征值与特征向量,对于元素没有具体给出的抽象矩阵，要根据题设条件，利用特征值与特征向量的定义，即满足 ， 的 和 为A的特征值和相应的特征向量；或利用特征方程 ，满足特征方程的 即为A的特征值；或利用特征值的有关性质和结论推导出特征值的取值。,谩长护瓤拭娠雨寸综价敖锣裔改蝗背胆评疗澎图抠掘虱裤穴沁筒迫顿卸哺第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,即,由于 ，所以 ，故 的一个特征值为,缴添戈甲葱愉震肌报子曲忍侥息郭淄弓瑚恶咱抗吱微恒嘲擎何逝蟹嘛谆讲第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,证 由题设知,例2 证明

7、：若A为 阶降秩矩阵，则A的伴随矩阵 的 个特征值至少有 个为零，且另一个非零特征值（如果存在）等于,（1）当 时， ，所以 的特征值为0，0，0，结论成立。,（2）当 时， ，这时 有 个特征值为0，设 的特征值为 ，且 则,例3 设A是 阶实对称矩阵，P 是 阶可逆矩阵，已知 是属于A的特征值 的特征向量，则矩阵 属于特征值 的特征向量是,因为,所以，选B 。,牌秒瞧驯堵房紫死川鸳径硅麦带卡醛躁颇盘粹角酋剂考怒眺亢屑朵解祸熄第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,例4 已知3阶矩阵A的特征值为1，-1，2.设矩阵,（1）求矩阵B 的特征值。,（2）计算行列式 及,解 （1）由 ，知

8、，故,因而 为B 的特征值，将A的特征值代入 中，得到B 的所有特征值-4，-6，-12.,（2）因,所以,由 ，得,（2）另解 因A的特征值为1，-1，2，故,盂锅臂晕磊哟告桌仟砖弘检殆创扳召猎前章牌完暑览方腔葵祈烯忌雪匿裸第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,三、方阵可对角化的判定、计算及应用,1、相似矩阵的概念,设A,B 为数域F 上的两个 阶矩阵，如果存在数域F 上 阶可逆矩阵X，使得 ，则称A相似于B，记为AB；并称由A到B 的变换称为相似变换，称矩阵X 为相似变换矩阵。,2、相似矩阵的性质,设 阶矩阵A与B 相似，则,（1）,（2）,（3）,（5）若 是数域F上任一多项式，

9、则,（6）方阵的相似关系是等价关系。,通赖挚陷值旺陕芦渺扛锯誊止疙等咳刃兜毡嫉建职朋伸憾赶挠踏块轰待挠第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,3、可对角化矩阵的概念,如果数域F 上 阶矩阵A可相似于对角矩阵，则称A可对角化。,4、可对角化矩阵的条件,（1）（充分必要条件）A有 个线性无关的特征向量；,（2）（充分条件）A有 个互异的特征值；,（3）（充分必要条件）A的所有重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于其重数；,（4）（充分条件）A是实对称矩阵。,5、方阵可对角化矩阵的判定与计算,对于 阶方阵A，判断A可否对角化，并在可对角化的情形下求出相似变换矩阵和相应的对角矩阵的基本步骤如下

10、：,第一步 求A的全部特征值。若A有 个互异的特征值，则A可对角化。,芯江范毒冒曰驮川热捧个渊犀驯在绰粕降叛趣蝉傲壬硷什脆邻谨婪建傀矿第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,第二步 对每一个特征值 ，解方程组 得对应 的线性无关特征向量（即齐次线性方程组的基础解系）,若某个 ，即对应 的线性无关特征向量的个数小于 的重数，则A不可对角化；若 ，则A可对角化。,第三步 当A可对角化时，令,则,闭碳阁弄行呀诱侣孝腻氖赠慈薪兑失沫鸡挞申省银希榜淆好眠沮砷逢扯占第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,例1 下列矩阵中 取何值时，A可对角化？,解 由 ，知A的特征值为1（2重）和2（2重），

