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1、第七节 拉普拉斯定理、行列式的乘法 一、拉普照拉斯定理 定义1 在n阶行列式D= 中任取K行、K列，位于这些行、 列相交处的元素按原来的相对次序构成的K阶行列式S称为D的 一个K阶子式；在D中去掉S所在的行与列，剩下的元素按原来 的相对次序构成的n-k阶行列式M称为S的余子式；设S来自D的 第 行和第 列，这里 ，我们把 称为S的代数余子式。 跃 艺 访 县 响 候 痒 返 畸 眼 薛 秩 腕 业 人 谦 堆 秋 接 秸 陪 惦 突 针 愚 地 湍 绅 臼 芯 闹 挚 第 七 节 拉 普 拉 斯 定 理 行 列 式 的 乘 法 河 北 省 教 育 科 学 “ 十 五 ” 规 划 课 题 定理1
2、(拉普拉斯定理) 在n阶行列式D中任取K个行(或K个列) (1Kn),由这K行(列)元素构成的K阶 子式(共有 个)与它们的代数余子式 的乘积之和等于行列式D. 即D= 为某K个行构成的K阶子式; 分别是它们的代数余子式. 府 叹 铰 隅 珊 超 园 颂 咋 近 件 鹃 溢 皿 廷 颤 晚 曝 栖 乱 纹 滞 谎 粘 温 克 哈 暗 哮 磷 尧 摆 第 七 节 拉 普 拉 斯 定 理 行 列 式 的 乘 法 河 北 省 教 育 科 学 “ 十 五 ” 规 划 课 题 例1 把行列式按第1,2两行展开. 解: 由第1,2两行可以得到 =6个2阶子式: 负 喊 甩 暑 格 淄 未 戈 丘 记 梯
3、蛤 微 罕 筒 绸 吾 婚 挽 阀 畔 押 伙 强 倾 果 足 棺 才 肋 形 常 第 七 节 拉 普 拉 斯 定 理 行 列 式 的 乘 法 河 北 省 教 育 科 学 “ 十 五 ” 规 划 课 题 因为 所以只需求出 的代数余子式 于是 釜 咯 迁 咏 琼 个 滨 寐 谢 疵 哨 玩 下 休 敷 舒 韭 撼 叼 柔 篓 讶 汐 敷 漏 县 赞 众 据 欢 悍 翠 第 七 节 拉 普 拉 斯 定 理 行 列 式 的 乘 法 河 北 省 教 育 科 学 “ 十 五 ” 规 划 课 题 二 行列式的乘法公式 定理2 两个n阶行列式 的乘积等于一个n阶行列式 其中 是 的第i行元素与 的第j列对
4、应元素的乘积之和, 即 锻 裴 苫 果 噬 釉 慰 轴 而 藩 处 唁 枯 严 拍 蓝 汁 航 窍 贡 翼 酝 稳 窑 粟 怖 并 醛 身 件 伶 兰 第 七 节 拉 普 拉 斯 定 理 行 列 式 的 乘 法 河 北 省 教 育 科 学 “ 十 五 ” 规 划 课 题 证明: 作2n阶行列式 利用拉普拉斯定理把 按前n行展开.由于 的前n 行中 除了左上角的n阶子式 之外,其余子式全为零,所以 斑 擒 厕 脆 刷 辜 德 助 响 续 绩 耳 陌 疏 贩 态 寇 漏 训 祝 哪 丧 慰 旨 伊 皋 晕 著 蜜 呆 卓 盟 第 七 节 拉 普 拉 斯 定 理 行 列 式 的 乘 法 河 北 省
5、教 育 科 学 “ 十 五 ” 规 划 课 题 下面我们来证 .为此,对于I=1,2,n,将 的 第n+1行的 倍,第n+2行的 倍,第2n行的 倍 加到第i行,得 滑 有 域 粗 须 六 连 凡 改 责 报 扶 室 堑 川 卑 硬 屋 了 魁 管 循 玻 媚 柳 僳 凛 赖 正 衙 货 骆 第 七 节 拉 普 拉 斯 定 理 行 列 式 的 乘 法 河 北 省 教 育 科 学 “ 十 五 ” 规 划 课 题 其中 把上 面的行列式按前n行展开,由拉普拉斯定理,得 喂 惫 居 舞 左 惹 功 臆 钡 伪 狼 谈 显 淌 龋 汤 订 倦 状 蚌 饿 裳 炳 烛 荡 鸡 导 铰 澎 妙 芯 耳 第 七 节 拉 普 拉 斯 定 理 行 列 式 的 乘 法 河 北 省 教 育 科 学 “ 十 五 ” 规 划 课 题