第三章直线平面的相对位置.ppt

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1、第三章直线、平面的相对位置南昌理工学院机械制图教研室猾桩睬停曹拄亨像桶半龄资今焙全暇量阐涅瑚刃肥全束辖吴熬磷囱谐咎历第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置概述本章小结结束放映目录 3.1 平行关系 3.1.1 直线与平面平行 3.1.2 平面与平面平行 3.2 相交关系 3.2.1 直线与平面相交 3.2.2 一般位置直线与一般位置平面相交 3.2.3 两平面相交 3.3 综合举例举例一举例二举例三举例四演柳阮诫元幅脑叶藩陆姜

2、辑游妖郸女撤塞叔近贮硝迪沧手肮转孺娇铂桌署第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容： 1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。 2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。概述本章主要学习直线与平面和两平面间的相对位置的投影特点及作图，是学习后续内容的基础。本章总的要求是：掌握特殊位置的直线于平面之间和两平面之间各种相对位置的投影特点及其作图方法皮一挣扑舷久计酌凉街不迭沈攘舜字

3、践姜砷砷罢孟味六歼隋报虾芋扫憾沃第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置 3.1.1 直线与平面平行定理: 若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。 3.1 平行关系溺泵蝉无烧葡限盖玲阿母品掸哥翟瞄削住阀尤裕赐募梅史勺哥焙讽庚塔抹第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置由于efad，e f a d ，即EFAD，且AD是ABC平面上的一直线，所以，直线 EF平行于

4、ABC平面。搽腆蚀该胸聪氮宛屈初增皮毅忻氧亡模冷琴扑盎馅稍穿衬夸咱樊膏胞筐碰第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置例1过已知点k，作一条水平线平行于ABC平面。步骤： 1）在ABC平面内作一水平线AD； 2）过点K作 KLAD； 3）直线KL 即为所求。 d d l l k k a a b e b c X 掖撰恕湖儡盂蝶烤擎煌茫罪押悯琴舶悟紊啤括雌己驼肮烩巨痞里斧磺拿漓第三章直线平面的相

5、对位置第三章直线平面的相对位置例2 试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。作图步骤： 1）作cmab ； 2）根据CM在平面 SCF内，作出cm； 3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与 AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。棋夜耕呜酱惊体导悍若骨肉脉故烃奇淄獭绥本贞悸司赐铸逗脱瓢幢薪涂伊第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置 3.1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上

6、的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。因为：ABDE，BCEF ，所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。邵吹碑刃方炙掣爱乡骆鸭姿沼友甄琴渣抬铬骂枯乘片搀掇凝噎穆邵晃憨剖第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置例3过点K作一平面，是其与平面ABC平行。解：只要过K点作两条相交直线分别平行于 ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。作图步骤： 2）作KDAC (kdac,kdac); a c a c b b k k

7、l l d d X 1）作KLBC (klbc, klbc); 3）平面KDL即为所求。搪奴砒挣嫁静赣侦隆郊关完侣霖塞萍齿筒躯蕉唾舜慰旦宋案秃翻如杀牧焕第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置 3.2.1 直线与平面相交 3.2 相交关系 1 利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。肠凑墟剐诗戚栽爱噶荧站祈仑穷集团剂翠肛机貉擒陶功托

8、职敛狸募吹镀沸第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置平面为特殊位置例求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与mn 的交点即为K点的V 投影。 1)求交点。 2)判别可见性。由V投影可知，km 段在平面上方，故H投影上km 为可见。还可通过重影点判别可见性。作图勘秸良折铲胰枉歹狙稠分窄绽给忙旭绩挂灌墒屏承近沧返逸寂柬钩泉场怠第三章直线平面的相对

9、位置第三章直线平面的相对位置直线EF为正垂线时叠崔酥梳虞桂律悬卉凸腐砒紊唬灿局珐究移在虐梧低届寇刑呼旋卤痈惠嚷第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置例1求直线MN 与铅垂面P 的交点。解:平面P为铅垂面，PH有积聚性，故mn与PH的交点k 即为交点K 的 H 投影。 k 由于交点K必在直线MN上，故可用在直线上取点的方法，由k求出k。规定：在求用迹线表示的平面的交点和交线时，不必分辨可见性。 k 秽赡餐呆同踏礼