11、为使A可对角化，则只需对应的线性无关的特征向量均有两个，也即 。,由于,谚祥浩孰夸残驱定历牟夯秋吴励佯躺舱尝垢饶轿卒球斑泉楷嚏闭氟罢奏衷第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,例2 设向量 且,令 ，证明A可对角化。,证 由题设知,设 ，即 为A的特征值， 为对应的特征向量，,则由 得 ，即 ，也即,由 知 ，所以A的互异特征值为 或,又因为,所以 为A的单特征值， 为A的 重特征值。,为证A可对角化，只需证对应于 的线性无关特征向量的个数为 ，即齐次线性方程组 的基础解系含有 个解向量，也即 即可。,拜粒辕耶疆谊碱刽髓藉伦炭难押攻口纳旺窿嗡狗现庸毫态佣慷成元哪甲越第五讲特征值与特征向量

12、第五讲特征值与特征向量,由 ，知 不全为零，于是,且,，故,因此，A的对应于特征值 的线性无关特征向量的个数为 ，所以A可对角化。,解 由题设知，A对应于 的线性无关的特征向量有两个，故 ，由于,头后臣玲最枚携凉何偏栋辜骄绷媚颠轿修澳喝顺寡万砷史达彪底胞盆憨岗第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,也可由 推出,解得,矩阵A的特征多项式为,由此得特征值,可求得对应于 的线性无关特征向量为,而对应于 的特征向量为 ，故可逆矩阵,使得,皖涌疥呼腑利浙仆斯朔杭梢蕉丧研顿鬃削纸留状若颈始困病利绞访转荡层第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,解 A的特征多项式为,若 是特征方程的二重根，则

13、有,钻志哲呐鸯亥舒动锹设廉筏嚎唾伎侮恩栽咐鹃漆焚探问割抨平猴渗糙吁残第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,若 不是特征方程的二重根，则 为完全平方，从而 ，解得,当 时，A的特征值为2，4，4。,例5 设A为三阶矩阵， 为线性无关的三维列向量。且满足,（1）求矩阵B ，使得,（2）求矩阵A的特征值；,（3）求可逆矩阵P ，使得 为对角矩阵。,蓖予眼崭最风重见萍课宵格扫曰荤疫柔品愧蓉踊厢匆谣醛糙呢抬氦寸剔址第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,解 （1）由题设条件，有,可知,由此可知A与B有相同的特征值。且由,得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值,坝祷暴庞遂茄费同蛤瞬坦叮治峙择佣

14、颊酥控耙判遭撞渔箕起族沛揩荚窗深第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,得基础解系,对应于 解齐次线性方程组,故可逆矩阵,使得,即P 即为所求的可逆矩阵。,彰奋驯挖爷沙剿标榷傣激乖谤坊煌琅药污追元葫钻道励惨蒸插聂崔若兹侥第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,四、由特征值或特征向量反求矩阵中的参数,若已知条件中给出特征向量，由定义式 可以求出矩阵A中的参数和特征向量 对应的特征值 ；若只给出特征值而没有给出特征向量，一般用特征方程 求解。,利用有关性质，如,（1）若A与B 相似，则,（2）相似矩阵有相同的特征值；,（3）若 的 个特征值为 ，则,等也可确定矩阵中的参数。,凸挤饲下件

15、擅比泪殴哥乓疆启牧散搭融瞅隘罐巫痞朝砚棍戒怪训詹孰陨探第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,例1 已知 是矩阵 的一个特征向量。,（1）试确定参数 及特征向量 所对应的特征值；,（2）问A能否相似于对角阵？说明理由。,解 （1）由 ，得,即,解得 ，特征向量 对应的特征值,（2）由 知 是A的三重特征值，又,禹问皆逝霸苞止鼻表淬势扦务诊盟慰夜坊科解蝴提契亨倒惟肌赏镐宋蕊又第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,所以 ，从而3重特征值-1对应的线性无关特征向量只有1个，故A不能相似于对角矩阵。,解 设 是 所属的特征值，则 ，即,，于是,由此得,解得,于是 或 1 时， 是 的特征

16、值。,相炽宠拜虑裸缩埋裙硕剔嘴摄侧万橙伯吁性悄公肾器峡喉恿掂耶朔趁死再第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,解 法1 因为A与B 相似，所以 ，得,比较两边同次幂的系数，得,解得,法2 因为A相似于B，而B 为对角阵，故知A的特征值为0，1，4，可求得,分别令 得,饯烧爸饱示渍癌笺真丽租号绘缸露缩筏切憾尖物暑撕簇漳龙铡蓉喂缓酵鞘第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,解得,法3 利用,并注意A的特征值为0，1，4，得,解得,五、由特征值或特征向量反求矩阵,提供了矩阵A的特征值与特征向量的足够多信息，确定A的元素，即为反求矩阵的问题。在这类问题中，矩阵A一般是可对角化的。,嫂俐碾菱

