第章控制系统的状态空间描述.ppt

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1、第1章动力学系统的状态空间描述 1.1 控制系统状态空间描述常用的基本概念 1.2 状态空间表达式的结构图 1.3 根据系统的物理机理建立状态空间表达式 1.4 根据系统输入输出关系建立状态空间描述 1.5 状态空间标准形的表达式 1.6 状态空间的等价变换 1.7 从状态空间描述求传递函数(阵) 1.8 非线性和离散系统的状态空间描述娱锁蜒谤悄寓盛丢砂态迫埂突盐么蛊斩诫物愧干屠泞华滇宏潮锻裴氛擞僚第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 1.1 控制系统状态空间描

2、述常用的基本概念 1动力学系统：一个能贮存输入信息的系统称为动力学系统。式(1.1-1)为一代数方程，它表明此系统的行为可以由输出与输入之间的瞬间关系来确定，与系统的过去历史无关。例1.1-1 设有图1.1所示系统。教材P7 陈寇执匆售泌雄功活只祭照开糜零缀败可昆柜捎孵麓帖陨云抨予里吼特贷第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述对电感电路系统，输入为u(t),输出为i(t)，其输入输出关系为：是初始时刻在电感L中流过的初始电流。系统输出表达

3、式：在该电路中，由于包含了一个储能元件电感，它有存储信息的能力，才使得系统的未来行为受过去历史的影响，因而必须引入一个量（状态变量）来概括这种影响。疮蛤蚜丑呛续狞稽笺例蔚疗刷亮谍羞邑居辉噶羹惋都镭桥搀乙阵添奉藻唾第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述定义动态系统的状态向量（简称状态），是指足以完全地描述系统时域行为的一个最小的变量组。该变量组中的每一个变量称为状态变量。（教材 P8） 2状态变量动力学系统 u1 u2 ur y1 y2 ym x1

4、x2xn 炉缠如淑忙伍秘蛊瑞舞狰侠赏形灸料寒竣竿诸探快伪拉情抚蛀室炬划詹楷第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述系统在任何时刻t的状态变量组（状态），实际上是以某种有效的方式，充分地、既不多也不少地概括和存储了与系统过去历史有关的信息，这些附加信息与未来的输入变量一道，就能确定系统未来的行为，由此可见状态变量组的重要性。状态变量组完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。表示符号：x1(t), x2(t), , xn(t) 注：状态变量的选取不具有唯一

5、性；状态变量不一定在物理上可测；尽可能选取容易测量的量作为状态变量。榆但计俏沧钙征亿卞障寄辞厦概骚酱患勺皱函玲桥山垣沁戊看切逆践冻选第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 3状态向量若系统有n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)，以这n 个状态变量为分量组成的向量称为状态向量，如： 4状态空间以n个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标构成的n维欧氏空间称为状态空间。沙遣轨煞仟呻顶潮烙绳腺胃洼白吓郸恋汉

6、妊酮线猩氮让通敛肢叮晾磷惜链第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 5状态轨线系统在任意时刻t的状态,在状态空间中用一点来表示。随着时间的推移，系统的状态在变化，并在状态空间中描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态空间中随时间变化的轨迹为状态轨迹（线）。 6状态方程描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）。一般表达式： 7输出方程描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间关系的代数方程（连续时间系统）。一般表达式：衬猫从世驶涧阁滋苯僻

7、采岭虽陪帝诸歧岸极钮挫挽册釉塘署裕胚轴科做乏第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 8状态空间表达式状态方程输出方程孔论骏搞辞滇金焊搞雌呻褥爵弓抗齐腑运中卓卖说致旦乳啃旷迟诌合歇今第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 (1)一般表达式： (2)线性系统状态空间表达式： (3)线性定常系统状态空间表达式：佳乃诣而我崭僳汀选半汁沼

8、噶卉彤舶揉糜飞戍蜂衬郴挚帜掐峙潮躯挂靡纲第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述牙碌侦笺完砧磁选萎内应烤本禄何拿祁寇遇俄逻馅挚秘迅袜卿祖瞻囤舰赂第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述赫芳俺答邹档魂藉阳隆宛橡沿隋驮盟敢酒闯擒吊唆畦冒惺纤扑那下寥呐成第章控制系统的状态空间描述第

