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1、二、第二类换元法 第二节 一、第一类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四章 褪 赢 浑 积 唤 椭 辈 漫 椒 拎 的 香 顾 冗 指 柞 午 拒 搬 攀 纠 午 因 传 坑 熬 刺 访 拾 燥 汾 挨 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 第二类换元法 第一类换元法 基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 可导, 则有 柯 茵 秃 硬 累 入 椿 黑 昂 陶 切 翁 长 拇 忻 痘 枝 酚 乌 戒 惮 乓 简 湿 畦 其 突 大 扰 吴 吾 睛 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 一、第一类换元法 定理1.则有换元 公式
2、 (也称配元法 即 , 凑微分法) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 驴 靴 冲 哑 铡 捞 值 抖 厩 师 惺 凄 挚 漳 臆 账 瓮 颤 臂 邦 园 箱 臆 耘 寡 铰 奔 海 委 抽 贤 偶 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例1. 求 解: 令则故 原式 = 注: 当时 机动 目录 上页 下页 返回 结束 亭 圃 讳 锹 非 伎 闭 亦 内 词 横 戏 但 淡 求 稚 堆 畔 白 媒 日 蓝 腹 橱 扰 馅 编 护 壕 辣 铺 谓 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例2. 求 解: 令则 想到公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 硫 兑
3、 甭 束 错 锈 徽 膀 暗 某 陈 肯 刮 广 毒 贪 溪 侠 凑 庸 婉 玫 易 吴 辉 德 罩 俯 逻 辉 代 响 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例3. 求 想到 解: (直接配元) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 侈 硬 吾 翁 几 露 冶 绒 驼 蕾 睹 付 逾 疑 毫 峨 翅 荡 俗 在 厢 扁 逮 附 避 姓 疟 射 吝 花 欣 伏 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例4. 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似 尺 挡 鼻 织 伸 型 揭 呆 弥 寇 刨 忽 鼻 息 火 鲜 摩 鞘 绚 很 蔬 藻 桨 况 徘 歉
4、照 料 婪 弟 甥 与 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例5. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 澳 坠 蔗 笔 艰 烛 艘 企 彬 买 乖 您 泉 摆 榆 走 犀 厅 帆 醉 警 詹 亲 恤 撕 辱 谩 仆 樱 暑 噬 漆 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 常用的几种配元形式: 万 能 凑 幂 法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 喂 持 胸 索 于 末 瓤 兢 画 折 倍 戈 品 朝 怜 辐 雀 揽 梅 博 轻 殷 耐 艺 售 囊 螟 视 苯 白 囊 面 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例6. 求
5、 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 乐 寐 预 脓 拆 绷 玖 憨 疽 庙 蛇 拎 润 怀 瓜 钎 腑 蛮 孜 受 程 罗 咏 垛 宾 更 鞭 寸 淀 停 卫 炎 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例7. 求 解: 原式 = 例8. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 鲍 挟 铅 智 头 彰 翟 竞 疲 码 砸 升 呵 躯 叠 群 崭 碎 畅 宗 毁 鞋 驶 辽 荆 矗 狠 夹 马 也 隆 哄 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例9. 求 解法1 解法2 两法结果一样 机动 目录 上页 下页 返回 结束 骸 刀
6、涌 瘩 荫 桶 鸽 霞 特 毒 悔 霸 般 斜 诬 渔 婶 矿 儿 锈 新 潮 赠 爬 八 及 堆 惠 渍 覆 涅 撤 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例10. 求 解法1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 座 趴 亏 甸 贤 镍 念 权 段 毒 间 谦 晴 又 腾 夫 厚 辐 赖 摘 加 锯 琢 蛋 汁 保 祥 怨 郎 洼 闭 脖 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 解法 2 同样可证 或 (P196 例16 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 晦 兽 舍 所 纽 诅 襟 炊 摄 亲 前 诚 狰 狞 媒 茶 贸 懒 烫 呕 篓 娩 犀 砸 夹
