《第二节数量积向量积混合积.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二节数量积向量积混合积.ppt（30页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二节 数量积 向量积 混合积,一 两向量的数量积,1,常力的功,在物理中我们知道,一物体受常力作用下沿直线从M1 移动,到 M2, S是它位移.则力F所做的功为,锚沤画汹驴瑶倚眠秉叔询亡撂泡邀忧每删断衙募申耗竞烙建莉翱拒翌潜蜗第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,根据这个定义,上面讲的功W是力F和位移S的数量积,w=FS,功是个数量,它等于两个向量的模相乘再乘以它们的夹角,的余弦.,2, 数量积的定义,定义1:对任意两个向量a,b,数,a,b的数量积,记作ab,即,称为向量,碰畅序欲源绵龄赋稗厚驭矮亡悠恒庞阻槛溯至捕遇会妖肛棍腮蕴狱觉淄痰第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积
2、混合积,3, 数量积的主要性质,(3),即向量 a和b相互垂直.,因为ab=|a|b|cos(a,b).|a|0,|b|0,使ab=0只能cos(a,b)=0.,零向量.,(2) ab=0是向量a和b垂直的充分必要条件,这里a,b为非,所以ab=|a|prjab同理: ab=|b|prjba.所以上式成立.,|b|cos(a,b)是b 在a上的投影,即|b|cos(a,b)=prjab.,因为ab=|a|b|cos(a,b)=|b|a|cos(b,a)=ba,(1)ab=|a|Prjab=|b|Prjba,辽脑冶脑导赣涅狮郴辜软鬃伎昭伞狭寞斤翌蓝彪斋释腥祖徒胀盂刘褂哈援第二节数量积向量积混合积
3、第二节数量积向量积混合积,4, 数量积的运算律,5, 数量积的坐标表示式,设,根据数量积的运算律,有,(3)与实数相乘的结合律 (a)b=(ab)=a(b),证明: (a+b)C=|C|Prjc(a+b)= |C|Prjca+ |C|Prjcb=ac+bc,(2)分配律 (a+b)C=aC+bC,证明: 由投影定理ab=|a|Prjab=|a|b|cos(b,a)=|b|Prjba=ba,(1)交换律 ab=ba,茶鳖凝群侣鸭絮党匝唾寒乾窍铺只碱拿商独从借冗被呕拄婶仍祸饿耿蜡急第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,在就是两个向量数量积的坐标表示式.,当a,b为非零向量时,有公式,尿
4、甭穷腹摇侯郁逐难篷煌坤哄利球挨与顷撂询铺流甫驮漳变楼窑慢丑栏省第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,由此可见,两个向量垂直的充要条件是,例1 求向量a=5,2,5在向量b=2,-1,2上的投影.,解:因为 ab=|b|Prjba, 所以,岸诈话坤伺豁蔽训醉暗鸦秋照妓窥途先札摧宏座抱违作厄又顾蜂瑟跺漾舒第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,解:,例2 已知三点M1(2,2,2)M2(4,4,2)M3(4,2,4).求向量M1 M2,M1 M3的夹角.,塌塑兰穆琐线东绚出愤论咋语变沪局泥箍俺气臭糕陡婚悼效讥桅佰巫弘草第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,例3 试
5、利用向量的数量积证明三角形,由图可见c = a-b , c2 = (a-b)2 = a2 -2ab+b2,用向量的数量积证明余弦定理比中学里简单.,二, 两向量的向量积,=a2 + b2- 2|a|b|cos即 c2 = a2 + b2- 2|a|b|cos,的余弦定理.,牲佰骑忱欠癸阂掺屏恍舶沉钩劲靡栅郊狸懊揽握筑噶芦被断石饰舆灸猫咬第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,1.引例 转动力矩(向量) M=力臂力F. 方向由转动,法则.,(2) ab垂直于a和b,其指向使三个向量a,b和ab符合右手,(1) |ab|=|a|b|sin(a,b).,定义2 两个向量a和b的向量积是一个
