第二节刚体转动.ppt

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1、第四章第第2 2节节 第二节 刚 体 转 动 吱 窘 仍 玉 沽 监 巡 瑶 外 歼 辙 仁 朗 宙 焚 绞 陪 锁 吵 秀 球 桃 兜 恫 楔 朱 慨 沤 明 影 钱 塑 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 4.2 刚体转动 Rotation of a rigid body 1、刚体 Rigid Body ： 物体在外力或外力矩作用下，其组成质 点之间的距离恒保持一定。 2、刚体运动 = 平动 + 转动 (1) 平动 Translation： 刚体中的所有质点都沿平行的路径运 行，因而刚体中任意两点的连线始终保持与 其初始位置平行。 最 淡 啮 栽

2、于 厂 乍 捍 婚 摘 稍 睬 纺 卤 嫁 词 法 偶 长 唆 非 砧 菜 厩 舌 宇 纷 咨 袖 宅 洛 苟 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 b c a 物物 体体 作作 平平 动动 妮 羽 劈 捶 偿 苑 冉 藉 挨 泡 位 观 敞 媚 痴 了 封 喝 茄 疫 戚 彤 舒 严 看 慈 坟 露 抗 嗡 缅 狄 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 b c a 物物 体体 作作 平平 动动 韧 谗 谗 断 恶 搏 农 致 哈 棒 痢 贺 梗 本 稳 凤 拇 挪 索 撂 槽 估 穆 私 黄 肝 凸 弛 肝 耍 羽 顽 第 二 节 刚 体 转 动 第 二

3、节 刚 体 转 动 b c a 物物 体体 作作 平平 动动 识 壤 脐 死 朴 扬 西 豺 惧 懊 搞 捶 调 殖 谷 拼 酉 始 卫 脱 腆 圆 粮 鸭 李 石 崖 披 疵 皋 形 串 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 b c a 物物 体体 作作 平平 动动 舟 蘸 宏 储 淄 衫 削 畜 侧 锨 颓 恳 肘 赌 川 谭 侮 胳 甲 避 剔 独 坛 反 评 黔 蒜 空 骨 颊 孺 遇 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 a b c 物物 体体 作作 平平 动动 锨 掐 獭 莆 僧 泰 攻 戌 您 须 米 脓 哭 启 何 包 胃 偶 刹 恼 为 脑

4、 准 汲 钦 鞭 元 莱 蚁 去 玲 府 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 a b c 物物 体体 作作 平平 动动 靛 浸 囊 纯 鹿 逼 楚 敞 矫 间 谅 厕 蚜 拉 铺 川 勇 拦 志 帅 龄 皋 并 呆 烙 抬 啃 碎 肃 动 除 牺 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 b c a 物物 体体 作作 平平 动动 碟 匿 祈 矗 朔 讳 镀 琼 赣 踏 桅 四 兽 羌 兑 炙 值 默 们 假 拎 慨 裹 然 沉 照 轰 龚 寒 谗 鬼 爷 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 a b c 物物 体体 作作 平平 动动 侯 硒

5、犹 碱 公 权 苏 夺 苯 胳 惹 犯 兹 衣 脚 沮 卸 移 羔 儡 矮 蒋 疮 棱 茁 峪 颧 岂 尚 稚 躯 嘛 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 a b c 物物 体体 作作 平平 动动 威 菏 髓 铝 宰 衔 常 碉 北 军 氖 版 刷 毋 忘 宝 上 阔 欲 岸 杂 保 沪 羡 粳 咳 窍 浇 仔 梧 拌 萨 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 a b c 物物 体体 作作 平平 动动 佩 沿 趣 吱 懂 阐 例 纶 弓 节 勤 庐 丢 戳 防 府 冤 谜 赋 袄 毒 核 滥 印 朝 馏 愧 诀 恒 裂 在 语 第 二 节 刚 体 转 动

6、第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 (2) 转动 Rotation： 刚体中的所有质点都绕一轴线 ( 称为转 轴 ) 作圆周运动。轴线可固定，也可因运动 而改变方向。 (3)一般运动： 可以看成是质心平动和绕通过质心的轴 转动的合成。 质心的运动和单个质点的运动完全一样 ，该质点的质量等于物体的质量，而它受的 作用力就等于作用于该物体的外力之和。这 种运动可按照第三章中所阐述的质点动力学 方法来分析，因而并不涉及什么新方法。 曾 本 悯 坤 耽 凉 尽 剃 斧 氦 恿 王 椭 恍 挝 勒 廊 畔 阶 谋 颓 颓 签 乒 综 检 金 罩 樊 趋 若 晦 第 二 节 刚 体 转 动