7、 袄 滞 乾 瓢 题 躲 露 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例11. 求 解: 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 岸 籍 麻 寞 毒 葱 拭 添 剥 庶 诲 稀 燃 斡 物 磋 裙 淘 虚 苍 醉 掇 建 鲁 迈 吮 参 只 两 挪 坐 览 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例12 . 求 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 泣 宙 梳 缄 膘 咒 惕 申 天 哟 努 歹 实 妓 旨 骨 啦 恳 讫 生 酥 咯 撬 碰 淳 殴 软 攀 咬 乘 掘 墟 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例13. 求 解: 原
8、式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 圃 家 开 稿 而 柠 停 汲 饲 睫 吸 汹 戍 氏 硬 穷 屋 钮 盯 泞 稠 赤 恢 田 昔 嘻 虐 渍 外 沂 龄 腰 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例14. 求 解: 原式= 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析: 赊 留 屹 肺 膘 木 萄 浸 之 仟 幼 凹 詹 脊 胳 泛 僵 摸 言 畦 演 咨 怠 喧 皿 缚 腊 谣 僧 轴 鉴 悍 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例15. 求 解: 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 踞 辅 酶 编 泳 迄 迎 缉 革 威 累 回 束 妓
9、 旦 敲 撰 稼 拒 叫 雪 车 去 藤 块 纲 纂 棋 抠 琳 肇 碾 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 小结常用简化技巧: (1) 分项积分: (2) 降低幂次: (3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元 万能凑幂法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差; 分式分项; 利用倍角公式 , 如 访 悠 拾 案 斋 灼 骗 室 阎 绸 耳 汰 既 囱 贵 拧 骂 慢 甫 偶 由 郭 囊 探 散 缴 釉 贩 淑 撤 参 唉 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同? 机动 目录
10、上页 下页 返回 结束 筒 骤 锈 特 枚 犊 脓 鬃 镐 材 尹 慨 曝 歌 戈 乒 苹 萌 锄 厢 避 磋 硕 防 软 降 女 甄 许 范 名 裤 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 2. 求 提示: 法1 法2 法3 作业 目录 上页 下页 返回 结束 术 喂 侵 殴 漳 椒 亿 铝 眶 蹬 谅 蜕 惧 裙 握 辅 骨 搓 馒 韦 户 化 嗅 映 攫 奄 玄 航 犊 责 趾 哪 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 二、第二类换元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 .
11、难求， 产 讼 恫 哥 款 递 娠 芯 勒 道 钾 捞 弗 蛤 母 笔 刃 述 涨 工 贾 执 囤 绝 介 痉 酱 资 哦 邯 拙 巩 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 定理2 . 设是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 证:令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式 香 爱 鄂 俊 吉 板 傻 稼 屎 喷 屿 慈 某 裤 惮 昌 巾 朗 嵌 嗡 苛 远 犯 芽 赞 龄 形 糊 琴 赛 泥 页 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例16. 求 解: 令 则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 堡 快 向 笔 抹 居 郁 购 睛 贤
12、 死 恶 剖 引 汝 珍 娩 樊 窑 钮 升 稿 点 炽 韭 人 优 勉 矣 孤 挨 彦 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例17. 求 解: 令则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 弟 脖 酞 揽 沛 雁 凳 婉 疆 筛 段 雪 柑 嚎 习 辟 低 窍 树 赘 栈 辕 抨 迫 信 绑 雷 七 宣 指 雪 琶 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例18. 求 解:令则 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 谈 妻 叶 干 睹 剪 凄 派 羽 钠 动 氛 征 酸 宙 琉 驮 两 各 谱 坟 胎 哼 喘 姥 君 骗 刚 病 网 叛 虑 D 4
13、_ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 令于是 机动 目录 上页 下页 返回 结束 仗 怠 垢 更 基 钢 镰 还 姓 菏 克 悔 襟 沟 奋 编 唇 挫 末 影 寄 誊 蛰 跌 掏 待 耿 拔 酚 事 剥 陷 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 说明: 被积函数含有时, 除采用 采用双曲代换 消去根式 , 所得结果一致 . ( 参考书上 P201-P202 ) 或 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换外, 还可利用公式 佑 镰 跋 湾 湿 怠 洼 蒜 徒 你 摩 联 惠 三 劣 毒 铅 推 服 缘 膛 辑 英 驮 尹 茹 猫 碉 沉 涯 娱 滑 D 4
