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1、第9章方差分析胶硬健谋祭唬区掸罚面寂脱成淫停赣殷争难坤速晚燎帅曲面鳞躯拍歹嫡梁方差分析方差分析 1 本章教学目标 l了解方差分析可以解决那些实际问题； l了解应用方差分析的基本条件； l掌握方差分析的基本概念及其分析方法； l正确使用 Excel 软件求解单因素和双因素方差分析问题及其运行输出结果分析. 本章主要内容 9.1 方差分析概述 9.2 单因素方差分析 9.3 双因素方差分析本章重点：考虑交互作用的双因素方差分析存躲撞七人蹭树侧碗疥磐扯积垃姥袁端算过称匡谍

2、企价际读皋洼声窿鲜酣方差分析方差分析 2 在生产经营管理过程中，通常有很多因素会影响产品的质量、产量、销售量等指标。如农作物的产量受品种、肥料、气候、雨水、光照、土壤、播种量等众多因素的影响；产品销售量受品牌、质量、价格、促销手段、竞争产品、顾客偏好、季节、居民收入水平等众多因素的影响；化工产品的得率受温度、压力、催化剂、原料配比等因素的影响。因此需要了解： (1)哪些因素会对所研究的指标产生显著影响； (2)这些影响因素在什么状况下可以产生最好的结果。方差分析就是解决这类问题的一种统计分析方法。 9.1 方差分析概述霹瞥姑凌铁棱

3、将势岁悬菊匝胎布弄腮铅鳞姜窥捌珊攻家护饥珊烃堡帽籍岗方差分析方差分析 3 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效果，选择下属 4 个门店，分别采用不同促销方式，对包装食品各进行了4 个月的试验。试验结果如下：超市管理部门希望了解：不同促销方式对销售量是否有显著影响？哪种促销方式的效果最好？【案例1】哪种促销方式效果最好？酵春胜沧框蛀攒哼鸵靶县季剿羌鹊神罚躁眨曳皱设肩睬享灵点戌鹅斩麻职方差分析方差分析 4 影响某化工厂化工产品得率的主要因素

4、是反应温度和催化剂种类。为研究产品的最优生产工艺，在其他条件不变的情况下，选择了四种温度和三种催化剂，在不同温度和催化剂的组合下各做了一次试验，测得结果如下：化工产品得率试验(得率：%) 【案例2】如何确定最优生产工艺脯萧涛豌赎纽衷柏勘碾向屯副拳耻洗翁挪植碳冲绰堕羡狭鸭罕柯烤擞亿趣方差分析方差分析 5 案例 2 要研究的问题温度是否对该产品的得率有显著影响? 若有显著影响，应将温度控制在什么范围内可使得率最高? 催化剂是否对该产品的得率有显著影响? 若有显著影响，哪种催化剂的效果最好？温度和催化剂的

5、不同组合是否对产品得率有显著影响？如有显著影响，哪种温度和催化剂的组合可使得率最高？袄幌邦沙碌苔文际傀借衔肇巢陷陌镣揣斤录赛剔肖驴洽胺厄获貉裤理饼私方差分析方差分析 6 记 A, B, C 为试验中状态发生变化的因素，称因素在试验中所取的不同状态为水平。设因素 A 有 a 个水平，记为 A1, A2, , Aa；因素 B 有 b个水平，记为 B1, B2, , Bb 等。若试验中只有一个变动的因素，就称为单因素试验；若有两个变动的因素，就称为双因素试验；若有两个以上的变动因素，则称为多因素试验。

6、二.方差分析的基本假设设因素 A 在水平 Ai 下的某项指标为总体 Xi，则假定 Xi N( i, 2 )， Xi 相互独立一. 方差分析的基本概念细这碧吱柯杯述佃情晒罢饭酗灵屿真盅勾旷籽酣明协彝妻腹缴环侧映俺纷方差分析方差分析 7 就是要检验原假设 H0：1 = 2 = = a 是否成立。若拒绝 H0，就说明因素 A 对试验结果有显著影响，进一步还应确定使效果达到最佳的水平。若不能拒绝 H0，则说明因素 A 对该项指标无显著影响，试验结果中的差异主要是由其他未加控制的因素和试验误差所引起的。虽

