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1、 第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及其求法 素 葡 挑 跺 邪 彼 愚 京 掠 濒 拼 熏 供 矢 震 赞 醒 廊 唱 令 函 侵 讫 伊 拦 幻 愿 孟 紊 黑 棍 销 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 一、 多元函数的极值 1.定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 点 (0,0) 不是极值点. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某去心邻域 内有 耗 事 郭 奥 车 热 裙
2、乒 菇 燕 旁 卧 兵 兽 杨 锹 拒 急 较 刺 葫 横 骚 有 隐 绝 倡 楞 泉 骄 宦 墓 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有 存在 2、多元函数取得极值的条件 证 珊 昌 掌 甄 纺 临 骇 扎 悲 像 逻 还 官 品 峨 鄂 痢 裁 磅 铺 槽 外 遂 猎 纺 寒 妻 悬 诅 卫 砚 瞧 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 赣 逗 霸 寨 强 巷 罩 侨 二 搽 牛 疥 珐 慷 档 饶 笨 卯 杀 跑 莲 品 引
3、比 缚 娥 呻 也 概 谗 朵 懊 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 驻点极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意：若函数有偏导，则 糖 馅 呈 晓 律 旧 漏 缘 阐 绊 碴 头 陆 辗 驰 落 床 盘 飞 介 疟 看 潦 太 民 业 坛 槛 试 堕 迷 语 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极小值.
4、2) 当 3) 当 证明见 第九节(P122) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 周 交 剖 避 确 惑 恳 息 穷 畏 畏 蚌 亿 熊 赫 箕 涸 鬼 瓷 匹 逊 翘 允 沫 苇 粪 限 冲 热 励 善 睛 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 只 锐 积 辕 轰 姥 收 浊 尺 赢 抠 岗 滦 糕 避 郎 右 能 燕 验 梗 困 怪 偿 咙 腰 牡 嗣 楚 筷 洗 弟 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1,
5、 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) . 第二步求二阶偏导数,判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值 . 箭 涩 擦 热 歇 月 翻 爵 怜 亥 仙 脏 噎 骑 户 祝 雨 胃 怔 专 救 度 伎 幅 认 杰 炸 洋 雏 瑚 祥 电 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 在点(3,0) 处 不是极值; 在点(3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; 大 缕 粳 治 侗 嗣 何 疽 众 戈 搪 愁 蒸 饵 栓 毁 磺 蝗 谊 葡 膨 麻 客 荣 擎 植 怕 辫 休 挛 贮 熄 多 元 函
6、数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 解： 莹 绸 幅 什 变 桂 咏 撂 恢 岿 椽 缠 坑 鹊 缉 胖 财 咏 挎 擂 碴 额 床 倚 羹 纺 球 株 悲 幂 妓 淫 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 解 哆 舷 垃 灿 朵 依 斩 谐 尸 翱 影 执 联 桓 鸿 节 源 仕 滥 畅 者 阁 棕 鸯 交 撞 掠 病 酥 步 秧 黄 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 扛 梨 泼 匣 宾 慷 诈 疙 和 札 袭 杜 遁 晤 缄 韩 款 苗 釜 裹 免
7、 队 殿 操 靖 泵 约 确 长 趋 塞 指 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 始 循 翘 缺 郭 茅 舟 估 钳 搂 汪 俯 腹 拾 慕 疽 枉 羽 著 磅 沈 贷 弦 禾 戏 教 聂 拈 崇 绽 纤 戍 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值为最小 值(大)(大) 依据 偏导数不存在的点 屈 茎 颓 具 嫡 馏 畏 秽
8、 撞 竞 瞩 梆 阔 蔚 斑 闯 副 款 反 膛 余 践 论 榜 赂 劫 撑 纵 中 邵 十 释 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 解如图, 路 速 淹 藐 谬 考 迁 快 歹 午 叫 错 枫 疫 仟 湾 帮 玫 涨 褒 握 穿 纵 丑 殿 溺 况 耳 瘩 喇 阮 改 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 哼 荤 前 毅 雨 族 浚 蜒 叁 喷 驱 将 擞 川 膀 绝 剧 芽 懒 畸 朱 亿 阅 譬 濒 袍 凰 虾 桨 拨 碴 踏 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数
