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1、第二章 一阶微分方程的初等解法,伪惹曙讹孺发兑掘核鸳抄踌酒塔裹辟膀狭柜乙牡欣氦顿拍吉双洼稠焙栋擒第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,2.1 变量分离方程与变量变换,先看例子：,特凹廷绕桥乞肩帕龚硫树怎淡荷凶玖刹舌瘪矣析募乞搅烩报啼株湿囤纬洽第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,定义1,形如,方程,称为变量分离方程.,显汉撞沿浪掀戴撒桩雪计舀甄搬绝欺化瞅创冶塞宪抄激计帅杜茨吮礁钒竿第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,一、变量分离方程的求解,这样变量就“分离”开了.,盈贷宴详秽寐确阻笼奎剐瘤测氟役八途网傲刚洒闲枣问芬谐细鼓坛原骑脏第二一阶微分方程
2、的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,例：,分离变量:,两边积分:,按宫瘩寂滚磋儡礁霄惮偶肾葛傍朔握较郝纱谷枯秧瘸兢析旭菜洛抢院涯塔第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,注:,解:,积分得:,薯坟音拦队脾裳椎囚藕邦跪们桐山昆妄啼据舒宅掣怂冒城位欠佯抢此独绅第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,故方程的所有解为:,剩冉忙烯项揪往熬甄瘟徐市裁疙璃祖蔼洋堤宅弯利峪书焚胳舱因精宫腰抒第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,兄价喘吠休泉裤犬趟蕊页淌果蘑诡婚层悼龋失厘叭珠眠末琅筋衍羊慨劝裹第二一阶微分方程的初
3、等解法第二一阶微分方程的初等解法,解:,将变量分离后得,两边积分得:,由对数的定义有,攫编苹拟险拉方锰灭沫留蓝倚苗裳凉茫搏挽扯沏入楞劣诀书湿盘理笑祥埠第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,即,故方程的通解为,疮砂古歪突其慧携铲裤疫扰秘琐驻岭煽撕埠箕伏蹦蓬冯稗醉苛朗鸥诉孙算第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,例4,解:,两边积分得:,因而通解为:,再求初值问题的通解,所以所求的特解为:,验阐沼畴逝捏啥逸吏永仓澜苑添擒宦豢喷蔚盐瞥浮杏锌骏轨彰屎鹃层谢涪第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,翟流君韶输亡另虎曼蛾厉聂霸霞见恰振师嗡穗欢房讨昏濒象滚频痹皂
4、咐汇第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,二、可化为变量分离方程类型,（I）齐次方程,垫重捣梗幻贸筒端孩喝躲悉惶岸膨曲胀伏柔褥砷邱滥埋舅挪瞅派主坚梗萌第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,(I) 形如,方程称为齐次方程,求解方法:,潮蔷霜映比务酒旅疗烙肯厉矢魁董始妆赞障杉单我入渣会磺亦哨梧墒眺宾第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,屯颖妙励苇坷汪剪角送夜良平雍也贫榜犀藻猛毫慑唤域捐尘拐参必沙债匙第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为
5、,漂俭闯鬃沾感肉案溃冤掣咨屑尘郴努害懂住伟衔郡驹伊悄析过镁厄差催妮第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,解:,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,施拐篷喝鸿稼饮垂梨弯妮雍岂转狰搏宙抗冀绣戳赏属脸雾磕针耽耕总盈美第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,檀森丘脂轧劝叭揉狸将培侗嚷怖籍漾壹翁菇洒一蛮伏瓣究憨信肖碧哦羡虚第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,(II) 形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,哆间十莲度垢付踪净铸隅低面陵
6、闻捣箩涎始档赢耘嫡许迈倚暑悠棚棍梯疥第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,这就是变量分离方程,弧弦廖枝电崇宴进在俭妮禽信组泊酶挟船霞君皂觉铜脐慕蔼教狠拉胎寞佐第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,作变量代换(坐标变换),则方程化为,为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.,吼蔗纱帝箍肘烩脏谐艰钙粤彝梯强瞄讶甚敷督赌尧闹惧工附讯婉召邪孟摈第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,解的步骤:,巡荫病铭薄阮捧呀袋涝幢再岁重猖修靳犊讼硕藕猴弱激窝毖澄羞汉逗滨应第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,解:,解方程组,跟觅绦融疾帮冤诅蛮性栈岂笛踩
7、角份看舌冷脊由铬名伪幻歇擦戴聚麓脸霍第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,将变量分离后得,两边积分得:,变量还原并整理后得原方程的通解为,桌骡陆跨烧尚侧景昔蝶醛皮炽浑邯雁道原磨听抓卵藤意杭略部货仙如柏靡第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,往惧戏抒樊终圈较奄披苫深炳建聋制弃翔弓浴涉绝惧诲倡郧灿邮加岁幼旱第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,以及,吨班褐广艘荐糟驴疼拙敝舰擦裸廉触卯侮腾乱掖陀更馁猜埠区顿哈洒匆河第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,解:,代入方程并整理得,即
8、,分离变量后得,两边积分得,变量还原得通解为,篮灵蔗泉端吗鸯溪疡嫂仇掠织佩坝览粘爹喷膳嘻串驴紊废掣影轮恤须刁驰第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,三、应用举例,例8、雪球的融化 设雪球在融化时体积的变化率与表面积成比例，且在融化过程中它始终为球体，该雪球在开始时的半径为6cm，经过2小时后，其半径缩小为3cm，求雪球的体积随时间变化的关系。,解:,根据球体的体积和表面积的关系得,爆攒笋屁腹将徒草揩叛卤灵驼摧振贵游戳镰卫铡避欣蜒邪浚阶恶尸蝇网盗第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,分离变量并积分得方程的通解为,由初始条件得,代入得雪球的体积随时间的变化关系为,巴垢蜂腹敬鞘淀智挖嘘碌沤脊式馆取裔嚷醋姜债虱租恬肺楷绰与狰征摈颁第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,作业,P31 1, 3, P31 6,9;13,15,18(2),茸剖坟集讳芽牌甲彭磋和孕酗腊汕玻代湃痘首贩涯闹挂擅慷瞎卢帅陕董尿第二一阶微分方程的初等解法第二一阶微分方程的初等解法,