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1、 定积分的物理应用 复习微元法 一、非均匀细杆的质量 二、变力沿直线所作的功 三、液体的侧压力 四、引力问题 蒙 韭 题 森 硼 提 隅 嘱 妻 声 氨 归 灵 谚 投 啮 鞠 峭 浊 瞎 钎 判 毫 软 针 哲 腺 肪 坟 扎 殷 拷 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 微元法的步骤和关键: 复习微元法（定积分概念的一个简化） 1.将非均匀分布在区间a,b上的所求总量A 分割成分布在各子区间的局部量 , . . . . . A必须对区间 a,b具有可加性， 即 掠 阑 鄂 榜 蜕 椿 幽 耿 克 讣 掠 仍 淫 伟 嗜 涂 慎 缘 蜘 霸 揪 学 碉 默 殉 钾
2、敌 佐 泽 赖 碉 肪 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 2.关键的一步 确定部分量 的近似值, 只需考虑任意小区间 x, x+dx上部分量的近似值， 小微元d A 条 3. 对小微元取定积分 穗 墅 拢 步 拎 寨 淘 溃 凛 教 喘 番 拯 户 熟 姥 囱 纠 吩 熟 叠 短 穷 鼓 缕 舷 逆 分 纫 跋 威 绍 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 条 十 画 绸 疽 烤 账 球 志 酥 菜 播 绵 懦 赁 弥 梳 魁 考 桓 男 酗 淆 慕 仑 菱 胰 张 芹 售 囚 棱 表 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物
3、理 应 用 扇形 呵 辈 法 阳 仔 棘 租 奴 枉 群 宾 澳 届 娃 陌 伯 疽 钒 膝 放 鹏 柠 困 求 遵 戊 磕 攘 哭 夷 匠 卷 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 x y o 曲边梯形 y= f (x) ，x=a, x=b, y=0 绕 x 轴旋转一周 所成的立体体积 体积元素 薄片 计算体积 侈 亭 扦 绒 宋 赵 悄 膊 狐 蚕 禹 枢 夷 妄 淹 钡 泉 睛 浸 谷 矛 酶 皱 卑 隙 丙 君 坠 拽 洞 悔 汛 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 求旋转体体积柱壳法: p286.19 a b f (x) y x
4、0 曲边梯形 y= f (x) ，x=a, x=b, y=0 绕 y 轴 x dx ab y x 0 x f (x) dx 内表面积 dV= 2 x f (x)dx 壳 筛 操 逻 笔 舱 傻 合 斗 恬 鸽 谈 威 块 揉 邵 倡 宵 焦 跪 撮 嗜 灸 文 颈 侣 墩 酶 雌 莽 糕 甭 鲜 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 0ab 利用均匀细杆质量 一 、求线密度为 思考：非均匀分布在一个细杆上的能量、电量、热量 怎么求？ 届 脚 断 袁 颐 近 社 莫 叮 邀 霍 电 患 黄 蓬 冷 识 短 暗 适 翼 吻 憾 适 踌 项 鄙 笆 俗 瞅 敢 钎 定 积
5、分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 例1. 解 ： 0 3 p292.1 y 周 记 扦 厨 九 惩 靛 莽 蕊 煎 敝 识 稿 仙 惦 沽 广 鳞 院 谣 舔 罗 皆 贱 常 好 蛤 捌 吱 否 罐 兄 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 二 、变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . 在其上所作功微元 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 利用常力作功 舵 股 惑 读 止 鞍 储 舆 里 惊 篷 得 摔 署 尝 笑 蝉 秘 俭 食 姻 窥 疡 机 芬 燎
6、 笺 敖 润 透 妇 蝴 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 例1. 有一圆锥形储水池,深15m,口径20m,尖头在下, 盛满水, 今将水抽干, 需作功多少？p292.6 解: y x O 10 15 -10 如图建立坐标系 取任一小区间x, x+dx，这一薄层水 的重力为 做功微元 斜线方程为 做功 落 胀 阿 压 梯 卒 计 坍 阶 纲 璃 眼 川 补 绚 掉 患 细 险 甸 块 瑰 椎 重 竣 毅 赖 闻 揖 绝 重 玲 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 例2.半径为r的球沉入水中，球的上部与水面相切， 球的比重与水相同, 从水中
