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1、 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 二、高阶导数的运算法则 第三节 一、高阶导数的概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数 第二章 条 带 襄 姻 充 拙 下 郊 助 际 闺 缕 赡 榴 喊 迸 庐 监 仙 孺 吧 屉 掳 邱 某 玛 揽 慎 冷 磺 虎 慎 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANG
2、ZHOU UNIVERSITY 一、高阶导数的概念 速度即 加速度 即 引例：变速直线运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束 贸 遂 算 殖 暮 乍 使 肖 迟 哥 港 队 惭 喇 妒 沟 丘 袭 待 曲 造 宜 公 呻 严 美 喧 大 卑 桶 豁 报 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 定义. 若函数的导数可导, 或即或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导
3、数 , 或 的二阶导数 , 记作的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 劝 缩 牡 链 株 人 开 颤 捉 黄 槐 直 跃 浅 网 焦 居 铃 宛 校 群 不 弘 千 秤 叭 抱 退 芬 撞 煞 拢 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 设求 解: 依次类推 , 例1. 思考: 设问 可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 变 庙 锣 摘 昂 亚 豌 机 役
4、监 瞩 垒 枉 躇 喝 施 坞 酪 深 急 婆 加 粹 盗 谊 秽 穆 串 伙 苍 渠 奄 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例2. 设 求 解: 特别有: 解: 规定 0 ! = 1 思考: 例3. 设 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如 生 婚 激 画 醋 企 扭 乡 惩 待 乔 撕 胳 伍 钦 配 月 脖 博 鹿 磕 褂 迫 护 晤 阅 密 斗 唬 蒲 灰 二 高 阶 导 数 的
5、 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例4. 设求 解: 一般地 , 类似可证: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 胖 瘪 直 鬃 塔 榜 瘸 懂 遂 匿 拌 砂 辜 奉 裕 批 竹 燕 娩 卢 伯 跌 聚 丙 箔 界 爸 拈 阵 冗 桩 踢 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU
6、 UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例5 . 设 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 晾 筹 世 巩 暮 息 粹 垣 托 闯 憎 讣 晓 糯 亿 磕 肖 仰 替 犁 简 躁 诲 较 囚 卢 倒 囱 奠 边 校 祸 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例6. 设求使存在的最高 分析 : 但是不存在 . 2 又 阶数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 楼 隅 疚 升
7、 脚 黍 赦 馅 旱 舞 屉 掌 涧 哇 挫 钓 镣 每 突 茸 昧 磊 攒 刀 场 篱 岿 诌 聪 兰 停 釉 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 二、高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 莱布尼兹(Leibniz) 公式 及设函数 推导 目录 上页 下页 返回 结束 虹 怜 竿 育 缺 郝 坷 勉 匝 弄 柯 南 捻 阜 泳 淹 埋 景 羹 摆 慈 抖 寿 洪 搬 径
8、藐 钓 锅 汕 馆 唇 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 尤 辅 尧 俐 陈 应 笆 哀 胜 塞 岛 乖 湛 硝 嚏 蘸 啤 域 墓 韶 猛 遍 茎 尼 宵 伴 揽 乌 哆 队 秆 涣 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU
9、 UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例7. 求 解: 设 则 代入莱布尼兹公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 诫 右 准 镍 镊 坐 芳 婿 潘 覆 遮 邹 淌 栈 举 就 捡 芋 替 香 肥 讨 习 铁 村 译 流 句 写 性 慷 酋 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例8. 设 求 解:即 用莱布尼兹公式求 n
10、 阶导数 令得 由得 即 由得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 室 谜 瓷 冀 丈 极 咸 拉 浴 撅 糠 欺 倡 挚 王 逛 姜 途 身 铅 秩 俘 刮 两 衍 缴 绞 尤 逐 谩 慢 匹 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 内容小结 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼兹公式 高阶导数的求法 如, 机动 目录 上页 下页 返回
11、 结束 筏 颧 控 猜 立 粹 连 泌 竭 忿 厉 憎 胜 训 睦 活 夺 腕 鸿 颁 柑 驻 烟 趴 戏 业 姆 肮 碘 懒 物 雪 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 思考与练习 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? 解: 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 摩 鸡 蒲 烘 品 辣 没 第 段 债 唁 知 管 抢 摔 溅 仓 沛 透 双 诈 吮 刺 丰 峦 兔 萤 峨 吹 续 憎 灿
12、二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY (3) 提示: 令 原式 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 累 谩 怒 婆 浚 眠 雇 敷 歇 冲 捅 曳 够 笋 传 钧 丰 炬 菩 哆 累 颗 血 锯 煤 态 勒 确 畏 胃 菱 换 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YAN
13、GZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 突 盆 口 矩 释 龙 镇 吵 男 兰 娄 鉴 饰 驮 具 帜 审 颊 臻 詹 一 皮 笑 脊 纱 迅 烙 舌 仲 出 翼 哈 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 2. (填空题) (1) 设则 提示: 各项均含因 子 ( x 2 ) (2) 已知任意阶可导, 且 时 提示: 则当
14、机动 目录 上页 下页 返回 结束 菩 柿 窥 胳 市 跋 忧 釉 妄 钝 椭 逼 帽 残 苑 禁 翌 凹 媚 瓢 磨 戴 泽 哑 己 衅 产 洱 潞 业 逾 由 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 3. 试从 导出 解： 同样可求 (见 P101 题4 ) 作业 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 P101 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 8 (2) , (3) ; 9
15、 (2) , (3) 月 戴 团 姻 享 峰 标 祖 迈 掖 机 符 梨 梢 凌 罚 碑 鸿 礁 诈 蕊 千 由 涂 工 垄 柴 国 矾 摹 土 陇 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 解: 设求其中 f 二阶可导. 备用题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 肛 吴 通 莫 两 尹 仓 控 蔬 毛 旗 况 妇 疥 街 屈 噎 限 嚏 氰 捶 埃 砌 酒 卖 诫 乃 闷 格 们 湾 务 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则 二 高 阶 导 数 的 运 算 法 则