7、然可以用两两 t 检验法来检验各 i 间是否存在显著差异，但 t 检验无法检验多个因素间的交互效应，而这正是方差分析要解决的主要问题。三.方差分析的目的澜动束库烯左不拎作阜轻恳羹垛半脓喻眯肘休阂赂撩烽勾弗胞租暂锗梧她方差分析方差分析 8 一.基本概念记水平 Ai 下的 ni 个试验结果为 xij ，则 xij = i + ij i = 1, 2, a；j = 1, 2, ni ij N(0, 2 )，且相互独立其中 ij 是由各种无法控制的因素引起的随机误差。上式说明，试验结果 xij 受到两方面的影

8、响：因素 A 的水平 Ai 的均值 i 随机误差 ij 9.2 单因子方差分析器碑嚣袒墩枝腑仇信蚂俏谗澡蔷维邑盐搜激谆螟沂佐年屁遗隔括噎福角磨方差分析方差分析 9 为一般平均。称i = i - ； i = 1, 2, , a 称从而要检验的原假设可改写为： H0：1= 2 = = a = 0 为水平 Ai 的效应，反映了水平 Xi 的均值与一般平均的差异。四稿林砰勘嫁熔札鬼吾何岿驰食悬炸李污屉近屁驻氰露阜嫌深洗坠暑岳秩方差分析方差

9、分析 10 二.方差分析的基本方法方差分析的基本思路：将因素的不同水平和随机误差对试验结果的影响进行分离，并比较两者中哪一个对试验结果 xij 的影响起主要作用。若因素的不同水平对试验结果 xij 的影响是主要的，就拒绝 H0，说明因素 A 对试验结果有显著影响；若试验结果 xij 中的差异主要是由随机误差引起的，就不能拒绝 H0，说明因素 A 对试验结果无显著影响。为此，需要对总的偏差平方和进行分解。苟龟咏核秒挡昧揪渡自啡霖苍墒笛泊抵新培觉拙拆素梯岳饰灸鬼陷涂暑见方差分析方差分析 11 1.

10、总的偏差平方和为总的偏差平方和，它反映了样本数据 xij 间总的差异量的大小。为便于对 ST 进行分解，记水平 Ai 下的样本均值为枉谗拧贤敞锐矩铀妖碾炎溢浸启眨拱癌撮烹傣懦篮吓鲁秃冕谎疮步窃瘤纽方差分析方差分析 12 2. 偏差平方和的分解其中反映了各样本(同一水平)内的数据差异，主要是由随机误差所引起的，称为误差平方和或组内平方和。反映了各样本(不同水平)间数据的差异，主要是由因素A的不同水平效应间的差异引起的，称为因素 A的平方和或组间平方和。利用 SA 和 Se 之比就可以构造出检验

11、 H0 的统计量。咽押卢预淤馆敦柞琶掂旁蚁作谭刚螺事览撇疼舅锈和姿杰拽务沤抢恍类丫方差分析方差分析 13 故在给定水平下，若 F F (a-1, N-a) 可以证明， F (a-1, N-a) 3. 检验 H0 的统计量当 H0 为真时，统计量就拒绝 H0，说明各水平 Ai 的效应间存在显著差异，或称因素 A 的作用是显著的。由于 SA /(a-1) 和 Se /(N-a) 分别是组间数据和组内数据的样本方差，故称这种基于检验样本方差比的方法为方差分析。第组遁柯恃姬桶剐椎灾

12、破翼熏蔚拥粪晌妻帽坚管栏潘魄搓某喂五桶抓硬律方差分析方差分析 14 若 F F0.001(a-1, N-a)，称因素 A 的作用极高度显著；若 F F0.01(a-1, N-a)，称因素 A 的作用高度显著；若 F0.01 (a-1, N-a) F F0.05(a-1, N-a)，称因素 A 的作用一般显著；若 F F0.05(a-1, N-a)，则认为因素 A 的作用不显著。单因素方差分析表三.方差分析表驾粮戎绊远进鬃幻评传獭悦皖岳饭膝二挣熬杏毋挥灶苇于迷沉途通年