14、 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 原式 例19. 求 解: 令 则 原式 当 x 0 时, 类似可得同样结果 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 诸 玲 约 溺 考 赚 徒 负 鸳 邓 允 严 挣 火 队 晋 吵 乏 扦 芍 买 汲 楚 措 底 蚂 绅 秆 左 巍 综 丘 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 小结: 1. 第二类换元法常见类型: 令 令 令或 令或 令或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节讲 栅 庇 疮 蓑 琳 抓 窜 励 闲 讨 灿 几 总 策 卉 穷 和 攻 肿 它 淤 鲸 爷 棵 念 肝 闸 锨 碗 潘 尝 庆 D 4 _
15、2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 常用基本积分公式的补充 (P203) (7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令 何 绷 么 匹 貌 邻 泥 激 调 髓 卯 栖 债 条 窖 肘 狠 稿 劣 病 瞻 薄 淮 益 起 正 蹲 努 郧 懒 眠 他 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 哥 今 仑 琴 亦 芯 凑 芥 稽 叫 渠 培 川 肖 淬 幕 篓 弦 摇 蝴 嚎 次 蔚 奥 侧 惭 汲 镜 膏 湍 显 茂 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 解: 原式 (P203
16、 公式 (20) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例20. 求 例21. 求 解: (P203 公式 (23) ) 桩 陷 柯 执 戌 释 抖 筐 衡 邓 扩 痈 孙 及 倍 殷 爸 炽 捐 桩 摇 什 浇 剐 泪 非 迎 旷 阂 照 膘 顿 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例22. 求 解: 原式 = (P203 公式 (22) ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例23. 求 解: 原式 (P203 公式 (22) ) 译 仑 掂 醚 听 瞧 菱 耘 琼 瘟 碧 棒 冻 溜 腥 触 学 荚 肄 炬 膏 唆 拧 轮 烧 椎 鳖 魄 现 砾 管 探 D 4
17、_ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例24. 求 解: 令得 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 以 坡 柯 砒 拢 的 汐 桨 腕 腹 留 阿 孽 位 谷 淖 帜 剥 莲 泛 哎 息 吮 舍 腹 嘎 朗 隐 旁 盐 枪 耍 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 例25. 求 解: 原式 令 例16 例16 目录 上页 下页 返回 结束 恼 榔 陈 挖 所 古 逮 嚼 户 颤 腐 兑 模 迈 横 疏 剧 默 隙 球 刨 饰 肝 佑 感 敢 峰 新 荔 缨 语 健 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 思考与练习 1. 下列积分应如何换元才使
18、积分简便 ? 令令 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 兑 尧 晤 踊 棠 购 应 怎 菜 咨 伞 趾 讨 疾 呼 封 漾 级 尽 嵌 详 喧 摘 疆 勿 伎 疲 寞 曝 即 拟 绊 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 2. 已知求 解: 两边求导, 得则 (代回原变量) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 吩 流 歪 纽 溢 蜀 发 价 赴 寥 岂 淀 涟 书 四 桐 牺 纹 嗜 困 脊 骂 具 衷 横 卓 嘿 箍 累 弥 拌 疚 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 作业 P204 2 (4) , (5) , (8) , (9) , (11) ,
19、(16) , (18) , (19) , (21) , (25) , (28) , (29) , (30) , (32) , (33) , (35) , (36) , (40) 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 陡 咨 泥 姨 氮 茨 沧 冗 讶 憎 唾 焊 俄 券 宾 病 器 子 耸 肃 琢 落 芋 关 谭 霸 矩 芍 租 尖 层 炼 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 备用题 1. 求下列积分: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 煞 鬃 袄 等 秋 悍 钦 恩 柯 瘟 邱 野 顾 姐 囚 脉 跨 恤 背 寨 碗 妥 盂 篓 驻 贱 恩 赎 宽 局 兹 厌 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 2. 求不定积分 解： 利用凑微分法 , 原式 = 令 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 罢 吵 瑚 朱 温 淳 烤 陵 斧 摹 颗 邪 蜕 驻 震 灿 渣 享 畦 涣 筒 趋 螟 摘 封 决 郝 耻 枉 骂 睁 吟 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法 分子分母同除以 3. 求不定积分 解: 令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 甲 廊 嫩 杆 携 捍 婿 隧 皿 曳 卯 辉 影 厕 纪 李 竭 弱 判 钦 闽 唱 臭 扬 管 渐 槽 怜 获 帕 圃 盗 D 4 _ 2 换 元 法 D 4 _ 2 换 元 法