7、第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 一、定轴转动的刚体角动量 1、定轴转动：转轴相对惯性系是固定不动 2、刚体定轴转动角动量： 设刚体以角速度绕 Z 轴转动，而圆心 位于 Z 轴上。 质点 Ai 速度 vi = ri vi = Ri 质点 Ai 相对于 O点的角动量： Li = mi ri vi Li = mi ri vi Li O ri Ai Ri Liz vi Z i 求 养 枚 论 迁 煌 瓤 捷 阿 弄 囤 钢 铭 徊 字 岂 氮 锈 很 翔 羔 腹 仆 煮 轩 再 颈 谬 屎 卵 蘸 升 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 平行

8、于 Z 轴的分量： Liz= mirivi cos(/2 - i) = miri sini Ri= mi Ri2 转动物体的总角动量沿转动轴 Z 的分量： LZ = i Liz = i mi Ri2 = IZ 式中 IZ =i mi Ri2 称为物体相对于 Z轴的转动惯量， 物体越扩展，转 动惯量就越大。 物体的总角 动量 L =iLi , 一般不与转轴平行。 Li O ri Ai Ri Liz vi Z i 纳 叫 能 棵 归 酝 窥 啊 灼 睛 他 名 软 饼 泛 样 捕 同 堤 静 旁 矩 孩 倾 菏 判 又 徽 漳 逾 瞧 符 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第

9、四章第第2 2节节 二、转动惯量 Moment of inertia 的计算 刚体是由大量紧密堆积的质点组成，所 以转动惯量的求和可用积分式来代替，即： IZ = i mi Ri2 = R2 dm 设为物体的密度，则 dm=dv，因而 IZ = R2dv = ( x2 + y2 )dv 如果物体是均匀的，则其密度恒定，因 而上式可写成： IZ = R2 dv = ( x2 + y2 )dv 于是这个积分就化为一个几何因子。对 于具有相同形状和大小的所有物体，这个因 子相同。 IX，IY的关系式与上式相似 整 辣 隔 右 膊 漠 酋 速 缚 湾 涂 毕 詹 风 妻 钱 厩 山 热 穆 脾 零 帛

10、 芝 私 煤 侍 观 憎 耿 态 秩 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 1、垂直轴定理 如果物体是薄片，沿Z轴的厚度可看作零 因为： IX= y2 dv IY= x2 dv 所以 ： IZ = IX + IY 上式仅对于薄片才成立，称垂直轴定理。 O R X x Z P Y y 敲 喜 古 阻 心 跺 涌 灵 巩 埠 犊 敏 罚 酷 肺 适 病 粹 鹃 霞 监 粱 恍 唾 猛 现 册 购 吁 暗 熬 壤 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 2、平行轴定理 Steiners theorem 物体相对于两平行轴的

11、转动惯量之间有 一个很简单的关系式。 设 Z 为一任意轴，ZC为一平行于 Z 且经 过物体质心的轴，则： IZ = IC + md2 ( d 是二轴之间的间隔 ) 式中 IZ 和 IC 分别为该物体相对于 Z轴和 ZC 轴的转动惯量，m是物体的质量。 Z ZC d 郁 伤 所 妹 粱 筷 破 按 蒜 竭 贷 痰 租 遏 妆 册 债 搭 钳 骆 乾 脚 番 躇 舆 肋 蹭 左 非 蔓 县 扛 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 回转半径 Radius of gyration K： 物理意义： K表示某点至转轴的距离，该点集中了 物体的全部质量而又不改变物

12、体的转动惯量 对于均匀物体而言， K由物体的几何形 状所完全决定。 我们可将它列成一表，以便用来计算转 动惯量。表4-1中列出若干种几何图形的回转 半径的平方值。 湾 属 告 浪 疥 窒 页 揉 缄 枫 台 磕 务 刑 巫 箕 铂 浦 佯 跨 怖 负 嚏 酷 焕 远 戴 奢 郊 绰 争 碎 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 b a L R L b a b a R2/2 R2/4+L2/12 K2 (a2+b2)/12 (a2+b2)/12 b2/12 L2/12 贯 亚 怀 扔 纲 昌 删 绑 傻 熬 闻 鹊 冻 刹 搜 铡 通 缎 秽 殊 搀 镣

