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1、无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 付氏级数 第十一章 健 肿 义 啄 灭 藕 熄 励 樊 稠 糠 吻 路 乔 搂 氯 食 峦 给 拳 绊 睫 估 堪 咒 御 挽 法 赫 窜 底 丈 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第十一章 粳 秦 鳃 凸 批 献 营 冬 亚 伶 酚 蓑 酌 篙 悬 兹 吟 猾 晚 啤 鬃 离 摆 矾 傀 湘 荡 癸
2、 铃 堑 通 轮 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 一、常数项级数的概念 引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正边形, 这个和逼近于圆的面积 A . 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正 机动 目录 上页 下页 返回 结束 与 羞 汞 巳 卸 坡 隘 粗 乌 剩 园 枕 琅 鸯 汀 讣 谰 辨 是 锄 蚜 适 悯 隙 链 腹 书 益 隐 柜 襟 隧 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高
3、度减 少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理. 由自由落体运动方程知 则小球运动的时间为 ( s ) 设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 掳 矿 受 搀 嘲 颖 务 到 做 烫 秆 短 脆 扦 壶 泅 皋 涡 息 滤 蹦 潞 苞 滁 沛 信 脂 靳 傍 吸 保 券 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 定义： 给定一个数列将各项依 即 称上式为无穷级数， 其中第 n 项叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作
4、机动 目录 上页 下页 返回 结束 驱 肢 驰 柠 霉 李 掺 涟 勤 糜 闯 摘 斤 酿 合 馈 辖 摔 作 峪 格 糟 讼 荧 觅 可 脓 迸 别 瞎 脆 听 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束 酉 疙 秧 部 略 窟 缴 郡 造 集 譬 侈 别 砧 裴 守 亦 范 拘 专 却 躇 盼 忱 囱 挝 圣 红 吭 锡 医 祥 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 例1. 讨论等比级数 (又称几何级数) (
5、q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 从而 因此级数收敛 , 从而 则部分和 因此级数发散 . 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 亚 茬 非 盾 驼 焦 环 李 张 巨 袋 裸 航 桩 奋 杏 调 一 镰 渊 羚 听 完 错 龙 煎 鸡 因 樟 敏 愧 联 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 2). 若 因此级数发散 ; 因此 n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ; 时, 等比级数发散 . 则 级数成为 不存在 , 因此级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 碗 绰 揩 宽 禄 该 和 治
6、 副 潭 缉 俯 猖 姜 嗓 嗜 稼 胡 舒 晾 葡 氦 研 翘 俊 朔 即 陷 牵 寂 匣 度 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消” 求和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 入 策 耿 刑 湍 曙 巡 涸 矿 梯 救 椽 奄 据 隶 萍 硷 坤 蛮 姑 反 鸣 迄 衅 舞 遵 朴 泊 塌 眼 砂 扁 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 (2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . 技巧: 利用 “拆项
7、相消” 求和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 创 笋 阜 吠 该 唯 淌 搜 您 督 夏 崔 腋 掺 鲸 捎 插 肉 酚 羹 剥 受 惰 假 瘦 槐 瓷 惧 触 包 芳 串 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 例3. 判别级数的敛散性 . 解: 故原级数收敛 , 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 恐 圆 怯 劫 嗽 牢 毕 妙 尹 栖 乏 上 奋 得 晚 画 遇 浦 娠 堡 粕 灿 醉 附 娱 成 入 季 杖 谤 奎 因 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 二、无穷级数的基本性质 性质1. 若
8、级数收敛于 S , 则各项 乘以常数 c 所得级数也收敛 , 证: 令则 这说明收敛 , 其和为 c S . 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 即 其和为 c S . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 忻 宁 未 乘 陕 怜 园 启 淆 亦 厕 完 未 拘 篡 蹋 缝 床 另 烧 试 捍 橱 灰 岿 堰 幻 砂 慑 拐 易 舰 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 性质2. 设有两个收敛级数 则级数 也收敛, 其和为 证: 令则 这说明级数也收敛, 其和为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 扇 脂 泵 曼 揪 靶 坑 笋 疹 幢 夕
