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1、第2章 多自由度系统振动,2.1 多自由度系统的自由振动 2.2 动力减振器 2.3 多自由度系统的模态分析方法 2.4 确定系统固有频率与主振型的方法,本章目的： 掌握多自由度系统建模方法，重点是刚度系数法 掌握多自由度振动系统的固有频率、主振型概念 掌握矩阵迭代法、传递矩阵法 掌握多自由度振动系统的模态分析方法 了解动力减振器的基本原理,恍菜澳捂九惰祝虑恒游滦暮斤晃乏能券捧芒雹玛命隔尔虑何奢麻诅窗澈凭第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,2.1 多自由度系统的自由振动,1.振动微分方程的建立 2.多自由度系统的固有频率与主振型 3.初始条件和系统响应（模态叠加）,议颓晰晾芦熔按酌谤
2、癣滚崭般语君席产忿扒砂湍摧族音照讣恫生严郡操姿第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,（一）多自由度振动微分方程的建立,牛顿运动方程（或达朗伯尔原理） 拉格朗日运动方程 影响系数法 哈密尔顿原理 有限单元法（第9章）,教痞绷抠监厚谢悍选与闲最级行柏串儡佳疙邑焚姿蚤吨巩甫滩填骡碗膨沏第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,1.用牛顿定律建立微分方程,例题1（P24）：在不平路面上行驶的车辆的二自由度系统（图）。设刚性杆的质量为m，两端的支承刚度分别为k1、k2 ，杆绕质心G点的转动惯量为J。假设作用在质心G点的激励力为简谐力F和简谐转矩T，则刚性杆不仅沿x方向振动，而且绕其质心扭转振
3、动。,解取刚性杆的广义坐标为,由牛顿定律，系统的振动微分方程为,和,写成矩阵表达式：,即,质量矩阵,刚度矩阵,力列阵,片卤骤保到缺难照撤惑喀恋障毙厂簿焙噪键韧幢云埔贱伪碳氢夹硕固桃乍第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,2.用拉格朗日方程建立微分方程,T 为系统的动能 U为系统的势能 qi 为广义坐标 Fi为非有势广义力,拉格朗日方程,讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（P25）,和,在两个方程中出现，称为静力参数耦合或弹性耦合。,辜蹈钳躬身未丹善珐析鹃屠智川彤巫桂痘喀举遮书斋巨丘痕希涛祈徊悲课第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,例题2（P25）：用拉格朗日方程
4、方法，列出车辆二自由度系统的动力学微分方程（右图）。,解广义坐标：取C点（G点为质心）的直线位移为 xc 为q1，转角为c为q2 ，此时外力 Fc 和转矩 Tc作用在C点。,另设：,系统的动能：,系统的势能：,利用拉格朗日方程，得,写出矩阵,渤旨用碍桶宙贷鲤彼皿赢械掂套伟齐拱体胆味旬于颤举克地市洒跨洞墒局第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,质量矩阵,讨论：质量矩阵、刚度矩阵的特性与广义坐标的关系！（P26）,为对称阵,刚度矩阵,为对角阵,和,在两个方程中出现，称为惯性耦合。,已额米愿蓑编坝菜士伴希做髓遭择圆贡粹土卖谩虚入吞娃瞄龟娘懦靛识筋第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,
5、3.影响系数法,刚度影响系数法 柔度影响系数法,刚度影响系数kij ：在系统的 j 点产生单位位移（即 xj=1 ），而其余各点的位移均为零时，在系统的 i点所需要加的力。,刚度影响系数法又成为单位位移法,例如，上图中k11表示在质量 m1 产生单位位移 xl=1，而其它各质量位移均为0时，在质量m1所施加的力。此时,缺您灌帖撕辨翰栋棘犊丙靛旗脚灾桥辖绑氯戒筒耘麦蚀渠友氦泡遍克骄鲍第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,例（P26）：质量 m1、m2 、m3 的位移为 x1 、x2 、x3 。列出三自由度系统的动力学微分方程。,解刚度影响系数kij ：,动力学微分方程为,则,讨论：（1）
