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1、第一节 常数项级数的概念与性质 一、常数项级数的概念 二、常数项级数的性质 募 痒 乞 娱 情 绝 疏 肆 婪 教 坦 胃 辟 漱 撕 喻 快 寻 簿 扩 涵 踌 忌 烦 旨 普 境 焦 刨 欲 铬 尘 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 一、常数项级数的概念 1、定义 给定一个无穷数列 ，则由这个数 列构成的表达式 称为常数项无穷级数，简称级数，记作 ，即 其中第 项 称为级数的一般项。 可从极限思想出发来理解无穷多个数相加的含义。 铀 篷 找 哗 迅 肛 耳 召 浪 逼 炭 撇 轮
2、赏 浪 颐 碴 则 恿 喝 疤 瞳 卒 醋 始 畦 亦 戎 勇 柯 屿 誓 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 2、级数的收敛和发散 定义1：作级数 的前 项和 称其为级数 的部分和。显然，可得到一个新数列 ，称为级数 的部分和数列。 定义2：如果级数的部分和数列的极限存在为S， 即，则称级数收敛，此时称S为该级数的和， 记为 如果部分和数列的极限不存在，则称级数发散。 匡 拍 宝 苔 粉 扛 鞘 枫 楼 协 荧 哪 妨 仔 主 拇 下 童 逛 期 窍 欠 宦 兹 多 玉 坝 霉 疆 羔
3、 潮 春 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 定义3：当级数 收敛时，其部分和Sn是级 数的和S的近似值，它们的差 称为级数的余项。 例1 判断几何级数（等比级数） 的敛散性 （常数 是公比）。 解：首先考虑 的情形，此时 如果则 此时级数收敛，且 潮 露 踏 苗 贸 牌 藕 愁 疽 竞 边 腹 彝 穴 尿 徘 烤 但 早 同 樊 卷 专 苔 材 荚 酗 谷 妆 径 盖 观 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概
4、 念 与 质 教 学 课 件 如果 ，则 ，故级数发散。 如果 ，当 时 此时级数发散。 当 时 当 时，Sn的极限不存在，故级数发散。 综上， 几何级数 当 时收敛，其和为 ；当 时，级数发散。 十 岸 谍 折 戏 臭 寂 弘 伍 碑 泣 钦 蹭 点 啃 躁 藻 叼 诚 鸳 玲 沃 吐 醋 灾 檬 卡 册 潘 度 业 够 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 例2 判断级数 的敛散性。 解：由于因此部分和 从而所以级数收敛于1。 例3 判断级数 的敛散性。 解：级数的部分和为 冀 自 谷
5、 坦 邀 蓑 福 袖 仍 享 蓖 里 侍 慧 叫 付 峦 顾 坑 较 业 乔 砍 乱 墒 薪 狼 吼 赢 躁 川 樟 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 所以此级数发散。 二、常数项级数的性质 性质1 如果 和 是两个收敛级数，则级数 也收敛，且有 性质2 如果级数 收敛，则对任意常数C， 级数 也收敛，且有 翁 梨 下 涧 讣 朱 誉 绿 族 罪 缩 啸 钙 贫 烧 娟 桓 树 箱 位 寸 超 滤 拄 耸 下 偿 绅 拭 拍 汐 赁 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与
6、质 教 学 课 件 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 性质3 在级数中去掉或增加有限项，不改变其 敛散性。 性质4 在收敛级数的项中任意加括号后所得级 数仍收敛，且与原级数的和相同。 注意：加括号后的级数收敛，原级数不一定收敛 如级数 发散，但加括号后的级数 收敛；不过，若加括号后的级数发散，则原级数一 定发散。 性质5（级数收敛的必要条件） 如果级数 收敛，则 毡 能 接 屎 般 嚣 嗅 氰 拎 挪 微 朔 褥 荷 纺 摸 际 坊 湛 虐 窝 脚 恒 丙 翔 宅 聘 遇 煤 币 悍 齿 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 一般项的极限为零仅是级数收敛的必要但非充 分条件。可考察级数 例4 判断级数 的敛散性。 解：因为 所以级数 发散。 闺 陕 媒 勋 茨 拦 思 遵 谓 噬 谅 捆 萍 线 虎 右 菱 锻 册 峦 诊 俺 衍 勾 画 嘻 禽 阁 局 写 暖 歇 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件 第 一 部 分 常 数 项 级 数 的 概 念 与 质 教 学 课 件