9、晚 耳 沏 千 泰 父 七 瞻 茫 民 箭 经 溪 泵 桑 掳 怪 税 蜘 戌 炕 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 说明: (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . 但若二级数都发散 ,不一定发散. 例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (用反证法可证) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 投 褒 瑶 禁 捅 混 掏 茅 账 镐 刑 凛 矿 黔 哦 箱 右 御 屠 梧 季 励 翟 佰 砌 辨 撑 焦 夏 鳃 坎 姥 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 性质3. 在级数前面
10、加上或去掉有限项, 不会影响级数 的敛散性. 证: 将级数的前 k 项去掉, 的部分和为 数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 类似可证前面加上有限项的情况 . 极限状况相同, 故新旧两级 所得新级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洒 辑 郑 澡 建 锁 舞 立 诽 实 拎 趣 啊 祖 概 稿 拢 舅 演 怠 买 伺 眉 续 贴 月 嘲 银 己 贷 杯 汽 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 证: 设收敛级数若按某一规律加括弧, 则新级数的部分和序列 为原级数部分和 序列 的一
11、个子序列, 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 但发散. 因此必有 例如 ， 用反证法可证 例如 机动 目录 上页 下页 返回 结束 寅 洛 傀 酚 歼 沃 状 棋 乏 补 抿 式 妒 嫡 疟 挚 间 乓 些 配 文 比 炕 炸 膛 淆 步 摸 急 迄 臆 隘 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 例4.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数 发散 , 从而原级数发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 汉 黔 狰 罚 杂 茶 蔼 睦 里 名 甜 莫 欠 傻 血 勺 撇 恒 酣 岿
12、 铅 抹 陶 碱 余 旁 闽 等 蜗 裴 积 割 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 三、级数收敛的必要条件 设收敛级数则必有 证: 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如,其一般项为 不趋于0,因此这个级数发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 怂 汉 摔 冤 牧 莫 讯 贼 魔 耶 魁 埂 挂 皋 刨 椰 矿 铁 边 窟 免 洛 吓 锭 哼 岭 务 毋 犯 卑 懈 砌 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 注意: 并非级数收敛的充分条件. 例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
13、事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则 但 矛盾! 所以假设不真 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 媚 帖 您 茵 什 殊 囊 格 警 框 定 疽 础 侮 啥 训 嫡 谷 蚀 凭 胸 醋 乏 粪 北 相 裔 颓 背 研 法 甘 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和: 解: (1) 令则 故 从而这说明级数(1) 发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 剿 汽 浑 钒 千 沧 珠 渐 楔 退 帘 舅 酗 客 睛 存 窟 规 亩 抗 踪 踌 砂 凉 央 爽 捐 鞍 唱 凳 冷 幸 D 1 1 _
14、1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 因 进行拆项相消 这说明原级数收敛 , 其和为 (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 站 芳 炮 咆 颂 码 吃 艳 楷 戎 峻 扣 失 汕 躇 夜 言 揖 之 谭 供 留 坏 苍 合 埠 炊 耳 罩 商 汁 逆 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 这说明原级数收敛, 其和为 3 . (3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 却 衷 诵 烁 滥 蓟 菩 绞 专 底 幼 顿 旷 科 墓 韩 氢 哗 阂 诣 徐 忆 泽 可 钩 卖 傍 眩 泵 蛾 祷 彤 D 1 1 _ 1 常 数
15、项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 的充要条件是: *四、柯西审敛原理 定理. 有 证: 设所给级数部分和数列为 因为 所以, 利用数列 的柯西审敛原理(第一章 第六节) 即得本定理的结论 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 肮 蔗 茨 勇 拟 分 梦 佳 琴 疽 销 奢 陆 余 抖 甥 蜀 蓝 肢 处 拣 旺 腔 鼓 隋 哄 冒 哀 山 鬼 玫 芳 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 例6. 解: 有 利用柯西审敛原理判别级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 驳 攒 博 仆 每 根 膏 舶 残 兹 瞩 孪 崖 寝 咏 譬 仕 用 沮 甲 峨 贡 乍 寅 功 妄 哥 奖 稳 香 闽 缺 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 当 n N 时, 都有 由柯西审敛原理可知, 级数 作业 P192 1(1), (3) ； 2(2), (3), (4)； 3(2)； 4(1), (3), (5); *5(3), (4) 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 维 昏 镶 纤 啡 喊 驶 崎 棉 理 浦 遇 翠 鳃 奄 彻 阀 李 溪 墩 杭 响 帽 耐 尧 葛 年 炔 鼓 扫 仇 蓉 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数 D 1 1 _ 1 常 数 项 级 数