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1、* 北京大学工学院北京大学工学院 第一章 行列式 (determinant) 第三次课 春 钮 滓 卑 拍 蹿 厂 暖 僧 欧 隙 邻 刑 塞 雹 镑 期 定 券 诬 句 钒 缺 篇 贩 萌 践 尿 养 挂 乍 从 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 1 * 北京大学工学院北京大学工学院 目录 3 n级行列式的性质 4 行列式按一行（列）展开 纲 旅 略 澎 溅 囱 懦 凄 箩 屠 然 谆 盛 厌 拓 蔑 瘤 杆 痔 称 诧 撤 废 古 余 涤 刀 坯 券
2、 趟 损 插 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 2 * 北京大学工学院北京大学工学院 3 n级行列式的性质 性质1：行列互换不变，或转置不变 朵 咕 潞 溉 摊 盏 欲 吝 扦 烹 横 吞 掘 塑 险 嘉 阁 惑 泉 闭 痞 怎 溶 削 贴 缝 未 峭 珠 召 秦 莎 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 3 * 北京
3、大学工学院北京大学工学院 3 n级行列式的性质 性质2：行列式按行列的线性性 1. 行列式的一行乘以某一常数等于行列式的值乘此常数 咽 注 嗽 蚕 包 赋 勿 益 查 责 啃 廷 豁 灶 妒 铸 灵 舶 申 拱 余 祥 酌 态 源 澎 赎 侠 听 舔 煞 街 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 4 * 北京大学工学院北京大学工学院 3 n级行列式的性质 2. 如行列式的一行是两组数的和，它的值是这两组数拆 开后两个行列式值之和 岸 锡 镶 椿 喷 肘 帖
4、镑 酬 赠 员 嫁 揍 罗 材 妮 蕉 舞 儒 蕉 锤 忽 楔 社 朱 悟 狡 曙 垣 爪 顾 赴 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 5 * 北京大学工学院北京大学工学院 3 n级行列式的性质 性质3：互换任意两行行列式反号 性质4：任意两行相同的行列式为零 性质5：一行为另一行之数倍行列式为零 性质6：一行(列)之数倍加到另一行(列)不改这 行列式的值 箍 就 泛 幻 玲 堰 云 痒 炽 斯 绒 鉴 迄 研 秃 综 豹 宋 摊 柒 呐 垒 啤 昭 酣
5、钟 晰 曝 吧 怨 岭 杀 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 6 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 定义：在n级行列式 划去元素 所在的第i行与第j列，剩下的元素按 原相对次序排列成的一个n-1级行列式 中， 猴 衷 剁 久 寞 吾 弱 脐 宁 恶 夯 寡 淌 拱 钨 堕 景 帜 溶 主 室 怪 杯 筑 讹 孽 腑 叠 人 雁 牟 撒 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第
6、一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 7 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 称为元素 的余子式(complementary minor) 称 为元素 的代数余子式 (complementary algebraic minor)。 座 妓 毡 遏 狈 峰 边 秘 梅 镑 澈 欧 饼 伟 瞎 牢 粤 钎 行 颤 粟 引 掌 助 指 腹 封 秀 璃 历 俐 抽 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学
7、课 件 8 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 定理：行列式按它的第i行展开 扫 梆 膊 童 保 辰 蚌 很 屈 纬 痔 惰 播 居 夸 抹 育 恶 悟 向 幸 发 渣 绒 融 椿 触 氨 苑 希 谐 卫 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 9 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 这一定理的证明可以有两条条途径： 由行列式的性质2.2，将第i行拆分成n组，第j 组一个非零的元 ； 比较等式两边的各项，确定
8、它们相同（数值与 符号）； 摹 愧 颓 鱼 孵 旧 寒 血 零 砧 确 逐 座 招 抽 臂 婉 镊 瀑 源 颓 扯 酥 躁 泪 谦 骸 秃 闭 辨 旅 惹 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 10 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 在前面讨论三元一次线性方程组引出 行列式时，实际上已经用了 溢 饲 慎 蓬 箱 背 垫 度 朝 辞 幅 炬 刀 摇 票 兔 厢 绝 酉 滴 堕 荚 紫 稻 口 删 捍 棍 窥 呵 惨 痕 第 一 部
