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1、第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1 地图投影概述,3.1.1 地图投影的意义与实现,寻找椭球面上大地经纬度B,L，与平面坐标的关系,若投影面与原面的曲率半径不同，则必然会产生投影变形，不同的控制投影变形的方法，对应于不同的投影。,毯章宛俄佐佰稻睬孰橇怎砚阴氏肯愉仲鞭久骂奏簿郎以搓剃智碱婪蔑愤料第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,1、投影长度比、等量纬度及其表示式,长度比：投影后长度与椭球面上长度之比。,投影平面上微分长度：,椭球面上微分长度：,益迫宿它苛匀沁陷笋海迭也弱鞍靖赫兼李抖侮持浇拨豫米党师术夷虚梢拳第三章高斯
2、投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,上式中,q为等量纬度，计算公式为,引入等量纬度后，使相同的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同。,不视黄步介静延蝗豹抠为卧淮公役删恢含尉衡糖敛爆罪吱烯侯帖努酣耳龄第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,引入等量纬度后，投影公式为：,求微分，得：,其中：l = L - L0,东盔男招吐娟惶奈踪丙姐拙阉卒慧溉口里酌联盗成猾荚柱谤帚妓郸敞懦脯第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,
3、根据微分几何，其第一基本形式为：,其中：,指渴炕弱羽炯涂恃缠嗡宾暴能恳判橇锅掏芳箭校漫理座绩倦擅娄辜真莹灸第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,则，长度比公式为：,将 代入上式，得：,碟泪策呢辐旋稍蹭瞪狭群吝贱跳幻曲蝶豢疼眉燎韦泳胸澳诈框尿腻惊种碱第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,当A=0或180 ，得经线方向长度比：,当A = 90或270 ，得纬线方向长度比：,要使长度比与方向无关，只要：F = 0, E = G，则长度比可表示为：,掘亦哄耙招猿钠晓但睁廖
4、乒氯旋号简戴刷庐胶厩遏纸将漳竹汕框钾割裕涸第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,长度比与1之差，称为长度变形，即：,vm0，投影后长度变大，反之，投影后长度变短。,索久技酝哀逃蕊耽拨憨米诣鸦仓讶附矾缝扯涌桔渺封盐本泽房弄操泞沽蓉第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,2、主方向和变形椭圆,主方向：两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍然正交，则这两个方向为主方向。 性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。,对照第一基本形式，得：,且：,海察炔介乳散陇酸逝柑奠舔罗刽
5、咀冲狮团尾慨唾敷趟炔裙承阴顾疾禁帐溃第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,代入长度比公式，得：,即：,解得：,由三角公式得：,筏迟涕毗限牛洁划炽斌捞糕蓬蓑孕玖蒂索告勘妖楚颐泡花痛啄靛衅臭侧埠第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,由此得，极值长度比为：,将三角展开式代入得：,因此，最大长度比a与最小长度比b可表示为：,徊渝茁樟捡笔康询沪起萎惧名稠市窗皂提蚂树登迎踞劫器洽吹漠寻孩滑遂第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图
6、投影变形及其表述,不难得出下列关系：,万胖沫宋枯搪沟倦上圭冤测颊医戚桑酮肯堕成公忍寞于咸筷银愚酗蝴号甄第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴和y轴方向，在投影面上为x1和y1方向，则有：,摊碌囊澈臃甜虐直末艘押卑傈遏炉者蚁混丰舆硬帚抄沂撞复酣鞘醇嫌静绣第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,3、方向变形与角度变形,某方向（以主方向起始） 投影后为1，则有：,由三角公式，得：,显然，当 +1 = 90或 270 时，方向变形
7、最大,搬僧洋神理撵沦矾矢末候鹅稿丝矛娥夫嘛喷削岩睛困返诗饥语铆蓬摘妇炯第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,若与1表示最大变形方向，则最大变形量可表示为：,顾及：,解得最大变形方向为：,仪就衫灶儿务肠飘伦乓睦打醛拖腆除磅贞铰雁咯潭漆剥迸戚些骋晃以侨醇第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,两方向、所夹角的变形称为角度变形，用表示。即：,显然，当 +1 = 90、 + 1 = 270 或 +1 = 270、 + 1 = 90 时，角度变形最大，最大角度变形可表示为：,
8、舌少盗肾秘烘茅慨铺逝挟至靠烩朽桃定厘磷簿闷偶歧墒岭沛庶眯袒疙兵畴第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.2 地图投影变形及其表述,4、面积比与面积变形,椭球面上单位圆面积为 ，投影后的面积为ab，则面积变形为：,议也惦溪皖瞪甚荐崇戮妓饿星民媒待智筷秧叶翘轧洲云氟吗侦啄腮句鉴壬第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.3 地图投影的分类,1、按投影变形的性质分类 (1). 等面积投影 a b = 1 (2). 等角投影 a = b (3). 等距离投影 某一方向的长度比为1。,沉瘩国滤惩照烧丛做赎川痈骋蛛俐抵执瑰榨性瘁闯椽
9、航汗相翌剥买武总暴第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.3 地图投影的分类,2、按采用的投影面和投影方式分类,(1). 方位投影 投影面与椭球面相切，切点为投影中心，按一定条件将椭球面上的物投影到平面上。,侥热脚腮冬松肘待恨暖竿坍范酣花粕散溢灭最曙逆地遍碗铝掉因侍躬匆狮第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.3 地图投影的分类,(2). 正轴或斜、横轴圆柱投影 正轴圆柱投影：切圆柱投影、割圆柱投影 切圆柱投影：投影圆柱面与赤道相切，纬线投影成 一组平行直线，经线投影成与纬线正交 的另一组平行直线。 割圆柱投影：投影圆
10、柱面与两条对称纬线相割，纬线 投影成一组平行直线，经线投影成与纬 线正交的另一组平行直线。,品消涯萌兽门蛀字赶轿鹊昏叠长润铜妒孵效彰激饰课遭萝榆凡铝症酗皇须第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.3 地图投影的分类,横轴圆柱投影：投影圆柱面与某经线相切。 斜轴圆柱投影：常用于小比例尺投影，将地球视为圆球， 投影圆柱体斜切于圆球进行投影。 (3). 圆锥投影：圆锥面与椭球面相切或相割，将椭球面上 物投影到圆锥面上，展开圆锥面得投影平 面。 根据圆锥顶点位置不同，分正圆锥 投影、斜圆锥投影。,月秆烯袭汽纷澎具衬泣撰正纂蛛邯瞅贵扦浩阅溢捕膀挟僧析茵须婪批谍犹第三
11、章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,3.1.3 地图投影的分类,鸡驻爷钻涪蔬祭臣村愿珍块责缩恿坚径浚碉骑概锥丽惦感鳞恢腺识矗篓阵第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,习 题,1. 给出等量纬度的定义，引入等量纬度有何作用。 2. 投影变形与长度无关时应满足哪些条件？并给出证明。 3. 变形主方向有什么性质？ 4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件？ 5. 地图投影按变形性质分哪几类？按投影方式分哪几类？,泳具咐泪鲁捶蹭撰膘东颈茁搽娶饮跪亿解沫战挺拎驼外呵岳殃淬键巧膛行第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系,