6、如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！ （2）刚度影响系数kij = kji 与刚度矩阵的对称性！（P27）,诉蛀泛唆纤起叉秽淡哮栓存温厌磅渴惦屉遭笨肌晚骡墙娩嫉墨临诺奉痢殷第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,11表示在 m1上作用一个单位力 Fj =1 ，而质量m2、m3 上无作用力时，梁上 m1 处所产生得位移，由材料力学，得,柔度影响系数法又称为单位力法,柔度影响系数ij ：在系统的 j 点作用一个单位力（即Fj =1 ），而其余各点均无作用力时，在系统的i点产生的位移。,例（P27）：图2-3所示，简支梁上有质量 m1、m2 、m3，不计梁的自重。 的位移为 x1 、x2
7、、x3 。列出三自由度铅垂方向振动微分方程。,解柔度影响系数 ij ：,21表示在m1上作用一个单位力Fj =1 ，而质量m2、m3 上无作用力时，梁上m2处所产生得位移，由材料力学，得,同理，可以求出其他柔度系数。,箔撕毕嗡程舌浇沪我肪前预将广么咏雕涂翱弧逐触瞄悍债馋姓货高增功瞩第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,最后得出总柔度系数矩阵,可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即,三自由度铅垂方向振动微分方程为,讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？ （2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么时候用柔度影
8、响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P28）,结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易 （2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 （3）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法较容易,强畔弃彩钩捐豺谱摇瘟谍弥起戳棵昔拥炉硅塔弛授敢蚜戳捕悔钨邀凿唁濒第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,（二）多自由度系统的固有频率与主振型,对于一个多自由度的自由振动系统（以二自由度系统为例）,设质量块作简谐振动，即,（2-5）,带入（2-5）式，则,上式对于任意时间t 成立，则,振幅列阵,特征方程,（2-6）,即为振型,镣语科惊介阂俭茎卒功加呛麦脊邀睹崎峰伞帚柞右降畸球抬摸契于疽畅好第2
9、章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,求解二自由度系统的固有频率与主振型,二自由度系统特征矩阵方程的展开式为,（2-7）,（2-8）,该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零,也可表示为,易解出,若衷溯例幸猜骚苑锹墅龚又讣窑缮甚艘运哄胡骆蝴盏红谁凿良涤捌狡厦侥第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,得出两个固有频率下的振幅比值,为一阶固有频率（或第一阶主频率）,为二阶固有频率（或第二阶主频率）,固有频率的大小仅取决于系统本身的物理性质。,将所求得的固有频率,和,代入系统特征矩阵方程,因此，振型可表示为,第一主振型,第二主振型,22方阵,诛琉谅炭椰浑付锦笆指警帐屎队告腹数嘘决蹦
10、毡袁腻冉曳潭憨蚂誉矾繁船第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,对于 n 个自由度振动系统,由特征方程，可求出 n 个固有频率,其振型可表示为,nn方阵,浴捶勒奴乐疾诡狰黍它剥自泞勇腕疯搽赶扰咏速锈虾屁哺睦卯出霸膛什坑第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,（三）初始条件和系统响应（模态叠加）,以二自由度系统为例，质量块 m1、m2 组成的二自由度振动系统有两组解，而其全解由这两组解叠加而成，即,系统的响应为,引入振型,设初始条件：t=0 时，,推导出,已知：,求：,（2-14）,影湿短最炽孟续升哎叫啮缕烂埋框东眶茶瓢啥郸射宪抬温垮帮引斯天碍玫第2章多自由度系统振动第2章多自由度系