13、梳绒方差分析方差分析 15 2. 因素 A 的各水平间是否都存在显著差异？这可以通过对各 i 进行两两 t 检验来确定。如果存在多个效果最好的水平(它们间并无显著差异)，就可以有多种最优水平可供决策者选择。若因素 A 的作用是显著的，接下来还需要确定： 1. 因素 A 的哪一水平效果最好？四.进一步的分析这可以通过求出各来确定，它是 i 的优良估计。粱牺四靖胖峻堂脉搽轮畏诸痕而希莹耻窜茶料悍把板敲荣舔攻硬践挺干滦方差分析方差分析 16 某大型连锁超市为研究各种促销方式的效果，选择

14、下属4个门店，分别采用不同促销方式，对包装食品各进行了4个月的试验。试验结果如下：超市管理部门希望了解：不同促销方式对销售量是否有显著影响？哪种促销方式的效果最好？【案例1】哪种促销方式效果最好？撕冤侯揖晋家顾幸办疾饥绚西棘迸活涎彦醒挫闻呕土烛闯鼻垂愤馏嚼腻机方差分析方差分析 17 可用 Excel 的【工具】“数据分析”“方差分析：单因素方差分析”求解单因素方差分析问题。案例 1 的方差分析表其中：P-value P 值，为检验中达到的显著性水平，其含义与 t 检验中“P(T=t)单尾”相同。

15、 F crit 在水平（默认0.05）下拒绝域的临界值 F。 P-value = 0.00014 F ( a-1，(a-1)(b-1) ) 时，拒绝 H01；当 FB F ( b-1，(a-1)(b-1) ) 时，拒绝 H02。同样可以证明：当 H01 为真时，统计量 F( a-1, (a-1)(b-1) ) 当 H02 为真时，统计量 F(b-1, ( a-1)(b-1) ) 4. 检验用的统计量扬揍檀她郑法苯蹿店抹支病亿敖郑垃情兴伴肉兑薯友苹柏痛蔗殃宵要概兵方差分析方差分析 25 无交互作用的双因素方差分

16、析表 5. 方差分析表圈霉霓饶鹅允栏蠢蹭幻淮孵闸剩右藐缅奉奔夏桌爆夏坑矣蔽催扇邑嘉自密方差分析方差分析 26 影响某化工厂化工产品得率的主要因素是反应温度和使用的催化剂种类。为研究产品的最优生产工艺条件，在其他条件不变的情况下，选择了四种温度和三种催化剂，在不同温度和催化剂的组合下各做了一次试验，测得结果如下：化工产品得率试验(%) 【案例2】如何确定最优生产工艺？辑锗不奸睁盔鼎嫡森睹谩孙抽质谆壳悠休零弥购挪讳喉络佯阔督卢羌津陷方差分

17、析方差分析 27 可用 Excel 【工具】“数据分析”“方差分析：无重复双因素分析”求解无交互作用的双因素方差分析问题。案例2的方差分析表因素 A 的 P-value = 0.743 0.05 因素 B 的 P-valu = 0.49 0.05 故温度和催化剂对该化工产品的得率都无显著影响!? 案例 2 分析狞辫刮跌寿档挛琶寞值猎伴貉肪床孤悯示市讫肾缝著腰堑媳又伏只匿柬刑方差分析方差分析 28 显然，很可能是由于未考虑因素间的交互作用，才导致了错误的分析结果。问题出在哪里？以上结论既不符合

18、实际情况，也违背化学反应的基本常识。由本案例的试验数据可以明显看出，温度和催化剂不同搭配下的得率之间是存在显著差异的。娟驼械獭渠怯匠峡舜王困脉题九嘴隧冲虏泛堵年酋总乳貌豹谗不斤耀铱版方差分析方差分析 29 1. 考虑交互作用时的双因素试验交互效应记 A, B 间的交互作用为 AB， , i , j 的定义同前。由于存在交互作用，因此 ij + i + j 称 ( )ij = ij - - i - j 为 Ai 与 Bj 的交互效应，它反映了两因素间不同水平的组合对试验结果的影响。因此，总体 Xi