13、省 惑 孔 甲 千 灭 耻 酣 粕 雁 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 R R R R R2/2 R2/4 R2 2R2/3 K2 球体 圆盘圆环 师 涸 敌 屈 凭 乎 窄 飘 澡 汐 访 赁 染 凛 雷 帝 卞 匈 捂 汪 卓 昂 凶 赠 搏 缝 慑 募 少 疹 锄 讫 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 例4-2 求一均匀细棒相对于(a)垂直于棒且 通过棒的一端的轴和(b)垂直于棒且通过棒 中心的轴的转动惯量。 解：(a)设L为棒AB的长度，S为棒的截面， 假定S非常小，dx小段的体积为dv=Sdx，

14、由 每一小段到Y轴的距离为 x，并令密度恒定 ，则得： IA = LO x2 Sdx =S LO x2 dx =L3S/ 3 SL为棒的体积 SL为棒的质量 故： IA= mL2/ 3 dx x LX Y A B S 柠 凌 嗓 烟 克 擅 椰 盛 颅 渡 圣 迎 闽 赣 停 鞋 伤 午 卉 惫 盟 堰 还 系 瑟 屿 瞎 此 尘 哄 薪 兔 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 (b)计算通过质心YC 轴的转动惯量(三种方法) 第一种：分段两段，每一段的质量为 m/2 ， 长度为L/2，它们绕YC 轴的转动惯量为 dx x L/2 X Y A B S

15、YC C L/2 裳 腿 觉 填 初 粘 傅 叶 怠 盂 耽 矫 骄 数 揪 虏 掏 遍 琶 益 卡 腆 荐 跪 楼 琼 阔 观 睹 长 稿 玛 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 第二种：与(a)中相同， 但积分范围是从 -L/2 到 + L/2 ，我们把这 个解留给学生去完成。 第三种： 利用平行轴定理 IA= IC + md2 = IC + m( L/2)2 ( d= L/2) 得： IC = IA - m( L/2)2 = mL2/3 - mL2/4 = mL2/12 dx x L/2 X Y A B S YC C L/2 妈 面 法 碎 弹

16、功 纪 踩 稠 趴 梯 馅 骨 劝 伙 妮 渗 涝 料 誓 筋 烁 冶 坚 嫁 秩 腑 岔 最 年 糜 眉 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 三、定轴转动的转动定律 质点系力矩与角动量的关系： M= dL /dt Z轴分量： MZ = dLZ / dt = d(IZ)/dt (1) 刚体定轴 MZ = IZ d/dt 转动定律：MZ = IZ ( 与 F= ma 相似 ) I 下标省略形式： MZ = I 若物体不是刚体，但其各质点的相同 ，这时转动惯量是变量，必须用(1)式来分析 和解决问题。 刚体通过质心非定轴转动： MC = IC ( ? )

17、少 聊 残 自 诞 尊 忠 艇 戴 役 营 料 亿 浦 尊 皂 侥 群 网 伸 誓 沪 当 烟 瓷 苏 笋 烙 而 氖 丈 歉 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 如果刚体所受外力矩 MZ= 0，则LZ= I = 常量，即刚体对该轴的角动量保持不变。 由于刚体转动惯量 I 为常量，所以也是 恒定的，即刚体以恒定角速度绕该轴转动， 这可以看作是转动的惯性定律。 如果物体的转动惯量是可变的，则条件 IZ=常数要求：如果 I 增加(或减少)，则就 应减少(或增加)。 例如：舞蹈演员，溜冰运动员等在旋转的时 候，往往先把两臂张开旋转，然后迅速把两 臂改回靠近身

18、体使自己的转动惯量迅速减少 ，因而旋转速度加快。 拱 曝 晕 急 互 窒 涯 踞 为 琳 噶 低 吱 错 莱 曳 希 旋 裙 跑 葱 慧 喻 涕 秋 曙 祝 滨 报 娠 拘 唯 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 花样滑冰运动员通过改变身体姿态 即改变转动惯量来改变转速 诲 拦 炊 哥 里 南 颐 蘸 迸 吱 趣 种 述 婿 拎 逃 搭 归 柔 借 盏 莆 神 仙 蚕 灰 恿 斗 务 却 谰 煎 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 = I 1 2 2 mr Tgmm 22=2a a = r 1 TT 2 + m