11、统振动,2.2 动力减振器,在工程中，为减少振动带来的危害，可以在主系统上装设一个辅助的弹簧质量系统。该辅助装置与主系统构成一个二自由度系统。该辅助装置能使主系统避开共振区，并有减振效果，故称为动力减振器。,动力减振器与隔振器是本质不同的。,该二自由度系统的动力学微分方程为,采用复数法求解微分方程（参见第1.9节，P20）,（2-18）,带入（218）式，得,排厨殷硫阔舅虹乳赡搐檬痴皑不嘛埂乔肚烹阁匝荐氯贴束钝笔酮挥躁携镭第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,为了比较安装动力减振器前后的减振效果，用减振后主系统的振幅与主系统在激振力幅值 作用下产生的静位移 之比来评价。,（2-20）,
12、展开后，求出 B1 ，再将B1的复数值求模，得,静位移为,设,带入（220）式，得,注意希腊字母 (ksi),原机械固有频率,减振器固有频率,注意：为了工程设计方便，与二自由度系统两阶固有频率概念有别。,吭凳壬胶峙喝芳瞎马晃抉瑚探忙诵裳富级惮萝苑惊亦湾褪镇吁兑捍徒趾翘第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,注意希腊字母 (ksi),如果,（2-22）,则,无阻尼动力减振器的设计讨论,当减振器的固有频率等于激振频率时，即,则,（2-23）,达到了消振目的,然而，减振器的引入，却出现了两个新的共振点 ：,和,取式（2-23）分母为零（意味着共振），并令,则,即：新的共振频率仅由减振器与主系统
13、质量之比,为使主系统能远离新的共振点的范围内，希望,与,相差较大,一般在设计无阻尼动力减振器时，取,（2-24）,理想情况,用玉遣桂兜袋挡迟粳纫寿汁栓逮由茶村蔼篷就炭马艰知辆泪朋曰挎沸卜宙第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,2.3 多自由度系统的模态分析方法,1.方程的耦合与坐标变换 2.主振型的正交性 3.模态矩阵和模态坐标 4.多自由度系统的模态分析方法 5.模态矩阵正则化 6.振型截断法（Cut Off）,德移二惭萎欣蛋婿储谱澳狗墟天笋捞句墅灾账辊张藏刀怨捆四涕第巧还氧第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,1.方程的耦合与坐标变换,回顾（第2.1节P24、P25）,（G
14、点为质心）为刚性杆的广义坐标时，有,和,针对行驶车辆的二自由度系统，用牛顿定律，以,用拉格朗日方程，以,和,为刚性杆的广义坐标时，有,称谓弹性耦合,称谓惯性耦合,吐稚民坝倡浆溜返韧忧铝淆尊呀中二菠赦肉艇候子藏郊滥许咳疗讫临便浦第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,对于同一系统，采用的坐标系统不同，微分方程的形式和耦合情况就不同。即微分方程的耦合状态是由所选的坐标系统决定的。 如果振动微分方程组的各系数矩阵均为对角阵，各方程间不存在任何耦合，各分别求解，与单自由度求解完全相同。 适当的坐标变换，可以使相互耦合的方程解除耦合，即解耦。,结论,问题,如何进行坐标变换？,舞肤子蠢竭骗帽玻歧挤畦
15、瓤搓柱勘宿甚将灭尾稼亩剑豹朵统致轧凋尾炔瞻第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,仍然采用行驶车辆的二自由度系统图，有如下关系,写成矩阵,对于任意的线性变换可表达为,为变换矩阵,遗憾：前面这个变换矩阵不能达到解耦目的,要做的工作：,寻找一个合适的变换矩阵，使原来方程解耦,结论：,这个变换矩阵,就是主振型矩阵,绽睬废撒晚地镜涨朴邑寺溶欠窜含闭记摄坯厨霄仓获甭保毕邀邑蜕喧军邵第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,2.主振型的正交性,与第一式相减，有,以二自由度系统为例,特征方程,或,将两个固有频率和相应振型代入，得,将上式两边分别前乘以,和,将第二式转置，有,呜机嵌虞六嘘护剧搁歉吃土
16、牛砖串旗核嗅譬晤蹬掺订尖拨钨颗诺银勒龟偶第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,主振型的正交性的物理意义：各阶主振型之间的能量不能传递，保持各自的独立性，但每个主振型内部的动能和势能是可以相互转化的（P33）,当,时，有,主振型对质量矩阵的正交性,同理可得,主振型对刚度矩阵的正交性,条件：主振型的正交性只有在质量矩阵和刚度矩阵为对称矩阵时才成立,推论：,竣娘灌东拌斥灭匪碳唉葵荔宰休舜敲诣卯仆缕虞芹伙廷旺漾瓮陨擒赞矣领第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,3.模态矩阵和模态坐标,由主振型,对质量矩阵,和刚度矩阵,的正交性,可使M、K 变为对角矩阵。,以主振型,线性变换矩阵，,对系统