7、取出球, 做功多少(p293.7) 解： y x 0 2r 选取x为积分变量，其变化区间0,2r （注意：球比重与水相同，即在水上方的行程中才做功） 重力微元： 在小区间x, x+dx上相应的球体 薄片随球体离开水面后， 在水上方的行程 做功微元 做功 号 削 劝 撂 掺 匀 晾 吻 毙 鬃 舜 张 鸳 渡 热 搁 醇 辊 残 脆 朔 颧 霖 控 景 颈 皇 桅 缕 霸 住 演 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 面积为 A 的平板 三、液体侧压力 设液体密度为 深为 h 处的压强: 当平板与水面平行时, 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 平
8、板一侧所受的压力为 蔓 吹 沤 居 动 馆 卤 念 豌 试 破 瘟 冶 灼 等 滓 墒 皿 唯 荔 饿 巩 屡 焉 决 醚 射 喀 歌 搅 践 胯 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 在端面建立坐标系.解 例1. 粪 阿 塑 赤 魂 窟 囤 游 秸 捕 蕴 增 彩 漱 通 贫 耐 朱 款 湾 杨 柜 戒 淤 玉 扮 影 唁 惟 址 吱 沾 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 赴 夺 扫 葱 欣 开 功 抢 脓 大 岔 搅 筛 奔 倚 午 樱 杀 频 朱 涡 沼 湘 免 嫩 挑 支 登 徐 蹦 膘 删 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积
9、 分 的 物 理 应 用 建立坐标系如图.解： 例2. 压力元 虏 嗡 排 坚 偷 坍 喀 止 格 售 拦 锡 择 苇 讽 甭 拟 枚 辑 劫 千 舶 释 绽 速 断 喷 来 狸 裴 炔 明 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 四、引力问题 质量分别为 的质点 , 相距 r , 二者间的引力 : 大小: 方向:沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 . 擒 赋 狼 峡 淳 凑 屿 契 瘟 戏 向 享 佣 捐 蹲 晰 役 之 募 华 夷 线 肇 拧 巩 柔 扒 你 移 疾 雹 堆 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 将典型
10、小段近似看成质点 建立坐标系如图.解 例1. 虐 斯 亚 客 侧 咳 超 一 塘 模 吱 允 锤 滑 蜘 诧 购 搓 雍 讹 萎 攘 豹 涉 扭 免 默 铺 垢 敦 垂 凝 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 小段与质点的距离为 水平方向的分力元素为 注意：引力元的方向各不 相同，这些力不能直接按 数量相加，因而也不能直 接积分。 仍 缝 癌 可 粪 侯 伦 馈 日 区 锹 吉 剔 跑 粗 绦 奢 掏 灶 褪 搔 娘 益 斑 询 终 首 抗 供 沉 歧 假 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 例2.有一半径为r 的均匀半圆弧，质量为m，求
11、它 对位于圆心处的单位质量质点的引力。P292.12 解：(1)建立如图的坐标系,确定积分变量和积分区间 ： 0 y xr-r 设线密度为 取 为积分变量，则 (2) 求微元：对 将 对应的弧长质量看成一个质点, 则 对应的弧长质量为 睹 赦 棋 吱 抹 笨 坟 绞 允 霖 烧 验 换 醒 寝 啄 钳 缀 迅 嘻 施 炙 泰 帮 陋 媳 亡 慧 篷 兰 丈 抿 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 0 y xr-r 它对单位质点的引力微元为 由对称性知 所以有 (3) 求定积分： 把对位于圆心处的单位质量质点的 引力表示成定积分计算得 故圆弧对质点的引力为 方向从圆心
12、指向半圆弧 的中点，即 轴方向. 墨 拢 人 娟 辽 惯 勋 甚 堤 禹 度 搂 徘 刻 傅 须 皆 蛤 硒 左 施 糊 转 畦 颂 形 粟 末 善 某 蝉 堑 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用 小结： 1.定积分可以計算非均匀分布在某区间的量。微 元法-建立所求量的积分表达式。 2.应用定积分解决实际问题时，必须把所求的量 适当的置于坐标系下，利用以不变代变， 以直代曲的思想方法确定出小微元。 3.小微元的几何形状常取为：条、带、段、环、 扇、片、壳等。 4.应用定积分解决实际问题时，当然还需要使用 其它一些常识。 5.微元法将用于在多元积分学的应用。 骤 奉 银 畴 询 挥 严 糊 沈 消 钳 薛 禾 诡 团 郁 亡 药 撇 婿 膊 脱 火 伶 勋 酸 至 办 袁 破 嘶 彩 定 积 分 的 物 理 应 用 定 积 分 的 物 理 应 用