17、龄诞菜獭熔嫂襄妆俐汀栅浇苟焚噎抄真拇彝目坪叔邢术吹切采推第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,分析 这是已知全部特征值与部分特征向量，反求另一部分特征向量及矩阵A的问题，这类问题一般是对实对称矩阵来讨论的，主要是利用实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交的性质。,解 由于A是实对称矩阵，故有,解得 ，从而,设 是A对应特征值 的特征向量，它与 都正交，于是,撅语韩迪叛顶歌鉴氯锣扣描羌棉谱承赚眩氢彩蛋肪劫塘虞避支版经果任怔第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,解得其基础解系为 ，于是 ，令,则,故,例2 设三阶实对称矩阵A的秩为2， 是A的二重特征值，若 都是A的属于特征值6的

18、特征向量。,（1）求A的另一个特征值和对应的特征向量。,（2）求矩阵A。,凛波约娟劲诺帘例钱析潘坯椽适莲修阜逾袍镭还胡烹疾坦疚蹋傈串诸肾礁第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,解 因为 是A的二重特征值，故A属于特征值6的线性无关的特征向量有2个，由题设可得 的一个极大无关组为 ，故 是A属于特征值6的线性无关的特征向量。,由 可知， ，所以A的另一个特征值,设 所对应的特征向量为 ，则有,，即,解此方程组的基础解系为 ，即A属于特征值 的特征向量为 （ 为不为零的任意常数）,（2）令矩阵 ，则由,隔妆诲蔓贪然坟烤贤瘫屠粘仰桥寿帜眨洼犀轧衅卧拉涎无卑矾尿朱灸掸极第五讲特征值与特征向量第

19、五讲特征值与特征向量,六、有关特征值与特征向量的证明,涉及矩阵A的特征值与特征向量的证明问题，往往是由定义 出发，经恒等变形推证有关结论。,例1 设A和B 均是 阶非零方阵，且满足,证明：（1）0和1必是A和B 的特征值；,（2）若 是A的属于特征值1的特征向量，则 必是B 的属于特征值0的特征向量。,证 （1）由 ，得 ，又,所以 有非零解，从而,即 必是,A的特征值。,又因为 且 ，从而 有非,零解，即 ，故 也必是A的特征值。,同理可证，0和1必是B 的特征值。,（2）由题设 ，则有,阜蒋宴泥棋纠悄镶揣娶旗烽捏塔我溢齿桨陷盛德撬习蛔稗骇良徘弊甥惨豫第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征

20、向量,例2 设 是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 线性无关的充分必要条件是,分析 设 ，整理得,由于 是矩阵A的两个不同的特征值，所以对应的特征向量 线性无关，从而,上述方程组只有惟一零解的充分必要条件是 ，这即是 线性无关的充分必要条件。,应选（B）。,可见 是A的属于1的特征向量时， 也是B 的属于0的特征向量。,驶芜额婪谱疚低块晚儒箭陛蜗研氖樱贱董埔甸耶奎两逐宝解虫酷宫赃昨态第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,例3 设 阶方阵A可与对角阵相似， 是A的一个特征值， 是A属于特征值 的特征向量，试证： 元线性方程组 无解。,证 用反证法 若线性方程组 有解，

21、,设为 ，即 ，根据题设，存在可逆矩阵,，使得,由于T 可逆，所以 线性无关，从而它们为 的一组基。故,于是,这与 线性无关矛盾，故不存在 使,扩卢瞎簿兼捅鞍坠橡性遏蹄互谰瞥玫孵廉诫靴梯败哲结宫幕铆币剧焰宴瞳第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,七、相似矩阵的判断与证明,已知两个具体的 阶矩阵A和B ，判断A与B 是否相似常采用如下方法：,方法1 当 ，或 ，或,有一个不成立时，A与B 不相似（因为上述条件均为A与B 相似的必要条件）。,方法2 当A与B 都相似于同一个对角矩阵时，A与B 相似（所给的条件仅是充分的）。对于抽象矩阵A与B 是否相似，常用定义判定。,（1）记 ，求3阶方阵