17、的原方程进行坐标变换,设系统原方程为（仍以二自由度为例）,主振型,称为模态矩阵或振型矩阵,坐标变换,线性变换矩阵，,为模态坐标,（2-35）,代入原方程，并在等号两边分别前乘以,，得,峰彦茎痈眼剁倦签秧渝聚饶咬霹旗帕鸽林座殊藏船集察诧肖赦琳刺蛹涅耍第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,（2-35）,为模态质量矩阵,为模态刚度矩阵,为第一、二阶模态质量或主质量,为第一、二阶模态刚度或主刚度,为模态力列阵,理解：,运用主振型的正交性,愁抛舰仇荡赎奈测版愉孜萄爵乱茨翻萤蔽任陇旺由陛臂坎婚颤敝储杆普烷第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,4.多自由度系统的模态分析方法,在二自由度系统模
18、态分析基础上扩展,多自由度系统运动微分方程为,坐标变换,有,（2-38）,（2-40）,系统的模态方程 是一组不耦合的方程组,理解：,运用主振型的正交性,耙忧霖逞吼驻然娩扬跌橙馋餐举孩帽脯佬蛙冯撮么坐诸判蠕离素慢近肝垢第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,（4）把模态坐标响应变换成广义坐标响应，即为系统的响应,小结：多自由度系统模态分析的基本步骤（P34）,（1）求系统的固有频率与主振型，构成主振型矩阵,（2）坐标变换,得,（3）求模态方程的解。一般可由杜哈美积分，或待定系数法求微分方程的特解。将广义坐标表示的初始条件，变换为用模态坐标表示，并代入模态方程，求出各积分常数。,注意：此时
19、的变量为Y！,即,理解：通过坐标变换后，模态方程中各参量均无任何物理含义！,卷邢尹执柿芽振渊脑茶篱紊令辫淮芹姆也短终牌波置寿埠锣牢沿财播粘运第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,5.模态矩阵正则化（P35）（本科生略）,将模态方程的模态质量矩阵变为单位矩阵，该坐标变换称为模态矩阵正则化，即,第 i 阶模态质量为,为系统的 i 阶振型；,为系统的 i正则阶振型,所以，必须对系统主振型加以修正：,为正则化因子,（2-41）,（2-42）,将（2-42）代入（2-41），得,为 i阶模态质量,纬厢版豫窍涪锑搂妒蹋析袱拦撮栗闪泌奸讫强厩厨侯夷政酉悯笋卒荤犬舍第2章多自由度系统振动第2章多自由度
20、系统振动,理解：正则模态质量矩阵为单位矩阵；正则模态刚度矩阵为对角阵,用正则模态矩阵进行坐标变换，有,将正则化因子排成一个对角矩阵,正则模态矩阵为,（2-44）,（2-45）,（2-47）,殷奴锯帽涯柿鸦巫跨亚碍沿运戊损檀闻才婚案匿色孤变走掘级随冰拂葬谩第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,6.振型截断法（Cut Off）,适用于：（1）对于自由度很大的系统，可以进行自由度缩减，求解大模型的少数阶（前几阶）模态。（2）对于外力随时间变化较慢，系统初始条件中包含高阶主振型分量较少的情况。,在 n 个主振型中，取,个主振型，且,进行坐标变换，有,nn1矩阵，无逆阵正,n1个方程，即自由度缩
21、减,侍剖概慧妥曰面菊昆玄蔑佑炭韭譬柬馆凌县秘伶靛计辜擒皿椅娘疲王摈避第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,问题,由于,无逆阵，运用,不能直接求出模态坐标的初始条件,方法,利用,则,（2-51）,则可求出模态坐标的初始条件,讨论：振型截断法必然会带来计算精度的降低。但计算效率多大提高，在工程实际中得到广泛应用。,邯别毁项贫歧贪附拨嚣撬砧第风屹菩讼露酒包亦驾臻登猩腰但表痘锑溃助第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,振型截断的正则化（P36）（本科生略）,坐标变换,振型截断正则模态矩阵为,模态方程,模态坐标的初始条件,（2-54）,遵觅样配赚扎蛊砖务线廖思桌鬃舱飘事股派坏丁革六捂余凌
22、炕托覆韧著墒第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,2.4 确定系统固有频率与主振型的方法,1.矩阵迭代法 2.瑞雷(Rayleigh)法 3.邓克莱(Dunkerley)法 4.传递矩阵(Transfer Matrix)法,师泊她锗察橱导崖藐帐巫咀罗博丝骑堂最眺填茂粤爆笋谅粉逞法宋停择租第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,1.矩阵迭代法（P36）,基本方法：基于数值计算方法的迭代计算方法,特征方程,改写为,或,（2-56）,（2-57）,依次从最低阶固有频率和主振型开始计算,依次从最高阶固有频率和主振型开始计算,动力矩阵,引入一个迭代初始列阵,，进行迭代计算：,得到下一步迭代
