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1、下一页上一页 第二章 计算机控制系统的理论基础 2.1.1拉氏变换定义 2.1连续线性系统的扼要回顾 亮 羞 垣 莆 减 叉 亡 熏 绪 濒 役 呼 蛀 楞 狂 命 矾 旭 嚎 狄 继 哺 卓 硒 苹 追 沏 软 厨 塌 甜 呈 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 1 下一页上一页 2.1.2几个常用函数的拉氏变换 脉冲函数 阶跃函数 斜坡函数 加速度函数 指数函数 正弦函数 余弦函数 括 浦 袋 椅 舷 瞧 脾 攒 竿 但 臃 捞 讫 慰 刹 兴 聚 仰 尾 胸 老 忙 创 害 宝 胃 厅 票 湿 艾 冈 屹 二 章
2、 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 2 下一页上一页 2.1.常用的拉氏变换法则 1) 线性性质 设： F(s)=Lf(t)，F1(s)=Lf1(t)，F2(s)=Lf2(t) 2) 微分定理 式中：f(0)是函数f(t)在t=0时的值，f(0)是函数f(t)的微分在t=0 时的值。当f(0)=f(0)=0时 谁 兵 俘 尧 稍 伺 温 搅 蹄 蛔 林 推 策 亨 垛 框 审 傀 房 鹰 锋 劝 槐 澜 梧 老 夯 东 寇 已 筒 淫 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系
3、 统 理 论 基 础 3 下一页上一页 2.1.常用的拉氏变换法则 3) 积分定理 式中： ， 分别为 的一、二次重积分在t=0时的值。当 时 4) 时滞定理(实位移定理) 5) 复位移定理 例 额 误 至 镀 逊 库 肿 呆 国 韵 霍 嚷 毯 仍 侣 件 愚 八 烙 角 宁 盛 犹 淀 凝 宏 幻 珊 钙 垛 哇 仗 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 4 下一页上一页 2.1.3常用的拉氏变换法则 6) 初值定理 7) 终值定理 若原函数f(t)和函数sF(s)在t和s0时各有极限存在，则 例： 原函数为： 当t
4、时极限不存在，不能用终值定理。 设， ，并且 和 各有极限存在，则 的初值为 张 芯 七 落 刃 谆 肛 赂 惦 蓖 秤 萄 扮 耿 拒 属 泊 承 薯 柜 脑 堕 苛 槽 征 弃 峭 九 始 柬 了 烬 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 5 下一页上一页 2.1.4拉氏反变换 用部分分式法求拉氏反变换 基本思想：即将F(s)分解成若干有理分式之和的形式，然后利用拉氏变 换对照表查出对应的原函数f(t)。 F(s)的一般形式为： 式中：-z1,-z2,-zm为F(s)的零点；-p1,-p2,-pn为F(s)的极点；n
5、m 。 A(s)的三种情况：1）A(s)=0均为单根 2）A(s)=0有共轭复根 3）A(s)=0有重根 血 埂 您 强 挪 钟 窥 颠 粟 乘 充 蛔 砚 崖 纳 力 副 栈 长 逮 级 狼 娘 般 掇 错 旷 袁 朽 缝 撤 蝎 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 6 下一页上一页 1）A(s)=0均为单根 式中：Ai为常数，可由下式求得 或 析 酱 膀 妻 猫 叼 剪 猖 谁 格 稼 私 喉 律 揖 莹 兰 哨 撵 思 惩 技 围 绪 缺 贷 丙 挟 福 执 凯 喜 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论
6、 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 7 下一页上一页 例2-1 求 的拉氏反变换。 解：将F(s)分解成部分分式，则 将A1、A2代入原式得： 其拉氏反变换为： 搏 雍 综 衷 天 守 甄 哲 忱 煞 救 嚷 位 鸟 侍 统 蔽 氏 龄 沃 绥 兹 信 袒 窍 图 畸 惠 糜 你 但 痈 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 8 下一页上一页 例2-2 求 的拉氏反变换。 解：因为F(s)的分母和分子阶数相同，对其进行分解得： 所以原函数为： 伐 痢 顾 皿 瘤 物 慌 挪 滓 嗅 幅 彼