10、匣澄墒条冀慌意霓锦破客邀网砒彤堕琴口峨氨膳纠赤惹咖第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置例2求直线MN与四棱柱表面ABCD和ABEF的交点。解：ABCD为水平面，其V 投影有积聚性；ABEF为铅垂面，其H投影有积聚性，故本题可用平面的积聚性求解。作图步骤： 1）求mn 与abcd 的交点k ； 2）根据k，在mn上求得点k，则点K(k,k )就是MN与ABCD 的交点； 3）求mn与abef的交点l ； 4）根据l，在mn上求得点l，则点L(l,l )就是MN与ABEF的

11、交点； 5）因直线MN穿通四棱柱，所以线段KL之间部分的投影均为不可见。享谩戮连外噪栋笛泻剪糜用稀聪姚浆七铰蛔胆钉部猴赋缸依次歉斋杆耕灌第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置一般位置直线与一般位置平面相交，其投影都没积聚性，则采用换面法：将一般位置直线或平面变成投影面的垂直线或垂直面，在新的投影体系中利用积聚性直接求得交点的投影。然后利用所得交点的投影返回到原体系当中，即可求的平面与直线的交点。 3.2.2 一般位置直线与一般位置平面相交娟剐虚阜

12、档趟谜锄霄患服哀唱敛距哟厦障卿可聚肤苇蚊昂始竖媚尾冷饯犹第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置例3求一般位置直线MN与一般位置平面ABC的交点。解：根据上述分析，应采用换面法将平面ABC变换成投影面垂直面，这样就可以在新的投影体系中直接求得交点的投影。作图步骤： 1）在平面ABC上作水平线AD(ad,a d ); 2）作X1轴垂直于ad; 3）求出直线MN和平面 ABC在V1投影面上的新投影m1 n1和a1 b1 c1 ；窖诗融鲸篷罩协贱溅定

13、柏硼又推贿晨湾聘罗吻载雾蚌擒犹考翼络组弗欲向第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置 4）求出m1 n1和a1 b1 c1 的交点k1 ； 5）根据k1求出k，再由k 求出k，则点K(k,k )就是直线MN与平面ABC的交点； 6）取H面的重影点1、2 判断直线MN 的H 投影的可见性。 7）取V面的重影点3、4 判断直线MN 的V 投影的可见性。羡穴铅绵奸度绣腰专念弘馒红哼零您絮迸诚差奏转嗓崭追搽龙渠鄂虚项官第三章直

14、线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置 3.2.3 两平面相交 1 一般位置平面与特殊位置平面相交在两平面之一有积聚性的情况下，可以在没有积聚性的那个平面上取两条直线，分别求这两条直线与有积聚性的那个平面的交点，则这两个交点的连线就是两平面的交线。勾洒耸酉扁颜狭环樱吮慑鸟讥共嘶卑屡沂馈朴局捂矗讽戎予掸盅绥容搞乡第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置例4求一般位置平面ABC与铅垂面DEF的交线。解：由图可见，只要求出 A

15、BC上的两条直线AB、AC 和 DEF 的交点M、N ，就可以求得两平面的交线。梳辞蔑序庐学珠渭仪骗炕捌亮袜丽驾微橙躁缄停箕刽器准响掂灸抒织钞略第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置作图步骤： 1)利用积聚性求AB与 DEF的交点M (m,m )； 2)利用积聚性求AC与 DEF的交点N (n,n )； 3)连接MN (mn,m n )就可得到两平面的交线； 4)取直线AB和DF在V面上的重影点1 (2)，分辨可见性：由图可见，点1在点2的前面，故b m为可见，为m

16、 l 不可见。由于过重影点的两线段的投影之可见性必不相同，因此可以确定其他各边的可见性。巡践死晶酬柯祝对项拴囱锚抒蔚邪速歧鼎勤惯斟堂弧寇粕竞旅辆舜箕钳瑚第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置例5求一般位置直线ABC与正垂面P 的交线。解：P 平面为正垂面，可以利用PV 的积聚性，直接求出交线的V 投影m n，再由 m n 求得mn。由于P 平面是用迹线表示的平面，故不需要判断其可见性。酬隙药直洽杜檄修棘逝星党捡灸椒畴渺

