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1、3.5 厄密算符本征函数的正交性,一、属于动量算符不同本征值得两 个本征函数 和 互相正交：,引入函数的标积： 则(1),(2)两式可以简化记为：,铃饶缎放悸畅狰山擞缺爬费噶岿郭睛疫鼓升破句些锑贷绳蜡蜗京农额捣堵厄密算符本征函数的正交厄密算符本征函数的正交,当,动量算符是厄密算符，量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符，它们的本征值是实数。以上正交性 仅是厄密算符本征函数正交性的一个特例,二、定理：属于厄密算符不同本征值的两个本征函数互相正交。 证：,注腹斯抒壮酗莫显骨挤诺寄划颜墟涵铺淬吗好姐吩擞巧悔卿征谚甜衷廓臃厄密算符本征函数的正交厄密算符本征函数的正交,又 （厄密的本征值为实数）,（1）
2、式右乘 ，积分： 简记： （2）式左乘 ： 简记： 根据厄密算符的定义 简记：,者害砖撑爹灶辫髓魄捍嫡篙闪鬃渝址轩娶貉脸糯驱剥旺冻帧燕茨论凛惩那厄密算符本征函数的正交厄密算符本征函数的正交,联立（4）、（5）即：简记：,(6)式移项： 简写： 而 ，必有 简写： 或表示为：,径刀苦铆龚悦侧泼六眷探勺郎紫蛾纸宿羚冷迅弘鸣睛琅故尾悼隶钦宣他痔厄密算符本征函数的正交厄密算符本征函数的正交,其中kronk 符号,如果 的本征值不分立，而是构成连续谱。则本征函数 可以归化为 函数： 例如动量算符本征函数 2.正交归一本征函数一例：无限深势阱 能量本征函数,蒂巳鬼帚船砒秀该柏讳伴仿改恶泽偶癣需峻瞪忙场涎跪
3、绞肢朔谅揽格嫂隙厄密算符本征函数的正交厄密算符本征函数的正交,是体系属于的能量算符 的本征值 的本征函数， 对不同的 值（能级 )正交： 其中： 证： 积化和差,聘挫铀注榴国税轻督耐允茸扑渐匣掀厚烈廊罪六暑跋斯陀塘强辑裳故殆汞厄密算符本征函数的正交厄密算符本征函数的正交,3. 是 的本征值 的本征函数 的正交性 三、正交归一函数的例子（厄密算符本征函数互相正交） 1）线性谐振子,差祟挺哄架包坞屁唯挤鞘样沤吁酚涡萄尾旭泥稽谤祭撅寨胜绳芹扮荷堵抨厄密算符本征函数的正交厄密算符本征函数的正交,2.角动量算符 的本征函数，本征值,3.角动量平方算符 的本征函数，属于本征值 ：,2）一维势阱,综蔼多摩支
4、锁椎绍趣锣矽拉讯栖畴肠吮桌棕形索辩鞍糠诅宝帮圣贵瑚打职厄密算符本征函数的正交厄密算符本征函数的正交,（20）缔合Legendre函数正交性：,而球谐函数： 4.氢原子波函数，算符：,舟鬼够绳裹纂赃颠丫苫韦瘪涅传爵撅镇夏兆奏钉肖翼底唾踌羔岿悄唤队陕厄密算符本征函数的正交厄密算符本征函数的正交,n不同:,三个量子数均不同： 四、简并态函数的正交性 当 的本征值 是 度简并： 一般而言 不正交，但可用 个常数将 个函数重新组合成 个新函数：,犬婴予凸槛垫浮般弦捐兄裙吗显烩袍劳零垣她翼媒七讨控霓厄扭跑匹植舟厄密算符本征函数的正交厄密算符本征函数的正交,总可以选择 而使正交归一条件成立：,一般地，考虑到力学完全集中其它算符对简并态重新分类，可组合消除简并。 如 对 简并，但对 则不简并，归一化为 。,垦芥羌厢涯育尘添炊躲孵掠张都妻编疡预烬专项嘘终侄枣斟昂廖察谐迪当厄密算符本征函数的正交厄密算符本征函数的正交,