7、眯 客 椅 愈 谁 翠 身 睡 朔 沫 伏 绎 描 革 吉 锥 包 腻 并 胞 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 9 下一页上一页 2）A(s)=0有共轭复根 求出A1，A2后，对F(s)进行适当变形，再求原函数。 当A(s)=0含有一对共轭复根时， F(s)可展开为 式中：A1、 A2为常数，p1、p2为一对共轭复极点， p1、p2可由下式求得 当A(s)=0含有一对共轭复极点时， F(s)的原函数中含有正弦或余弦 函数。 绊 弹 喉 挪 舆 柞 丽 貉 试 砖 害 勺 凋 锑 基 尺 冈 茨 砚 七 袱 洲 触
8、些 烃 骋 兵 铁 分 捌 打 峪 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 10 下一页上一页 例2-3 求 的拉氏反变换。 解：对F(s) 分解得 F(s) 有一个实极点和一对共轭复极点，分别求其待定系数： 代入极点并整理得 令两边的实部和虚部分别相等，解得： 评 腕 硝 他 捉 叶 待 锚 槽 谆 抑 苫 寻 饭 吮 坡 担 抽 践 混 棘 陪 餐 殉 出 酵 淤 病 耸 臂 松 红 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 11 下一页上一页 为求
9、原函数，对F(s)进行适当变形，得 所以F(s)的原函数为： A(s)=0含有一对共轭复根时，原函数中有正弦和余弦函数。 涡 敞 糟 汐 桨 足 谤 该 肌 逢 些 略 支 瞅 脏 大 焰 照 块 幻 捶 典 瓤 足 惯 坚 合 总 庇 搭 慎 高 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 12 下一页上一页 3）A(s)=0有重根 设-p0为r阶重根，-pr+1，-pr+2，-pn为单根，则F(s)可展开 成如下形式： 式中： 餐 铺 呈 访 屁 炮 帘 琶 品 喊 趟 渊 罚 磅 甫 磷 义 苛 压 钒 荒 坛 类 肪
10、篆 钓 益 炮 仆 骇 两 堆 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 13 下一页上一页 求出待定系数后代入F(s)，再求拉氏反变换 墅 武 喜 沤 豹 依 豌 恃 砚 应 砸 态 逢 厦 赚 威 复 剖 晕 捻 瑞 诣 页 荫 戌 瑰 廓 拳 管 蘑 蜡 荐 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 14 下一页上一页 例2-4 求 的拉氏反变换。 解：对F(s)进行分解 计算各项待定系数 代入F(s) 得 原函数为 倔 匆 兜 橇 订 璃 墅 骸
11、曾 品 印 谦 侨 讣 中 捞 披 魁 擦 素 鄂 凭 视 禄 垦 赐 千 奥 弧 真 敖 窟 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 15 下一页上一页 2.1.5 传递函数 1）传递函数的性质 (4) 传递函数的拉氏反变换，就是系统的脉冲响。 (1) 传递函数只表示了系统输出量和输入量之间的关系，而不反映系 统物理结构(不同物理性质的系统可以有相同的传递函数)。 (2) 传递函数只与系统结构及参数有关，而与输入信号无关。 (3) 传递函数分子多项式的阶次总是低于或最多等于分母多项式的阶次 ，即nm(这是由于系统总具有惯
12、性及受到能源限制而决定的)。 它 赔 坪 照 裹 楚 粱 力 主 运 盔 彝 栅 苔 利 岂 聂 舍 伴 酞 窃 观 注 浴 乞 烯 亏 鸿 处 我 企 岛 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 16 下一页上一页 2.1.5 传递函数 2) 典型环节的传递函数 (1) 比例环节 (T为惯性时间常数)(2) 惯性环节 (3) 积分环节 (4) 微分环节 (T为积分时间常数) (T为微分时间常数) (5) 振荡环节 (6) 延迟环节 (n为自然振荡角频率，为阻尼比) (为延迟时间) 康 迷 设 脖 胳 羽 朔 明 碘 糜
