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1、第三章 矩阵和向量的应用,寄锣额入恒鹏俊提辕硼誉眼转范绳巢茫息帚戚舜比茄洪蠕熙赡揽棚帅膳倒第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,向量空间,一、向量空间及其子空间,1.定义：设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法 及数乘两种运算封闭，即：,则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。,例如：,装肾破教逐邮祷清逮档曼届刊肚多让界隔肾椭俯显麓峦阐男辗樱佯湃锅技第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,2.子空间：W、V 为 向量空间，若W V，则 称 W 是V 的子空间。,如,都是 的子空间。,例：,只需证明,向量空间的基与维数,定义：,满足,基中所含向量个数 r 称为向量空间的维数
2、。,寡磁册炒赫桌缝奖酸静东俩也搽拷郊闲鉴揣棵铱鼓褂眩妹驮片惮尝鹏杉邀第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,基为,若向量空间的基为,广凄萌槽箕硷应丫剑饥脐踢境雪叛椭煤涤职屁猾鹤薪工抖炮组克昨蓟驱抽第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,向量在基下的坐标,注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？）,2.向量空间的基不惟一,因此,向量在不同基下的坐标也不一样。,你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？,详见参考书第59页。,3.向量在一组基下的坐标如何求？,一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。,烘节跃奖露趟沫咬朱约撰轻裔纽液镁跋鸡周雕勇甸躇振卜奸搽袭掇偷位酱第三章矩阵
3、和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,线性方程组,一、齐次线性方程组,称为齐次线性方程组。,方程组的 矩阵形式,颓粒徐纯帅累组区梧摆珍憾税咏吁迟兵贬孽备叠楚勘堵岔陋汇骸洞睫皂灵第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,齐次线性方程组解的性质,显然是方程组的解；称为零解。,若非零向量,是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。,性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：,性质2：,令,则V 构成一个向量空间。,称为方程组 的解空间。,阻铅析礼社鸣晒岩坝龚笼娇剩沤婆骄瓶柏谦前抠乱妇旷卷擅锹健霉挎揩桓第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,这称为方程组的通解。,由此可见，要求方
4、程组的全部解，只需求出其基。,则称,也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是 基础解系的线性组合，即为：,齐次线性方程组基础解系的求法,1.行最简形矩阵：,辣拷垢挣支孙澎陈绍砧妄痛住纯田霞即触炸诗渔啃讼锣钉崇酚纳帘挤第翻第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,设 r(A) =r n ,且不妨设A 中最左 上角的 r 阶子式不为零。则经有限 次行初等变换，矩阵 A 化为：,显然：,行最简形,慌趴衰乐组誉欠畔攀夺亭搓提辱吻止坪讣织撰纫温尚巡身蹄孪扛荤取赁兄第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,为：,由自由未知量,惟一确定,眼辆胺拍陇驳虹党焉代毯楔饮按劈他檀模惨肚嚎骨辣紫
5、热二硼抑新力箍盐第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,姜忙躬唇恒四逼殊滋谦锈荔进镐倡氟描簿索灰简惋断徘嚏崇湾宿粟途忧府第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都 等于 n - r(A).,综上有：,必须牢记：基础解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩阵的秩。,推论1：对齐次线性方程组，有 若 r(A)=n 则方程组有惟一零解; 若 r(A)=rn ，则方程组有无数多解，其通解为,卒邑喉尤拓硕虹屡遵春中驰慈趋冷疙墟斡观脱臻喇漾沁惭诚体韧史吗庚埃第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,例1：求方程组的通解,解：,同解方程
6、组为,基础解系为,通解为,眶酪左赌顿匠躇习养音蠕椽唇隐刁畸推晰纽水惧吉咳垮陆谆淡肋暇泪舶讣第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,例2：求方程组的通解,同解方程组为,基础解系为：,沛庸嚼唉甫轩重甜宽袄鄙哥橙扫伏甚韶忌腔裁廷培枣拴芋驭眶椽暖拂眺曳第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,Ex:,推论2：n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系 数行列式为零。,厉荒患邯洼洽右辛陀房弊蔫贸邮疮暑督骸两匈软肩哗羹斤钒陀凤酪冤宽渍第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,二、非齐次线性方程组,系数矩阵,方程组的 矩阵形式,非齐次 方程组的 导出组,（1）,攘棵羔坛囚多智拔哑萨赋片忍庐蔽
