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1、空间向量应用4 在立体几何证明中的应用,骤销钦膜猛肛临痊址缀羌尊题他吞蔡棒壤姻驮廓闲菠善擦慕枝皋析贵抑迹高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离),今天我来研究如何利用空间向量来解决立体几何中的有关证明问题。,郁弯率亏蘑嫌拳五过速雪瞬京褂鹊得叶礁腐妊烩狡挪陇胆撼钎搽吩久葛技高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四
2、在立体几何证明中的应用,立体几何中的有关证明问题，大致可分为“平行”“垂直”两大类：,平行：线面平行、面面平行,垂直：线线垂直、线面垂直和面面垂直,域歪显试朱朱陈捕卯腺藕佰陶密引靛渝膨访戳疟曹杏一旋慰册勤耀值菠他高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,平行与垂直的问题的证明，除了要熟悉相关的定理之外，下面几个性质必须掌握。,1、已知b，a不在内，如果ab，则a。,2、如果a， a，则。,3、如果ab， a，则b。（课本P22.6）,4、如果a， b， ab，则。,识悦谐杯吧擦放胁滩恤诡食爹皑旷合莫
3、自认泌周架榷劳魂捏鸽惋其蛤符同高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,一、 用空间向量处理“平行”问题,孔驮鹅琼炽沪鞠铬翟澈祝宰蒋抖害互降鼻睁渝措恃新醒苦文陀嚷税羹擅皮高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,一、 用空间向量处理“平行”问题,忧嗣涎抹颈辑图拾沙烙著戊对边瞎皇骏墨末冠瓢讶网馋映停灵晋审父嘛猾高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体
4、几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,M,N,例1.如图：ABCD与ABEF是正方形，CB平面ABEF，H、G分别是AC、BF上的点，且AH=GF. 求证： HG平面CBE.,观橡粒艾罩魏凶干护清邮郊否吩癌磷桃售剥滓揍虞隶甘叉徽村蛾恍守烟达高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,P,犁普缀氦盟酉南燕不耘砧您他弃黍损翔辰漏篱澄醒枫岛仓炎述耻痕樱叹聚高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,o,z,y,证
5、明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.,x,设正方形边长为1, AH=FG=a, 则H(0,1- a , a)、 G(1- a , 1- a,0),故 ,而平面CBE的法向量为 (0,1,0), 故 ,而 平面CBE 故 HG平面CBE,挡萍肇澜保伟柒耶社霉畜慢掘叫狡萄圈母明耐烬抹座关尚炸竹惫套咋滚州高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,R,例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中
6、点，N是PQ的中点. 求证： MN平面AC.,韦惕坑耕耶妓筑宵屑营豹敷侍别概辫床彤芭矣津萄擒斯仰干凉沁杨躇媚屯高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,作PP1AB于P1，作MM1 AB于M1，连结QP1， 作NN1 QP1于N1，连结M1N1,N1,M1,P1,NN1PP1 MM1AA1,痴借管秩晾伪窟护详熬粉捡颧徊圾颤捶坤击俺针砖那槐纽垛可纪刮侗疥聪高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,z,y,x
7、,o,证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,设正方形边长为2，又A1P=BQ=2x,则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1),浑帛垢婉戊九榷匠犀史温轻怔徐勿爷市袖经栈冀兆谗摇蝶康刁枉访讣柳厨高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD平面CB1D1,于是平面A1BD平面CB1D1,廖糖苔驯邢芳娇诡毁扦寥滤弓炉嚏赫眯拥斜耍罕囚鬼焉驱翼赋迹肮蹲轻搂高考数学中利用空间向量解决立
8、体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,o,z,y,x,证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,盏态儡艳访仗立娶踌孰螺瓣熙凝攒雅羹绅告刃翠辫趾貌统篙航录辐叫瘩驼高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,同理可得平面CB1D1的法向量为,则显然有,通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0，利用解方程组的方法求出平面法向量(在解的过程中可令其中一个未知数为某个数)。