13、吠 仑 润 曲 安 赔 利 归 怕 眷 匈 幼 鄙 搀 骑 矿 抠 橱 汪 臻 藩 叮 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 17 下一页上一页 2.2 线性离散系统的数学描述 2.2.1 信号变换 图2-1 计算机控制系统信号变换示意图 罕 龄 颁 块 结 妥 囚 懦 秀 坎 限 检 揖 稗 霖 射 榴 简 桌 茵 鳞 裴 右 捡 芥 治 帖 冠 臆 意 隋 芥 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 18 下一页上一页 1) 模拟量到数字量的转换
14、 采样定理(也称香农定理) 设连续信号为f(t)，经采样后转换成离散的模拟信号f*(t) , 再对其进行量 化，即A/D转换，变成离散的数字量。 （K为正整数） 2) 信号的恢复 (1) 零阶保持器恢复信号 零阶保持器恢复信号的基本思想是：将某一采样时刻的信号原封不 动地保持(外推)到下一采样时刻。 颂 朴 哎 魁 泣 廉 霸 粹 贿 觉 栓 秘 庭 悯 洒 铝 惊 偿 买 妨 蜂 蕉 末 捅 饿 仔 谣 奄 做 宣 仆 枯 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 19 下一页上一页 图2-3 零阶保持器恢复信号示意图 零
15、阶保持器的传递函数为 病 垫 轻 杆 延 桶 窜 粤 装 坚 犬 姿 肉 奥 冒 朵 豁 沈 孔 恨 叛 刹 恭 亩 绦 桃 擂 戴 拜 呆 损 粥 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 20 下一页上一页 (2) 一阶保持器恢复信号 一阶保持器恢复信号的基本思想是：以前两个采样时刻的值为基础 进行外推，直至下一个采样时刻。 图2-4 一阶保持器恢复信号示意图 一阶保持器的传递函数为 高阶保持器 莫 霄 娄 股 谩 铁 胃 厕 冀 外 曾 镁 刮 蚕 驳 香 结 倘 硷 酞 手 拆 锦 彦 盈 使 袜 讨 忍 数 足 竟
16、 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 21 下一页上一页 2.2.2 z变换 1) z变换 设有一连续函数f(t)，经采样后其离散函数为f*(t) 其拉氏变换为 令 则 称其为f*(t)的z变换。即 F(s):连续函数的拉氏变换 F(z):离散函数的z变换 埂 颧 呸 酵 禽 奥 虞 桌 闪 撒 蒲 总 织 叙 跺 戴 冯 壤 婚 贩 斜 施 拭 他 镁 睫 邓 算 冰 茨 严 简 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 22 下一页上一页 2)
17、几个常用的z变换 脉冲函数 阶跃函数 斜坡函数 加速度函数 指数函数 弄 订 拜 豺 得 磁 阳 百 吗 抉 克 湘 傣 剂 薯 烤 屿 耪 纲 诊 刮 拈 窘 耶 昭 轧 凳 茅 记 撰 姐 房 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 23 下一页上一页 3) z变换的基本定理 设 (1) 线性定理 (2) 滞后与超前定理(平移定理) (滞后定理) (超前定理) (3) 复平移定理 (4) 初值定理 (5) 终值定理 蛛 膜 剿 狂 砸 若 闸 侩 北 蜡 忧 飞 妓 轨 蕊 挠 徊 险 项 贤 掸 池 奄 督 俺 舶
18、护 林 权 王 缸 恭 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 24 下一页上一页 4) z反变换 两种常用的方法：长除法和部分分式法 (1) 长除法 例2-5 设 ，求原函数f*(t)。 解：用长除法求F(z)的原函数 原函数为： f*(t)=(t)+0.5(t-T)+0.25(t-2T)+0.125(t-3T)+ 哀 如 割 状 窥 憋 钾 倾 圾 先 瘟 焊 味 咒 初 涸 孝 畦 啄 吵 否 侠 柏 埂 芒 燃 许 监 新 座 一 赐 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机
19、控 制 系 统 理 论 基 础 25 下一页上一页 (2) 部分分式法 z反变换的部分分式法与拉氏反变换的部分分式法类似 例2-6 求 的z反变换。 解：将F(z)分解成部分分式之和的形式 式中待定系数A和B的求法与求拉氏反变换中待定系数求法类似，即 原函数为 宋 敖 邦 挑 邑 滚 器 拱 做 龚 见 汀 挑 蛰 扩 仅 途 梢 蛆 综 笺 链 瞧 歹 碉 蚌 菠 舵 汀 黔 缨 描 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 26 下一页上一页 2.2.3 差分方程和脉冲传递函数 1) 差分方程的一般概念 图2-5 线性定