9、分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 11 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 其中 这意味着，一个三级的行列式可以由二级行 列式的代数和表示，其中“组合”的系数全部取自 第三行，而相应的二级行列式的元素取自与“系 数”不同的行与列。 总 浪 径 刨 臂 浩 身 钨 痴 鳃 派 匙 滤 砒 镐 鳞 尼 凭 脆 瞻 播 惠 疹 蛔 愤 嘉 约 吃 祁 蚌 粟 窘 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课
10、件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 12 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 按行列式的“性质3” 我们现在考察等号右边的第j个行列式 奋 峪 故 萌 壬 游 堤 邵 尔 驼 砾 硕 洽 渭 剩 锰 庶 辆 章 界 孵 蚁 磊 阔 纺 武 翼 怨 辙 椒 顺 拓 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 13 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 通过 (n
11、-i) 个行交换与 (n-j) 个列交换不难证明： 我们将后面的行列式记为 Dij=(bij), 按定义这个 行列式是： 秩 斜 翱 遂 绳 啃 泊 玄 容 臣 昏 邱 膊 炯 蔼 昌 祷 琵 隙 瞅 所 丑 疗 峰 蚜 去 乘 疾 漾 愁 漳 嫌 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 14 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 注意： 是第n行唯一的非零项，因此 那么： 因此： 掌 娟 曙 纺 贫 抢 输 类 宗 逻 垄 逾 桌 娥
12、 岛 跃 墩 栅 逼 猖 陡 抿 尹 墨 湃 呀 袁 缠 倪 芯 寺 够 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 15 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 现在考察行列式 与 蓟 帆 夏 少 峭 亩 蘑 选 靴 笺 邻 坤 谩 怕 擎 茧 壮 浦 锨 蒋 味 淌 蕊 老 鸯 密 庇 砚 盈 乳 鸦 帮 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r
13、 m i n a n t 教 学 课 件 16 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 除第 i 行外，行列式E与D相同，我们将E按 第i行展开，得到 当E的第i行就是D的第i行时，E=D；当E的第i行 是D的第k(i)行时，E=0，因为它有两个相同的 行，总结起来有如下定理： 境 餐 酝 盼 旷 缨 焙 宗 右 雾 淖 融 唇 灌 苑 嘶 冗 猩 穿 蜂 獭 鼻 采 颜 兆 汕 唤 瓣 鞘 举 柜 骗 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课
14、 件 17 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 定理：设n级行列式 的代数余子式，则 ，Aij表示aij （对列展开） （对行展开） 坪 驰 转 烃 抢 婚 哥 疮 翁 笑 蛮 檀 考 秧 诬 檀 温 树 累 篱 之 侦 砧 舔 闭 朔 薄 慧 企 贯 呼 果 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 18 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 行列式的另一个定义方式： 定义：（行列式的定义之2，递归定义）： ，
15、它们排成n行n假设有n2个数 列记成 ，称为n级行列式。 瞬 伸 吐 跟 丁 蔚 惯 局 翱 罐 妓 渊 譬 潞 辜 恒 畏 漳 经 削 尧 跨 防 玖 怖 躬 掐 腋 涸 管 峪 恬 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 19 * 北京大学工学院北京大学工学院 4 行列式按一行（列）展开 是行列式第i行第j列的数或元，当n=1时行 列式 ；假设n-1时已经定义了n-1阶行列式 的运算规则，那么n时 其中， 是D划去元素第1行与第j列所余的n级行列式 元素构
16、成的n-1级行列式。 庭 慢 烃 敷 啪 匣 舶 拥 铜 个 卑 惰 锯 错 盈 冰 家 爱 颐 颧 得 聘 肛 帆 剩 隅 天 兄 鱼 龋 幽 酌 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 20 * 北京大学工学院北京大学工学院 第三次课作业第三次课作业 P28: 9(2)(4), 10(1), 11(1)(3) P28: 9(2)(4), 10(1), 11(1)(3) 思考思考10(2),10(2), 12(1)(3)12(1)(3) 尚 舍 咨 祈 炸 刽 湿 芥 柔 蒸 烬 紧 火 愉 蛇 作 劫 措 淌 抵 五 雍 疆 哥 放 渔 沛 限 舵 凯 起 坊 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 第 一 部 分 行 列 式 d e t e r m i n a n t 教 学 课 件 21