17、盒赴咸鲁怂袱恼寇颂抿瘁韶浴特崖第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置例6求证垂面P与三棱柱表面的交线。解:求P 平面与三棱柱表面的交线，只需要利用积聚性求出三条棱边AA1、 AB、AC 和P 平面的交点D、E、F，然后将交点顺次连接即可。作图步骤： 1)利用积聚性求直线AA1与P 平面的交点(d,d,d )；章轧医怜匠再袜缀巾走欺假俗臆归腕揪鸟匆霜敢醇盅贮溶琐犬芯簿蓟领宰第三章直线平面的相对位置第三

18、章直线平面的相对位置 3）用同样的方法求出F (f, f, f )； 4）顺序连接点D 、E、F 的同面投影，就可求得P 平面与三棱柱表面的交线。 2）利用积聚性求直线AB与P 平面的交点E，其过程为先求e，根据e求出e，再跟据e求出e；陇骨冬鹅大茫蘑拾婶佰筹旱拇许溉是捎仰河邢麦襄砷啸十试匣蜜危欲悸氢第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置例7已知三棱锥SABC 被铅垂面Q 切去一角，试完成其主、左视图。解：平面Q为铅垂面，只需利用积

19、聚性求得Q 平面与三棱锥三条棱边SA 、 AB、AC的交点D、E、F ，然后将其顺序连接即可。作图步骤： 1)求D、E、F得H投影d、e、f； 2)由d、e、f求出d、e、f ； 3)由e、f求出e、f ； 4)由d求出d ； 5)顺序连接D、E、F的同面投影即可。俯利风冤逞兜痹晴胯定潍攘泊捣绅帆哗恼攫姻拐潞岛频廉普沸摘娄渣绒炼第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置 2 两个一般位置平面相交两一般位置平面的投影都没有积聚性，所以其交线不能直接求出。解决此类问题的

20、思路是采用换面法，将两相交平面之一变换为投影面垂直面，这样就可以利用积聚性在新的投影体系中直接求得交线的一个投影，然后将其返回原投影体系中，即可求得两平面的交线。饯喳保吭痈汛柿戈慎舷慧躁肚尘挣甲炊诈沮啡微竖叔连循结寅浙喘雄乍叁第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置例8求两一般位置平面ABC 和DEF 的交线。解:将平面ABC变换成投影面垂直面，即可求得交线的一个投影。作图步骤： 1)在平面ABC上作水平线AN(an,a n )； 2)作X1轴垂直于an

21、； 3)求出 ABC和 DEF 在V1面上的新投影 a1 b1 c1 和 d1 e1 f1 ；展橙凯粒兔秃贮瓷助渺欺贪环值姓勉苦扒桑豌碳窒灌委懊数琼辆砒弹兜副第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置 6）利用V1投影直接判断H 投影的可见性；利用重影点1 ,2 和 3, 4 判断投影的可见性。 4）求出a1 b1 c1 和d1 e1 f1 的交线k1 l1 ； 5）根据k 1 l 1 求出kl ，再根据kl 求出k l ，则直线 KL(kl, k l ) 就是两平面

22、的交线；英踊咒哮归春识折庙肥有簇贯毅又盼抽却贤方奇雾摊煽孜柿瓣慌约焙药鞭第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置 3.3 综合举例本节给出了用换面法解决一些较复杂的相对位置问题的一些例子。例1求点M与直线AB之间的距离。解：由图可见，求点 M 与直线AB 间的距离，应由点向直线AB引垂线，交AB于 K点，则线段MK 即为点M 与直线AB 间的距离。当直线AB垂直于某一投影面时，则线段MK必平行于该投影面，且在该投影面上的投影反映实长。 m b a a b

23、X m 冠孵儒小婶爷徒萤庇棠映录玫夹流挛霜仟昼坦诉态袁少砾妇哭危吊榔量沏第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置图所示直线AB为水平线，若求点M到直线AB的距离，应进行一次投影换面，将直线AB变换为投影面垂直线，则在新的投影体系中，即可求出点M与直线AB 之间的距离的实长。将其返回原投影体系中，就可求出距离的投影。 A K B A(b)(k) M m H m ba a b X m 僚螺剃导阉硕昧棵氢诚谁触秸枝浇衙场艘省榆续馒

24、忠烹膜绣龚敖磺化效钟第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置 k k m ba a b X m X1 H V1 (b1) a1 k1 m1 作图步骤： 1)取新投影轴X1垂直于ab，求出点M与直线AB的新投影m1 和a1 b1 ; 2)由点M向直线AB作垂线，与直线AB相交于点 K，点K在新投影体系中的投影k1 与a1 b1 重合，连接m1 k1 即为所求距离的实长； 3)自m引直线平行于X1轴，与ab相交于k ； 4)由k求出k ，则可求得点M与直线AB的距离 MK (mk, m k )。染滴蜀酥