20、常离散系统示意图 无滞后系统y(k+n)与u(k+n)有关还与该时刻以前的输入输出信号有关 y(k+n)： u(k+n) u(k+n-1)，u(k+n-2) y(k+n-1)，y(k+n-2) 嚎 犯 烩 扦 种 县 庞 谰 韦 淖 踩 意 吊 现 金 隙 膏 蘸 蛤 缮 过 瘴 鹤 复 腔 撅 砌 损 挛 茨 浴 爽 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 27 下一页上一页 有滞后系统 这就是n阶线性差分方程 滞后二个采样周期 y(k+n)与u(k+n-2)及该时刻以前的输入输出信号有关 y(k+n)： u(k+n-2
21、) u(k+n-3)，u(k+n-4) y(k+n-1)，y(k+n-2) 滞后一个采样周期 y(k+n)与u(k+n-1) 及该时刻以前的输入输出信号有关 y(k+n)： u(k+n-1) u(k+n-2)，u(k+n-3) y(k+n-1)，y(k+n-2) 这种输出信号与输入信号及该时刻以前的输入和输出之间的关系可表示为 或 育 死 什 糖 顽 摧 斌 露 菜 每 轰 枢 菠 砸 骡 隆 真 砾 贪 芒 辐 百 挽 柱 优 拾 劳 辣 肌 狠 罕 栅 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 28 下一页上一页 2)
22、脉冲传递函数 (1) 脉冲传递函数的定义 传递函数和脉冲传递函数 设输入信号的z变换为U(z)，输出信号的z变换为Y(z)，则其脉冲传递函 数为： (2) 脉冲传递函数的求解 由差分方程求脉冲传递函数 例2-7 设数字计算机实现的差分方程为 ，求脉冲传递 函数H(z) 。 解：两边取z变换得 整理得 脉冲传递函数为 华 探 滦 孽 痔 悼 抬 展 颤 扫 苯 撬 礁 摄 羽 微 做 架 赤 媚 诣 氟 建 路 病 羌 篷 包 墓 执 屿 艾 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 29 下一页上一页 由G(s)求脉冲传递函
23、数 例2-8 设 ，求脉冲传递函数H(z)。 解：将G(s)分解成部分分式之和的形式 求待定系数 查表得： 态 界 途 放 霉 富 窜 锤 吓 婶 核 铆 至 碉 袒 莽 围 沟 吴 苗 殉 泻 输 因 典 老 东 夜 刹 掀 妨 顺 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 30 下一页上一页 2.2.4离散系统的稳定性（条件）和瞬态响应 1)稳定条件 显 抉 钱 初 括 僵 妹 琳 素 爪 螟 示 砖 湘 胃 姆 豁 虽 嘎 仁 匪 劳 琴 惊 苍 司 臂 神 应 椅 玖 当 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理
24、论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 31 下一页上一页 2.2.4离散系统的稳定性（条件） 和瞬态响应 2)瞬态响应 (1)实轴上的单极点 譬 线 输 嚼 钟 窑 某 团 外 舜 拼 膏 凤 寻 铆 绸 几 韵 秀 晾 嘎 鞠 钨 结 嘉 无 束 嚷 蝇 蔑 硬 扬 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 32 下一页上一页 2.2.4离散系统的稳定性（条件） 和瞬态响应 2)瞬态响应 (2)共轭复极点 立 坦 环 牵 毫 按 忆 宰 卯 选 可 纺 烧 柔 纲 垄 难 辨 舀 扩 藻 烤 涨 冒 铬 芥 斤 垄 辛 蠕 弱 羞 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 33 下一页上一页 浚 咏 哎 智 赞 东 捻 赫 逢 绳 淋 价 算 溢 履 邹 汽 写 洞 高 平 辱 摹 莱 恐 条 耕 圭 毯 燃 反 找 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 二 章 节 计 算 机 控 制 系 统 理 论 基 础 34