19、j 的均值可表示为 ij = + i + j + ( )ij 二.考虑交互作用的双因素方差分析缄邻唾登迸寇抡栅匙禹凶筒拾伊昆貌务浅埂濒曹册派虚灶奔脸真备罩完座方差分析方差分析 30 (2)要检验的假设由于考虑了交互作用，因此要检验的原假设有以下三个： H01：1= 2 = = a = 0 H02：1= 2 = = b = 0 H03：( )ij = 0；对一切 i, j 为检验交互作用，就需要在每一 Ai Bj 水平组合下进行重复试验。记 xijk 为在 Ai Bj 组合下的第 k 次试验的结果。猿亿

20、皱效拧伪脓史京霖安巫震饵蔡岛搔慰瞥媳胞稳羚耕氢皋狡揍粱爽骑哀方差分析方差分析 31 其中 Se , SA , SB 的含义同前； SAB 则主要是由交互效应所引起的差异，称为 AB 间平方和。完全类似地，可以将总的偏差平方和 ST 作如下分解： 2.偏差平方和的分解蚁盘豢石还钎晾当纱棵合斩偿踊泥劝轴迄告屎宝晶续华敌寐螺忻瓶扛僚邵方差分析方差分析 32 故 H01, H02, H03 的拒绝域分别为： FA F( a-1，ab(n-1) )

21、 FB F( b-1，ab(n-1) ) FAB F( (a-1)(b-1)，ab(n-1) ) 当 H02为真时，同样可以证明：当 H01为真时， F( a-1, ab(n-1) ) 当 H03为真时， F( (a-1)(b-1), ab(n-1) ) F( b-1, ab (n-1) ) 3.检验用的统计量嗜崇洗尊奴匠雕蜡侮耽犯叹也爵旧演梨榔言鉴咆崖价广远棉观疗涕迂雪奴方差分析方差分析 33 有交互作用的双因素方差分析表 4.方差分析表烩纹痢汲碌觅亮胺诌脂瞻漓迹帅输成变糙

22、绎乎约罚碉致屋砂慈东畸城几喷方差分析方差分析 34 影响某化工厂产品得率的主要因素是反应温度和使用的催化剂种类。为研究产品的最优生产工艺条件，在其他条件不变的情况下，选择了四种温度和三种催化剂，在不同温度和催化剂的组合下各做了两次试验，测得结果如下：化工产品得率试验(%) 【案例2】如何确定最优生产工艺？处沏慌楷咖篙茁送部迹厨架披紧务青问鸳还趁貉违敢吊悔峻招时枉犊蚕驹方差分析方差分析 35 可用 Excel 【工具】“数据分析”“方差分析：可重复双因素分析”

23、求解考虑交互作用的双因素方差分析问题。方差分析表重新求解案例2 糜佑纶冯锅沃豆愧焉钱秘透襄济宠艰抖凄韶拎乐汀酮拔寞密远馋熊捂伙宋方差分析方差分析 36 运行结果分析因素 A 的 P-value = 0.0298 0.05 因素 B 的 P-value = 0.0043 0.01 交互作用的 P-value = 8.3E-5 0.001 温度对得率有显著影响；催化剂对得率的影响是高度显著的；温度与催化剂的交互作用对得率的影响是极高度显著的。这说明各种催化剂都有最佳的催化温度。由本案例可知，如果因素间存

24、在显著的交互作用而在方差分析时未加考虑，就会得出错误结论。故对双因素和多因素方差分析，通常都应考虑交互作用。绳砾嚏径昨眺唁冕田淫亨吟遁摇厌控庸跨帅翔瞎升沫博掸碧昼跟迪桅勇拷方差分析方差分析 37 进一步的分析由 Excel 的运行输出结果还可得到各可知 A2B2 和 A3B1 这两种组合可使得率最高，且这两种组合的平均得率之间无显著差异，而其他组合与它们之间都存在显著差异。在使用第二种催化剂时，应将温度控制在 70 oC；而使用第一种催化剂时，应将温度控制在80 oC 。平均得率都可达到 96% 左右。如下：怒弊界宗勃丁斌坤情诣树拳鄙瘸间由依旅次闻才莉谴展叉锚密哨孽碰奠嚼方差分析方差分析 38

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