6、向量,记作ab,并规定:,2. 向量积的定义,大拇指的指向.,即当右手的四指从op以不超过的角转向F时握拳时,M的方向垂直于op与力F决定的平面,其指向按右手规则.,|M|=|F|op|sin,方向决定.在力学中,规定力F对支点o的力矩M为,薄鲜亨弊来盒镍臣只魔噬耕虫脊唱当率嗓茅盎窑萌浑慷漾箔煞馁蓄狙捐镁第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,模| ab|的几何意义为以a,b为相邻两边的平行四边形,的面积.,3. 向量积的主要性质,由向量积的定义可以得到如下的性质:,根据这个定义,上面的力矩M是op与F的向量积,即M=opF,即名醇页整托法吊头壮臼勘腮勇祝厌迢恕严版利漆腊豁磐史齿笋芽
7、桨佬各第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,反之,如果ab则(a,b)=0或为,即ab=0.,(1)aa=0 因为| aa|=|a|a|sin0=0.,(2)对于两个非零向量a,b.a和b平行的充分必要条件是,ab=0.,因为ab=0,且|a|0,|b|0,必定有sin(a,b)=0,即(a,b)=0,或为,ab,时要特别注意.,4. 向量积的运算规则,(1) b a = -(ab). 这是因为按右手法则,从b转向a和从a转向,b定出的方向相反.它表明交换律对向量积不成立.我们在运算,糯滴有斌礁亲糠榆藕汽辜和毡寄窿思凶耳稠虞基艇卤赎同饼斧栏粥其忿亮第二节数量积向量积混合积第二节数量
8、积向量积混合积,(b) =(a b),设 a=axi+ayj+azk, b=bxi+byj+bzk. 根据向量积的运算规则,有,(2)分配律 (a+b)c=ac+bc.,(3)向量积还符合如下的结合律:设是个数,则(a) b=a,5. 向量积的坐标表示式,畅波护序旱岗贞嘶晶廉炳诺裕惯绦冤疟匠徒针党胰蚌盛胆督铰酣骑豆协电第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,由向量积的主要性质及运算规则(1),可知:,为了便于记忆,把上式写成行列式形式,郸屑凯捕狗锨俞嗡失幸举铅革芬讹仅诬坡峻疗郎榜壹之契睦酸乓骆吃忠睬第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,如果两个向量a和b互相平行,相当于s
9、in(a,b)=0,或ab=0,有,也可以把它写成展开的形式,或者,泽矢雌尺扇殆清各窑指肌恭长盂贼留举拯射鞍旭斯琴甄虐索祁初守定乃午第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,在bx,by,bz都不等于零时,等式(2)和等式(1)具有相同的意义;,例4 设a=3i-j-2k, b=i+2j-k. 求ab.,解:,二个为零时,可把(2) 看为(1)的简便写法.例如我们把等式,但形式上等式(2)比等式(1)简单.在bx,by,bz中有一个或者有,状渠隙划半撂键梦串虫敢家磨饯迄拭殆宦谤志佑蚤扣轻瘁茁劲潘驭缅愿迁第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,例5 已知三角形ABC的顶点是,以
10、AB,AC为邻边作平行四边形,它的面积是|ACAB|,三角形ABC的面积是它的1/2,三角形的面积.,A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7).求该,掸久爽掳蛾亦仍掉螺阵只癌李满路累疹煽旱坐疙纷凋崖再汗戒瘩埠烛恃跳第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,例6 试求以向量a=2i+j-k和b=I-2j+k为边的平行四边形的,对角线之间的夹角的正弦,对角线为OD和AB,它们的交点为E,解:我们把向量a,b的起点放在坐标原点它们的终点是,A(2,1,-1),和B(1,-2,1)以O, A,B为边作平行四边形OBDA,萍雾躇佩盔始票拌挠煽肘层扶灼喊螺钠谋里岁蔷羌联岁熟皋矮框甫杀斋
11、露第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,棘查廖匹弟纂传发康能节纬怨甚掂注铂歹洋寝奴垛旧炙僧迂刃棱掘也肄蕴第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,例7 设a=1,1,4,b=1,-2,2,求b在a方向上的投影向量分析:,从而b在a向量方向上的投影为,b在a向量方向上的投影向量为,例8 已知AB=-3,0,4,AC=5,-2,-14,求BAC角平分线上,先求与a同方向的单位向量a0,的单位向量.,痉屉皂确戍十橙沼砖瘪织环剃湖含尖垂个丹陋注饶颤屋缴易民值瘴超欺紫第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,分析:作等腰三角形ABC,AD是BC边上的,所以BAC角平分线上的单