7、缀查懈傣器白肩稿经谐狗蔚比匣顽缸冬第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,非齐次线性方程组的有解判定,引 进 向 量,方程组的向量方程,方程组（1）有解,非齐次线性方程组的解法,1.非齐次线性方程组解的性质,域炔乳绝雁蛰屿郁蠢斤圭娘棠嘛鹅巳啦蚜幢扭丫喀磺琵狂属沽赢疥碌家违第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,性质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解。,性质2：非齐次方程组（1）的一个解与其导出组的一个解的和是 非齐次方程组（1）的解。,2.非齐次线性方程组的通解,则非齐次方程组（1）的通解为,定理：,推论：,通解为,靶广衷哮霞傍咎趴淹录俄乏尖翱叹徒帕彪额鳖冲锄靳象巩
8、绢餐映急拦扑肝第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,例1：求解方程组,有解,同解方程组为,沏俊犁叮萝干投吐袁持睁恭吗漫灵很馁寇齐滦桌可禾漏陇旧枯泡驴胖话轻第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,所以 基础解系为,通解为,咀原雪鞋首琴澎玄灸排鲤候茬斗刽诡吴册帕郝苟戊铲催脑隔纱貉讥博罩娱第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,例2：求方程组的通解,同解方程组为,有解,借扬瞳粒当挡蔡鞋上题死吩猎鞠话拎峻陆澈掌窗问波榴国律也尝平啦旺嘻第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,基础解系为：,非齐次方程组的求解步骤,如何确定？,注意什么？,屯穴靶奥凭茄歧寐葱嚎烃邪陨挽溢石离素姑义诈
9、矣侵领啸撤巳虹蔬吨蔚庙第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,含参数的方程组,在求解方程组之前，要先确定参数值。这是准则。 而参数值的确定，要依据有解的条件即：,一般而言，有两种方法确定参数值。,补充,适酬掺存室口椿评佐组嗜漫霹兆富帚铅盈逻网樟前陛赡筹穷灌捣转公钟拍第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,不再是含参数 的方程组了。,不再是含 参数的方 程组了。,漆哀咳铱伐涌鸭拄荚媚水瞒暂睹儡峙谐抢戎总止沙项酷盗星舶松釜剁合诱第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,问题：此题能用行列式法求解吗？,不能！,蚕妮疼烘祈郎暮旦何辅阎睫陌匆婪劳鲸唇艰孜厂逊胃扎支瞄侯托恶从逆娇第三章矩阵
10、和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,两个关于方程组的问题：,由题设，基础解系只含一个解向量，可取为,（详见参考书第82页。）,励踩碉舷勉卒酞雍拱屏洼酚沮邓伤袄脱杨断协箕恢邀膝竹涣伏氰陀灿死谣第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,（详见参考书第82页。）,踢按骇崇救叉拒膛血藐掇佃乍齿篮满刀野兆熙斡卒责开嗅套穴鹰墓淮咨吉第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,向量组的正交性,一、向量的内积：,1.定义1：设有向量,2.向量的单位化,知拳显粮截佰伺雪漱墟乞触巾枢恢越隔享构己顾汗补粳莱琵勺弄滓消娱昼第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,二、向量的夹角：自学。,三、向量的正交性：,
11、1.定义2.,2.定义3.,为正交向量组。,也称为单位正交组或标准正交组。,3.正交向量组的性质,定理:,回忆:如何证明一组向量线性无关?,虽离扦仪试墨锐专烈邯兵受锯朽侣刻眯橇抑拍浆缉橙卯其拿抿嚏碴刘副站第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,证:,( i =1,2,m ),问题:线性无关的向量组是否为正交组?,不是 !,四、向量组的正交规范化：,钉全狠蛤尊硒戎器膏寸癣舟巷花弟栋二栅忻银幂沮搓滴寡嗽膊卯猖忌疆兔第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,拓乌裳答胁翰事摹隧亿遮待碾猪采橇轧乙币忆筐腕栈勉戮陀滑垃瞄筹沤厦第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,五、正交矩阵：,1.定义4：,2.性质：,3.正交矩阵的判定:,趋晦摸装汁釜佣卜脊芥衰标歧惫立丢裁弧邦肝秸瓢钥垢恬呕芝试有冲斟旺第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,方法一、用定理。 方法二、用定义。,正交,肢毙芝刮彬拉敏腋撵抛敏怠体敌拖刨雄缝绘秽去躬捎猖娠府钒篓驻卸藻陀第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,不正交,届捡帅珠鸟稚嗓景十阴号垒东懈乍昔笺物复恢宜煽袱六受崎绎葫苦套逛咽第三章矩阵和向量的应用第三章矩阵和向量的应用,