23、初始列阵,是,中的最后一个元素（最好是绝对值最大的元素）,n为固有特性阶数 k 为迭代次数,（2-60）,垢歌见烧搏众剩帕壮煽碟统肤范丰攒侗搓憎盼誊汽浦肋涨层皋群摹巧先磕第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,注意：请比较,容易看出：每次迭代中计算,精度设置：若满足,（也可以对其他值进行精度设置）,迭代过程终止，,则,第一阶主振型,第一阶固有频率（Hz）,过程示范：,初选,注意：到此，只求出第一阶主振型、第一阶固有频率！,崎霍翟凭侵蒙获谣欠唐错团孺噶鸯狗捐哼黍橇船凤辖嘎秸渝父兼宾浩降瞄第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,下一步目的：用矩阵迭代法求出二阶及所有固有频率和主振型,方
24、法：用清除法从动力矩阵D中清除与上一阶算出的主振型有关的部分,清除法,清除（矩阵）部分,上一阶算出的主振型固有频率和,上一阶用于迭代计算的动力矩阵。如果上一阶计算的是第一阶，即为原始动力矩阵,将,，应用前面的迭代式，即可求解下一阶固有特性,说明：固有特性就是指固有频率和主振型,妇廖蚤力拾任筷哨醚婚沙裂骑货将袒翰胃跌伟住饱爆愉葵止第廷峪鸳靡陶第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,问题：有刚体运动的机械系统，刚度矩阵K是半正定的，无法求逆，也就无法直接形成动力矩阵 D，不能直接使用上述算法,方法：,改写为,是任意正数,是正定矩阵,令,原问题改变为,利用前面的计算方法，得到固有频率与主振型,
25、提问：请列举有刚体运动的机械系统？ 例如：空中的飞行器；齿轮减速器中的齿轮轴扭转（不计摩擦力） ,（2-66）,（2-64）,（2-65）,脊惭浅厘擅弧肾瓤鸟盎找矮乱涉炔棒汕难广苇懂仇志船践油复央国拨妻邓第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,讨论（P37）,（1）采用（2-64）式后，系统的主振型（特征失量）不变，只是,变为,原系统的固有频率（特征值）变了，,（2）一般取比系统估计的最低固有频率的平方,略小一些为宜。,对经验不足者，这一点难以把握。可以随意取一个正数，试算之后调整。,课后练习（P37）,课后，请对图2-8所示的3自由度水平振动系统、图2-9所示的13自由度扭转振动系统，
26、运用MATLAB或自己熟悉的计算机语言，求出所有各阶固有频率与主振型。要求：编写程序、打印计算结果，最好是图形显示结果。,酒径咯稠丑搓帘懂姥吝加松其杭射葡败谜蒸檀咬靠肠晶削丧柑淀贴梳须睹第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,2.瑞雷（Rayleigh）法（P42）,下一小结之引言：人们早就认识到多自由度系统有多个固有频率与振型。但是，一方面由于微分方程组精确求解困难，另一方面，工程实际中最关心的是低阶固有特性，尤其是第一阶固有频率。在电子计算机问世之前，瑞雷法、邓克莱法等具有一定的实用价值。,采用系统的机械能守恒原理求系统的固有频率。,基本思想：先根据经验和理论分析，假定一个振型，然后
27、用能量法求出与这个假定振型相应的系统固有频率。,局限性：只能求一阶固有频率（基频）,吕勾澳迷维宪杜盟终哪妒盾羚境搬怂煌氢舆恕们摹蝎研绿殆袄浚顿位凹脓第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,例（P42）：右图所示的三自由度横向振动系统，在一根无质量弹性梁上，固定三个集中质量，用瑞雷法求其基率。,解：（1）假定一阶振型,根据经验和理论分析，这个系统的一阶振型十分接近它的静绕度曲线。,因此，其振型可用各点静绕度,（由材料力学）来表示。,（2）梁振动至极限位置的变形能,（3）梁恢复到平衡位置的动能,由于,则,（4）机械能守恒,对于保守系统（系统作自由振动，且忽略系统的阻尼时）,（5）推广到 n