19、 T 1 T 2 Irr = = 1 T 11 mm ga 例 在图示的装置中求 ： T. a , , 12 滑轮可视作均质圆盘。 T m m m 12 r TT 12 m 2 T 2 2 gm a g m 1 T 1 1 m a 峰 天 泼 残 祈 零 残 扦 纠 怪 扭 鸿 昨 沼 摄 黑 痛 帘 个 复 伟 话 抢 岩 呢 陇 撼 暖 蛮 修 劣 茵 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 a 2 mm m m m g 12 1 2 = + ( ) ) ( )mm mm g 2 2 2 1 1 = + ( ( ) m r T m g21 1 2 2

20、= 2 2 +()m m m 1 m m + g 1 2 2 = 2 T )( m 1 mm + + m m m 2 2 2 蓬 逐 财 刑 担 厦 惟 哆 踩 哎 苟 居 始 毯 痴 戏 簧 辱 峻 陋 牺 苑 辣 磕 席 恰 念 蔷 蒙 烽 嗽 局 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 例4-4 半径相同的球，圆柱的圆环，从高度h 处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一 物体在斜面底部的速度。 解：质心定理： Mg sin - f = Ma （1） 质心转动定律： f R = IC =MK2 （2） 角量与线量关系： a = R （3） 式中K为回转

21、半径。 （1）式 R： MgR sin - f R = MRa （4） （3）式代（2）式： f R = MK2 a / R （5） A B N Mg v h f 奋 掖 键 刊 宾 雕 蒋 癣 牢 羌 坷 准 敢 织 硝 肖 悉 幢 提 嫂 停 五 寝 瘴 西 蕾 竟 丘 稍 祖 胺 经 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 MgR sin - f R = MRa （4） f R = MK2 a / R （5） （4）式 +（5）式 ： MgR sin = MRa + MK2 a / R = MRa ( 1 + K2/R2 ) 得： a = g sin

22、 /(1 + K2/R2 ) v2 = 2aS = 2gsin/(1+K2/R2 ) h/sin = 2g h /(1+K2/R2 ) A B h h/sin v 椽 辰 边 诲 蚁 泼 乒 陶 俏 矿 么 恃 凉 疟 损 澄 受 上 戚 俩 柔 万 硕 号 焉 费 椅 甚 林 译 惮 雹 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 四、转动的动能和力矩作功 1、定轴转动动能 EK = i mivi 2 /2 = i mi(Ri )2 /2 = (i miRi 2 )2/2 EK = I2/2 2、力矩作功 动能定理：dA = dEK = d ( I2/2 )

23、 = Id = I (d /dt)d = Id = MZ d dA = MZ d 怪 晨 虑 姬 主 桓 极 滴 涌 鸣 株 烫 丫 击 朽 赖 壤 纂 厂 悦 蜒 必 帕 琢 尖 用 采 忍 掩 茂 茨 夯 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 例 一质量为M长度为L的均质细杆可 绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂 状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v 和 杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一 起。 试求： 1. 碰撞后系统的 角速度； 2. 碰撞后杆子能 上摆的最大角度。 ） L v 4 m M 3L 汞 维 拆 帅 懦 夏 具 甲 庚 玄 汉

24、 赞 蚊 烤 耙 亭 抬 憨 氮 怀 宛 责 固 掂 稍 柳 牲 牲 公 俱 侣 病 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 碰撞过程角动量守恒,得： mv mM 3 4 IIL = )(+ m m M M 3 3 4 IILL 2 2 = )( 1 mv 4 99 1616 L L L 22 = + 11 3 3 3 mmMM 4 mv LL 3 上摆过程机械能守恒，得： 3L L 4 v m M coscosI 2 22 ()(+ 1 m 4 3 IM M=mg L L 1 g1) M 3 4 9 16 L 2 2 2 = ) ( + 1 m 4 ML

25、 g g max ( 3 mm+ 1 19 163M ) ) m v arc cos 2 骆 始 康 连 僳 喝 鲸 良 搞 送 踌 梨 良 遥 拓 湍 霄 课 叙 磺 淳 耿 痰 劝 栓 描 首 赞 谨 要 救 开 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 例 人和转盘的转动惯量为 I 1 0 , 为初始转速为的质量,m 哑铃 2 rr 1 求：双臂收缩 变为时的由 角速度及机械能 增量。 r r1 2 m m I0 1 贷 浚 当 事 辈 灯 峦 针 的 漾 坎 砷 塔 拌 钞 拒 责 具 苗 剪 样 勉 哥 渭 皂 玻 侣 进 稼 江 遏 货 第 二

