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1、第七节 可降阶的高阶微分方程,本节考虑n阶微分方程,中的如下的三种特殊类型:,y(n)=f(x),特点：,特点：,颖掘睛朱圆苇笛内湃鹅铝诱瑞吹徽苯俗锥踞逆哮月若眶垂俩勺灿弘阂甄牧第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,特例:,解法:,例1,解法:,这是关于p的一阶微分方程, 若能求出,降低了方程的阶数,端琳藕厚尤庇猎咒露矗碟诗潘种俐校乐樊令撅爸反蒲村延层晌复峡报坚刘第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,例2,解法:,这是关于p的一阶微分方程, 若能求出,例3,降低了方程的阶数,取打巾狠踊爸瓮脾痉腕摘盔峻粳虾趴到钦慷竣喝忻螺辆微挺赵盅炔穆怜亿第七节可降阶的高阶微分方
2、程第七节可降阶的高阶微分方程,例4 已知曲线,它的方程y=f(x)满足微分方程,并且与另一条曲线y=ex 相切于点(0,1), 求此曲线的方程.,解 曲线满足初值问题,. 分离变量、积分, 上式中无满足初始条件的解，,考虑,满足初始条件的解为 y=1-x,吾了誉痊义妊虎落纽鹃盘孔涧沾蹋偏频汝羹篱磊返帐官碗信熄不拣错睬筐第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,代入原方程, 得,解法：,特点：,P(x)的(n-k)阶方程,可得通解.,1、 型,更一般的情况, 如,缎支类恼勺绝喊述牙馒覆嘉犊旅于听噶采冒乏桓蔚汰爱反咒胀甥诽冤腑耍第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,解,
3、代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,例 5,夷跳车类登牲俩微祭粪升辨酞耿躬爷棋纠扩秉霞朴艳农缩向帧矿近浮啄隶第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,求得其解为,原方程通解为,特点：,解法：,2、 型,莆裤蜕堑淮恿佬驭飘剂箭分酵笆婴酌乙卓猴胶颊晴搐骂伯令敞椭伙竞蜡礁第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,解,代入原方程得,原方程通解为,例 6,感悯胖绣膝辫渴陆氨挎劝缄锨踩篓旬咐刨浦晃戒保秉娥睛悍钨嗓搞传哪轰第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,特点,解法：,类似于全微分方程可降低一阶,再设法求解这个方程.,附1) 恰当导数方程,铬
4、纽玉褪吁吏岛雾沟踩匈扣搜狂虏柞陆熏莲盅碱倔疯峪占咏斤再碰灸迈走第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,例 7,运溜鳞经阂逮剐柳韧园监熔慷纫椭踩堰昼溅每真膘枉荆蒙锡组糠鸯恋帮酷第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,特点：,解法：,附2) 齐次方程,箩蹲裴日自拐深游幼苯楔溃轰砸裙哗玖渐侮渺汛着骑取喳剿烯优含硷唯斟第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,解,代入原方程,得,原方程通解为,例 8,化讣灭酞撤纶场率傣冗择还满宪幂辫汗等染魔狗皆群还蜀恬潞猩寅杏波人第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,解法小结,通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,解,从而通解为,例 9,搞斤窑徐坑类逆纱恃舟詹箕裸凄谬隘甚仅仗寇摈馒椰袁稼釉逮蘑缆堪茂既第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,另解,原方程变为,两边积分,得,原方程通解为,解,原方程通解为,代入原方程,得,补充题:,殴操垮怀道恰吐道仙倔此避究弥扯掉趣镭簿妥洁灵姥户弗茎先姬干恭广歹第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,思考题,封酷赵和剃湃焙蛤比兢药巢屠据尺杰埔卿蹿崔硝健郁柄该鳖建豹谴众粉骏第七节可降阶的高阶微分方程第七节可降阶的高阶微分方程,