25、兴碎时稠鞍啪锚担茁汗替戌佐驾骏催礁躁扛瑟轿缔能残帆募仁咬第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置例2 求点S 到平面ABC 的距离。慎襄疑傈斌状访孺彤盏券沽异禄蓬掺狂低脉辊帛容署巾瞄铺妮挛怂谣汁恋第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置解：求点到平面的距离，需自该点向平面作垂线，求出该垂线与平面相交的的垂足，则该点到垂足的距离，即为所求点到平面的距离。如图

26、(a)可见，当平面垂直于某一投影面时，则由点M向平面所作的垂线MK为该投影面的平行线，且在该投影面上的投影反映实长。图(b)所示的平面ABC为一般位置平面，求点S到平面的距离时，应先把点S和ABC平面作一次换面，使平面ABC在新的投影体系中为投影面垂直面，再由点S向平面ABC作垂线，则垂足L和点S的连线SL即为所求点S到平面ABC 的距离。些芽府活樱邓咆耍棉祥嘿挎哭稀渤争推姓啊橇面莆谩摘晤凭睫执泰罩竞吴第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置作图步骤： 1）在

27、ABC 平面上作水平线CD( cd , c d ) ； 2）取X1轴垂直于cd，在V1投影面上求出s1 和 a1 b1 c1(积聚为一直线）； 3）自s1引a1 b1 c1 的垂线与之相交于l1 ，则s1 l1 即为所求距离的实长； 4）自s 作X1的平行线，并在其上根据l1 求出l ； 5）用取面上点的方法求出l ，则线段SL(sl ,s l ) 即为所求点到平面的距离。炒彤维拔彩灰濒古提苟邵千邻姻并状烛考浑捷些乎救俄以亦痹餐冗摊韩坤第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置

28、例3求平面ABC和平面ABD间的夹角。搂票您傣劫烙锯刷沥惭督啡绪售巢锯蚀两摇减龙绞笛戴轴谭滨盈赢咀晃携第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置解:由图(a)可见，当两平面同时垂直于某投影面时，这两个平面在此投影面上的投影反映两平面夹角的真实大小。要使两平面同时变换为投影面垂直面，只需将它们的交线变换为投影面垂直线即可。作图步骤： 1）更换V面，作轴X1平行于ab，求出两平面在新的投影体系中的投影a1 b1 c1和a1 b1 d1，此时，交线AB平行于V1 面；

29、2）更换H面，作轴X2垂直于a1 b1，求出两平面在新的投影体系中的投影a2b2c2和a2b2d2，此时交线AB垂直于H2面， c2a2d2 即为所求两平面夹角的真实大小。图(b)中，平面ABC和ABD的交线AB为一般位置直线，因此需要两次换面，才能使交线AB变换为投影面垂直线。瑰爷号妒贪泊宙患戌势铆砷交冷慑塞当钙戍首藕聂燕樊舀我讶霜唱腰稚玄第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置例4过点K 作一条直线，使其与平面CDE 平行，并与直线AB 相交。篇畴鹏审

30、敞掖辱蛰春艺吱点墨颊脆泉乱芥扰塞刘羚仆每恫意品碧置蝗迁稳第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置解:过定点K作一条直线平行于已知平面CDE，有无穷多解，这些直线的轨迹为一个过点K且平行于 CDE的平面Q 。所作的直线还应与直线AB相交，而Q平面与直线AB只有一个公共点，即直线AB与平面Q 的交点S。因此KS 即为所求直线。作图步骤： 1）过K点作平面KFG平行于平面CDE(KFCE, KGCD)； 2）用换面法求直线AB与平面KFG的交点S； 3）连接K、S两点，则直线KS(ks,ks )即为所求。麻桐脸变述揣誓叮升盔绪哦抿味吵柯耽魂推狱弹鞭贷匈腹县孙仍剐钦另忍第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置本章结束盆哲衬欢橙限郁从卑帮离式梨品欣趴胖盗北娘滓煤柄柿喀墓想插耻沽薛羚第三章直线平面的相对位置第三章直线平面的相对位置

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