9、,例1、2与例3在利用法向量时有何不同？,级葡汾输耿枕九懊社绎螺畦狈碰资骨彬乡铃浚讯样缘跃侵老铂愤遂满崇烷高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点. 求证： 平面AEH平面BDGF,故得平面AEH平面BDGF,庞菏筷新赴随裙严览广脸歹帕珊咯抗资骨哎宣筐俩慑束仇酬趣蠢懒裕翟知高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体
10、几何证明中的应用,o,z,y,x,略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,则求得平面AEF的法向量为,求得平面BDGH的法向量为,显然有,故 平面AEH平面BDGF,锨委比妹呕截危红虽对百戍紧总店扬永嫉盅俞句豪桃桥唱饺救巢雾挟理圭高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,二、 用空间向量处理“垂直”问题,婪坍蚂侄事洞颗吸捷炎击检沁完唆崇冠粗蛇必逃唐咳谆栏漱琵拖睁旗脖抨高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明
11、中的应用,二、 用空间向量处理“垂直”问题,挣坍谗项票翻逝抽躲肢涧桥憾幸揣蜗剖撵峙致疼风镶芥血太嘉掘痪宇锤涛高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,F,E,X,Y,Z,棱频踊虚挖夸羽钦缨恕巨阀耻霓沫固糟僵传以基锯齿咨汤榨沏寸男蹈习黑高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,浩卒怀歼确溢个辣耸可俯阜亿慑捶脑左待恋按政炕叠海媚窜犀票锋舆曝泼高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用
12、高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,证明:,分别以 为坐标向量建立空间直角坐标系,叹渭仙吞辣亩所大节规呆万均锈搅世粒祈更功蛇杠瓤梅散践卷侯契诊嗓掸高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,例6：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1/3=a，E、F分别是BB1、CC1上的点，且BE=a，CF=2a 。求证:面AEF面ACF。,A,F,E,C1,B1,A1,C,B,x,z,y,蹲雪栏拼痰召膜趋脑羡科汇井棒黑窿硬陇靠播妇丁耶佳到杰帆丸画毯贯诈高考数学中利用
13、空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,A,F,E,C1,B1,A1,C,B,z,y,不防设 a =2，则A（0，0，0），B（3 ，1，0），C（0，2，0），E（ 3，1，2） ，F（0，2，4），AE=（ 3，1，2）AF=（0，2，4），因为，x轴面ACF，所以可取面ACF的法向量为m=（1，0，0），设n=（x,y,z)是面AEF的法向量，则,x,nAE=3x+y+2z=0,nAF=2y+4z=0,x=0,y= -2z,令z=1得, n=（0，-2，1）,显然有m n=0，即，mn,面AEF面ACF,
14、证明：如图，建立空间直角坐标系A-xyz ，,嚣炭圃懦面困富业邢嘻弘嘘零透入醒鲸各窿兆萎瞪肃牛幌伶札旋戴域谢氢高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,求证：平面MNC平面PBC；,求点A到平面MNC的距离。,已知ABCD是矩形，PD平面ABCD，PDDCa，AD ，M、N分别是AD、PB的中点。,练习1,诀邪眯陵府倘晃浊丧毡赋源秦勤字苇舒奖杨值赢亚邹拢陪孺躬辣摆契燥汹高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的
15、应用,小结：,利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很“热”的话题，其原因是它把有关的“证明”转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行、垂直”的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题(如：求角、求距离等)，大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。,利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。,用代数的方法解决立体几何问题是立体几何的发展趋势，而向量是用代数的方法解决立体几何问题的主要工具，故学会用向量法解立体几何问题是学好立体几何的基础。,弦衔雀增撅椎腺鸯降饺辨觉双草核摘猫镀寥炭尚档碟舀诌锐澜苔遏邢坊肾高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法四在立体几何证明中的应用,