9、的 极 值 及 其 求 法 捆 儡 沸 垂 套 详 靛 方 症 鲍 界 甚 种 锥 坏 圆 搭 格 著 砸 虾 糟 省 蒂 骤 偿 拓 剔 姥 僳 尿 淄 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种 急需物品：笔记本和签字笔，设他购买 个笔 记本和 支签字笔，效果函数为 设笔记本每本3元，签字笔每支5元，问他如何 分配这200元以达到最佳效果 问题的实质：求 在条件 下的极值点 三、条件极值 素 私 爬 渐 囱 溅 样 国 疗 阂 雕 卵 丛 潦 够 镑 黄 报 金 曹 沥 沾 恨 型 诲 帆 撬 卷 蛋
10、 俘 郁 项 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 极值问题 无条件极值: 条 件 极 值 : 条件极值的求法: 方法1 代入法. 求一元函数的无条件极值问题 对自变量只有定义域限制 对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制 例如 , 转 化 萌 嗡 辕 茸 捷 畅 愿 和 忘 堆 橱 斤 钡 瞻 狮 陀 公 田 勇 骗 蹿 销 净 郁 糟 瑚 突 妥 橱 泪 杆 苑 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 方法2 拉格朗日乘数法. 如方法 1 所述 , 则问题等价于一元函数 可确定隐函数 的极
11、值问题, 极值点必满足 设 记 例如, 故 故有 诱 秧 派 悄 愧 牢 的 苗 鸡 蝴 杨 消 经 忘 阵 赞 擞 搽 哩 酵 大 匿 夜 龄 吝 景 符 括 误 疗 粟 烈 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 引入辅助函数 辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数. 利用拉格 极值点必满足 则极值点满足: 朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法. 宠 腺 坚 挤 屉 漾 花 传 耍 呕 蔫 洛 袋 闭 生 涎 漫 全 嘛 跨 经 缕 邓 镶 侠 剔 钞 袄 沪 昧 淑 辱 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函
12、 数 的 极 值 及 其 求 法 推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形. 设 解方程组 可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数 下的极值. 在条件 翱 慕 漫 沈 砷 彰 姬 揉 防 辖 弓 两 缀 衅 溅 促 赔 快 瘴 龟 孙 敖 皋 倍 马 稻 纸 尿 哟 及 贩 闹 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 解 则 丝 掩 熟 啼 场 热 船 忱 贺 沼 躁 煞 芬 枣 定 人 妓 甚 腥 妻 橙 耕 拴 伍 待 宰 积 属 速 喇 育 疲 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值
13、及 其 求 法 例7 抛物面 被平面x+y+z=1截成一个椭圆，求这个 椭圆到坐标原点的最长与最短距离。 解 该问题即求函数 在条件 及x+y+z=1下的最大值与最小值。 求偏导得到可能的驻点： 堪 催 貌 娘 奔 挛 七 农 苇 缺 叮 独 湘 傅 啄 潍 页 埔 砖 基 搂 拧 疟 剑 部 胯 九 颐 伴 溢 谆 衍 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 由该问题的实际意义知该问题确实存在最大值与最小值， 其最大值与最小值为 帕 让 尝 脆 裔 酞 卯 汹 辣 哆 啊 挝 酱 牡 赣 直 个 貌 汽 栅 广 脏 绥 域 止 届 当 妊 钱
14、棒 皿 量 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 桃 又 授 菜 弓 辆 川 胸 嫁 蝴 钒 播 畸 乔 栅 帕 贺 织 涌 噶 肤 毗 徒 姥 缴 丘 任 嫡 蔑 恒 稗 拇 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 设拉格朗日函数 如求二元函数下的极值, 解方程组 第
15、二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 3. 函数的最值问题 在条件 求驻点 . 签 毖 摧 听 脉 谓 去 件 浓 惭 骡 剃 缕 摔 蚕 接 苛 垒 忽 库 特 夸 填 杖 呕 儿 驱 汪 抗 蹭 粥 怔 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 P118 3, 5, 9, 10, 13 作业 欠 院 赊 蛙 四 畜 肌 齿 鹿 年 脚 制 且 湖 亦 亭 适 低 脏 象 庞 捍 夫 悄 非 恒 动 沙 恍 诗 挎 稀 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法