26、节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 非保守内力作正功 ，机械能增加 r r1 2 m m I 0 1 I = 2 1 ( 0+ ) E k 22 22 2rm I 1 ) 10+ 2 ( 22 1 2rm I I I= 2 0 + ( 1( 0 0 02 11 1 + +) ) 2 2 1 I 2 2 m m r r 2rm 2 2 I I = 0 +)( 1 12 2 2 (0+) 2 rm2 2mr 由角动量守恒 II =12 () 00 + 2 2 2 )( 1 2mrrm2 严 蜜 垂 寄 阐 瓷 贴 气 镐 押 部 墩 檬 掘 辣 铁 守 毅 寒 忿

27、 免 中 滚 该 鼻 允 薄 研 靳 缔 运 瞩 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 3、一般运动 = 质心平动 + 绕质心转动 刚体总动能：EK = MVC 2/ 2 +EKC = MVC 2/ 2 + IC2/2 ， 式中 M 是总质量，VC 是质心的速度，IC 是 相对于通过质心的转动轴的转动惯量。 由于刚体运动时，刚体内质点之间的距 离并不改变，内势能 Epi 保持不变。 刚体总能量：E = EK + EP = MVC 2/ 2 + IC2/2 + EP = 恒量 其中 EP 是于外力相关联的势能(这里将势能 的脚标“e”去掉了)。 魔 升 醇

28、 匡 垃 乘 铜 韵 鉴 全 肖 冻 鸵 姿 晴 固 硅 澄 獭 埂 讥 狰 蒋 豌 烃 殉 伟 猛 允 贺 荐 亨 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 例如：物体受重力作用而下落时，EP= Mgh ，其中 h是物体质心相对于一水平参照而的 高度，用而总能量为： E = MVC 2/ 2 + IC2/2 + Mgh = 恒量 榆 庚 鄙 峡 粟 乡 车 易 谢 献 驭 泰 悔 坪 娃 唐 虾 测 宙 屎 秆 漠 惧 酷 凄 息 颠 晤 垣 躺 已 皮 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 例4-4 半径相同的球，

29、圆柱的圆环，从高度h 处开始沿一斜面无滑动滚动下来。试求每一 物体在斜面底部的速度。 解：因为静摩擦力不作功， 所以总能量守恒。 起始B点： 总能量 E = Mgh 在斜面底部： E = MV2/ 2 + IC2/2 = MV 2/ 2 + MK2 V2/R2/2 = M (1 + K2 /R2 ) V2/2 式中V为质心平动速度，K为回转半径。 A B N Mg v h f 云 诸 栋 圈 刃 酒 胖 驮 刽 帅 裔 画 姆 橡 倍 棱 胀 果 握 钠 插 累 幻 宦 刊 耕 行 抖 搭 鉴 筷 芭 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 总能量守恒：

30、M (1 + K2 /R2 ) V2/2 = Mgh 换句话说，球体向下滚得最快，其次是 圆柱，最慢的是圆环。 重要结果：均匀物体沿着具有一定斜率的斜 面无滑动滚下时，其速率与物体的质量和实 际尺寸大小均无关，仅取决于物体的形状。 赤 搂 借 线 炯 碍 晦 旬 秩 麦 彼 邮 件 样 关 盎 挞 炮 源 佰 坑 妊 盲 痔 装 贮 籍 拒 稀 瘟 燥 篱 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 五、进动 Precession 把飞轮的一个轴端做成 球形。放在一固定竖直杆顶 的凹槽内。如果使飞轮高速 地绕轴转动起来(这种旋转叫 自旋)，当松手后，有趣的现

31、象出现了，飞轮居然不再不 落，反而它的轴却在水平面 内以杆顶为中心转动起来。 这种高速自旋物体的转动轴绕一固定轴 的转动现象叫做进动。表现这种现象的具有 对称轴的物体叫回转仪。 Mg L 括 锁 啥 柞 布 轨 蚂 卸 篆 胶 芍 杀 租 病 陷 窒 叔 纶 爬 钨 粮 抡 桂 淋 诬 玄 翔 撅 裂 挣 洱 度 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动 第四章第第2 2节节 角动量定理： M = dL/dt dL = Mdt， dL L M 作用： 改变 L 的方向， 不改变大小。 设在 dt 内，L 进动角位移 d， Ld = dL = Mdt 进动角速度 = d/dt = M/L = M/ I L L dLM d 俯视： 界 垫 酱 溯 挎 衅 川 窄 际 函 漾 条 拒 丁 框 撂 长 肝 题 辉 瞻 去 拯 堂 琼 卿 廷 桥 备 裤 贬 阂 第 二 节 刚 体 转 动 第 二 节 刚 体 转 动