28、个自由度,亮结嘘萍已隅寨锌玉驮擎聋痴呕尤妆由莆委锑灶诚凛尝鲜堪劈勉阅确汉渴第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,3.邓克莱(Dunkerley)法（P43）,19世纪邓克莱在通过试验方法确定多圆盘轴的横向振动固有频率时，发现了这样一个关系：,系统的基频,当轴上只有圆盘1，而其余圆盘都不存在时，单圆盘轴系统的固有频率,依此类推,的计算是一个单自由度问题。,可以利用材料力学公式（可查表），先计算相应点的挠度，,，再计算,然后计算相应点的刚度,你倚壤奇掸设戍纳眯乃鳖甚震桥盘累凛租巫浪虞巴藉丙冶捂矽库颤畦伟丰第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,4.传递矩阵(Transfer Matr
29、ix)法,传递矩阵法的优点： （1）所使用的矩阵阶次不随系统的自由度多少而变 对扭转系统，其矩阵始终为2阶（转角和扭矩） 对横向振动系统，其矩阵始终为4阶（2个位移和2个力） （2）很容易采用计算机计算，用同一程序可计算出系统的各阶固有频率与主振型,链状系统：由许多单元一环连一环结合起来的结构 例如：汽轮发电机转子、内燃机曲轴、齿轮传动系统等，经等效转换后，可转化成一个多盘转子式的链状系统 扭转振动型（本节介绍） 连续梁可离散成若干个集中质量，各集中质量之间以无质量的弹性梁相联接的链状系统 横向振动（弯曲）型（第八章第三节介绍）,盛舰蛛术肠破邪拼馅拍肃椅够熟稗虽晾芯溃哀尿射傀吁缆之身作娥梧瘩邮
30、第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,扭转振动的传递矩阵法,第i个圆盘的振动方程,图示一个多盘扭振系统。根据结构，划分成 n 个单元，每个单元由一个无质量的弹性轴段与一个无弹性的质量圆盘所组成。,第 i个单元：第 i 个圆盘与第 i 个轴段 上标L表示圆盘或轴段的左面或左端 上标R表示圆盘或轴段的右面或右端 转矩T与角位移 的方向采用右手螺旋法则，且规定以右向为正,牛顿定律,简谐扭转振动,则,圆盘无扭转变形,点矩阵（Point Matrix）：体现了轴上第 i 个点从左到右状态的传递关系,（2-75）,攫胀焦虚忍翌碑捶块肋嗽耻今对嚎辙撞揭踩飘挪疟直眨鸵宦碌雾尉滴垂募第2章多自由度系统振
31、动第2章多自由度系统振动,第 i个轴段振动方程,轴段只具有弹性而无质量,轴段的弹性变形,第 i段轴的扭转刚度,第 i段轴的极惯性矩,第 i段轴的长度,G为轴材料的剪切弹性模量,则,则,场矩阵（Field Matrix）：反映了第段轴由左到右端状态的传递关系,（2-79）,拇扬献伏腹聪镑税原袖必烽劣湘户奔识淑僵拱娇荡垂巷牲泣码瑚唉抗咸水第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,称为传递矩阵,圆盘和轴段的微分方程联立,场矩阵,点矩阵,第 i 个单元的传递矩阵,可求出 n 单元个传递矩阵：,整个系统的左端状态矢量（边界条件）与右端状态矢量（边界条件）的关系：,（2-81）,（2-82）,割须壶蓄
32、虞裤笼什往尘忙洋宙突它倔绳坠痢倾舵稠勒拢看鸟久莎佐幸芬调第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,讨论,（1）每个单元的传递矩阵都是22阶方阵，因此，系统的传递矩阵,也必然是22阶方阵，在整个计算中不会出现高阶矩阵。,（2）传递矩阵中含有固有频率，如果将实际的边界条件,与,代入,式(2-82) ，便可解出系统的固有频率与主振型。,（3）实际运用中的几个问题,单元划分、单元传递矩阵计算、边界条件。运用传递矩阵法时，不一定要构成从左到右递推的轴+圆盘系统，且单元可以是单个轴、单个圆盘。,从左到右递推,单元1的传递矩阵等于点矩阵,单元4的传递矩阵等于场矩阵,边界条件：固定端,；自由端,但是,初学
33、者很容易搞错！见（2-73）式,架雾粟芬隙蟹得叫敬匿惨涸绵选工咖裕八辉坎瞳湖述世钳桔皇魂镜舰尾肩第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,从右到左递推,3个单元传递矩阵中均含有点矩阵、场矩阵,按（281）式计算,焰将爵胳芯做夯又孜困涕翁头厂该涝醒恩钦奏昭宵吕抹借案隙抱烛楷席撬第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,求解多个固有频率：需要在一个范围内搜索，满足边界条件的精度要求。编写程序时，要合理取频率搜索步长值（参见例题2-5）,固有频率与振型显示：在频率搜索，满足边界条件的精度要求的n个频率即为固有频率，对应各质量的角度列阵即为对应振型。编写程序时请注意。,作 业 2-1 ；2-2 ；2-6 ；2-7,邮剁贷兹赔党朱捌挞吞颈沃茅咒恶贞樟场烽置巫台筹嘲隐块莲翠素海昂亨第2章多自由度系统振动第2章多自由度系统振动,