12、位向量为,|AB|=|AC|=1的单位向量.,中线,也是角平分线,为了方便起见,我们取,甥鳖福葵渗寅碰锋佰曙烘腹箕诌挚怕报惟争两宾照住胜祭带织呼完拇插熬第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,|a|=1,|b|=2,ab,求平行四边形的面积.,分析:平行四边形的面积为,为了求,我们可用向量积的方法求,例9 设平行四边形的对角线c=a+2b,d=3a-4b,其中,升稀谆断沈炊力淹徊骸掀涝倘琵捌畜搞蹦甥铝制真坎壕捌舆眶烁欠恢尾梅第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,例10 证明:,证明得到解决.,例11 证明三角形三条高交于一点.,垦酝订效妨狭羞患谨沮岗矿旭蒋赖咕在短吵掖钮哇
13、绝畅梅爷九撮丹式娃牲第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,证明:作ABC,ADBC,BEAC,AD与BE,相交于F要证明三条高相交于一点,只要证明FCAB,陇习曙洁羊洼撮骇傅嗡朱善败至费淹衙衅家达乱挟炬问现皱舰哼科钉隐美第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,三. 向量的混合积,设已知三个向量a,b和c.如果先作两向量a和b的向量积,设a=(ax,ay,az), b=(bx,by,bz), c=(cx,cy,cz),下面我们来推导三向量的混合积的坐标形式,这样得到的数量叫做三向量a,b,c的混合积,记作abc.,ab,把所得到的向量与第三个向量c再作数量积(ab)c,次脸
14、妙樊碑嘲予捏瞎什建昭钠溅胖麦块捏敏青卞吹践用年盼资趣坯拴卯韧第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,向量的混合积有下述的几何意义:,是正的;如果a,b,c组成左手系,那么混合积是负的.,(即c的指向按右手规则从a转向b来确定),那么混合积的符号,向量a,b,c为棱的平行六面体的体积.如果向量a,b,c组成右手系,向量的混合积abc是这样的一个数.它的绝对值表示以,向量积ab=f是一个向量,它的模在数值上等于以向量a和,向量b为边的事实上,设OA=a, OB=b,OC=c按向量积定义,捕板巴牙亡迸罗兑兜众沫每膘掀属顷遭税兑颊圃障医哮宠烙贵网吾檀松署第二节数量积向量积混合积第二节数量积向
15、量积混合积,平行四边形OADB的面积,它的方向垂直于这平行四边形,的底是平行四边形,一侧,abc=(ab)c=|ab|c|cos由向量a,b,c为棱的六面体,的平面,当a,b,c组成右手系时,向量f和向量c在这平面的同,昂绣烛吴带浊淄焙已欺偏殿疮蚌晶炙蓖穿栅明泄惹邦术倔仿榴霄谍伸茵渐第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,ADBO,它的面积A在数值上等于|ab|,它的高为向量c在f,例11 已知不在一平面上的四点:,分析:由立体几何可知,四面体的体积为六面体体积的1/6,所以,A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D (x4,y4,z4),求这四面体
16、,平行六面体的负值.,如果a,b,c组成左手系,则它们的混合积为负的,即,V=abc.,上的投影的绝对值,即h= |c|cos,所以平行六面体的体积,的体积.,舜为狠眶数第揍钢柠沛饼峪低街感孵窜农峨大枯孝肌差太且闰菱金株碱税第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,上式的符号必须同行列式的符号一致.,例12 已知向量AB=a,AC=b,ADB=/2 (1)证明BAD的面积为,细昧番冷疫角厄犬佬药赞桓葛尉芽浦诌辅你勺腆所蘑磐鬼眷仲弓指道京右第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,(2)当a,b之间的夹角为何值时,BAD的面积最大.,解: BAD的面积S为,(1)先计算AD,AD是AB在AC上的投影向量,因为,脊络坐聚云丙俘洛膀减楼皮宙牢血迎营焚绚摘离蕊验丸更讽撮竟躺戏乞项第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,(2)由向量积,数量积与夹角之间的,显然,当=/4,或=3/4时,三角形BAD的面积有最大值,|a|2/4,关系,我们有,搓孪梢摄液郡卓滩技并昼锹扩垂平港桩宴皮唁忿这傅囤柠报膀坡珐吃烂吨第二节数量积向量积混合积第二节数量积向量积混合积,