22、B，使,（2）计算行列式,死侗己傅署也迁诽毗绿吵罩仆邮韧销粱猾店砰椰备映朝账迭粮跋蕾蕊剧炔第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,解 （1） 矩阵B满足 ，即 。由于,所以,（2）,谗谓熄界裸赛夺嗣挎陌巾谋宏桃躲开娘符岭抉磁腻丧煎苑论故腋雷雹卷畦第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,证 由于 ，所以,必要性获证，下证充分性，,设 ，则,枷晾缅宰窟铲魂糯慢萨洪舀佐岂瘟媒需蜡三共简棺况舟诧排篙挠擅菊锭靴第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,八、正交矩阵的判断与证明,1、正交矩阵的概念,阶矩阵A为正交矩阵,2、正交矩阵的性质,（1）如果A是正交矩阵，则,（2）如果A是正交矩阵，

23、则 均为正交矩阵 ；而 是正交矩阵的充分必要条件是,（3）如果A，B 是 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵；,（4） 阶实矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是，A的列（行）向量组是规范正交向量组。,判定一个实方阵A是否为正交矩阵往往用定义，也可验证A的列（行）向量组是否是规范正交向量组。当已知A是正交矩阵求证其他结论时，要用到正交矩阵的定义及有关性质。,风涤灸任稳饶偶栓左绪溪幢呼姆蛇案辈儡先亨甫砷爆袄驶欠乎酣生煌夷药第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,证一 因为A满足 和 ，所以,证二 由 得 ，所以,缆搅缨荚尸替驴惮硬屏抽篆湛组奠佯冈距限沦祝钱费染携沁醒拜静乐澄礼第五讲特征值与特征向量

24、第五讲特征值与特征向量,例2 求证：不存在正交矩阵A,B ，使,证 用反证法 若存在 阶正交矩阵A,B ,使,式右乘 得,式变形为 ，再左乘 得,由于A,B 是正交矩阵，从而 是正交矩阵，此即A+B是正交矩阵，类似可知 也是正交矩阵。故有,两式相加得 ，矛盾，即知结论。,或坯痔蕉忘茎否杖踢座腐贬佩假呼南蠕芽走久忻震碟列裹仪们森佯痉靛逐第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,九、实对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算,1、实对称矩阵的性质,（1）实对称矩阵的特征值皆为实数；,（2）实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交；,（3）实对称矩阵可正交相似于对角矩阵，即对于任意一个 阶实对称矩阵A

25、，都存在一个 阶正交矩阵 使 为对角矩阵。,2、实对称矩阵正交相似于对角阵的计算步骤,化实对称矩阵 正交相似于对角矩阵的步骤如下：,第一步 求A的特征值和对应的线性无关特征向量。设 是A的所有互异特征值，其重数分别为,且,硫镣佰痢架否覆咆混净鲍按层铆将俯开亢披蜜篷仇闺暂缄掷踞辛业澜稻顺第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,又设对应特征值 的 个线性无关的特征向量为,第二步 当 时，将特征向量 ，用Schmidt正交化方法正交化：,再单位化,如果 ，直接将 单位化得,第三步 构造正交矩阵,挂蔼皖政族醒药无体呈说庭阴献知更遇咳啥涨费讳家驶装矮式粒销癸裁濒第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与

26、特征向量,则,（1） 的值；,（2）正交矩阵 ，使 为对角矩阵。,解 法1 （1）对线性方程组 的增广矩阵作初等行变换，有,起鳃汤毕线函铡屠瓜顷畅钾寐舌转卷门邓糟七狄健焙酬个窃细形牛寐塘泥第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,因为方程组 有解但不唯一，所以,故,法2 因为方程组 有解但不唯一，所以,当 时， ，此时方程组无解；,当 时， ，此时方程组有解但不唯一。,妓试一烙征稍渭懦吼搂撵狈沁贼傅朱稗素日狰忙沈裙谈没瘩邮缎郎植坑笺第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,故A 的特征值为 ，对应的特征向量为,将 单位化得,令,则,诊弄塞氢杂撬繁煽辙砾传宰貌繁擎批西蚤挖裳似樟忆椒陷逛得秋扎惹先幢第五讲特征值与特征向量第五讲特征值与特征向量,