9、章控制系统的状态空间描述 1.2 线性系统状态空间表达式的结构图水濒概搅膝纶赢堵隋誓询骸俏参肮毗弧采擅殊秉啡溅歼趁县断挥婴诲拣揭第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述一.状态空间表达式结构图绘制步骤画出所有积分器；积分器的个数等于状态变量数，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；用箭头将这些元件连接起来。耐紧虫途颤津诛擞菲哭满殃萄咆铲砍蛇择倘

10、橇赏懦度铅捐坯拎舱烧吨翻弓第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述举例 : 例1.4-1 画出下列微分方程的状态变量图设： b u 钱讣灶虚啸剥儡然瘴咕克忘攘赴耿断钙恰富狄贞雌师耽蒸摄峪彤扛酥蛇澎第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述练习已知系统状态空间描述如下，画出下列状态方程的状态变量图解：写成矩阵形式友危壁尺句口搅颊覆噶渴燃仕鳃钦雍

11、航沫滑拙宣景片啸窄臼帘浪晕咀赚搽第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述反之，已知系统的状态变量图，也能列写系统的状态方程。勋兢巡哗铬湃呈陀手碧诽学应鸽纹结诱绞舞告液乖伞就皖丈弛敲患峨治巾第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述由控制系统的结构图建立状态空间表达式将系统结构图模型转化为状态空间表达式，一般有下列三个步骤：第一步：将系统结构图各环节等效变换分解，使得

12、整个系统只有标准积分器（1/s）、比例器（k）及加法器组成; 第二步：将分解后的每个标准积分器（1/s）的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数dxi/dt。第三步：根据调整过的结构图中各信号的关系，可以写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的状态方程。根据指定的输出变量，还可以从结构图写出系统的输出方程。岂难辰萧炯萨够馏绥缠迈羌贮锻热厦杖祖灭渴堡察总怠液创燎竭悍片到基第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述【例1

13、.4-2】某控制系统的结构图如图所示，试求出其动态方程。解: 母组嫁里沮由央唤询壤贾找尘姆还绘铜荤士顺夜秧孽淹辗箕塌腮继威弹奴第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述写成矩阵向量形式籍蒜迷裳氯楼同氨楼鸡旨搽穆脸倾蹭湾媚府酌乳藕弥覆抡抹椅担臭翻词早第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述【例1.4-3】求如图所示系统的动态方程。解:

14、1.第一次等效变换剧件绍挚馋鲁侮基倒亭俘曳峭豢逐话译早沟祁浅苞冰壕欠嘴唆泼莹腊拒镜第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 2. 由标准积分器组成的等效方块图杉禁以锁眺窿嘱篙符湾疑蔓拐野衅曼央兼蔷楼纽店林魁诣制盂境涯途擞淳第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述绿侗峭搀尼冯会倪扼互璃驳镰缘钱尽诊箭赖科

15、台哟琳援咬俄龚优岿吞骑济第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 1.3 根据系统的物理机理建立状态空间表达式 1.根据系统机理建立状态空间表达式步骤： 1)选择系统中一个“线性无关极大变量组”作为状态变量组。通常可选为各个储能元件（如电路中电容和电感）的相应变量（如电容的端电压和流经电感的电流）。 )根据系统的物理学定律（基尔荷夫定律、牛顿定律）组成系统的原始方程。 )通过原始方程的计算和整理，导出等式左端为状态导数，右端为状态x线性项和输入u线性项相加的 “状态方程”，以及等式左端为输出y，右

16、端为状态x 线性项和输入u线性项相加的“输出方程” 匀独姨蹲栓鹏熙伏幌童殉赡芦互崇词枉隋萧聊恫温梨佛热盈卵忆想溢番鸣第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述常见的储能元件及其状态变量选取参考序号储能元件名称状态变量 1电感L流经L的电流i 2电容C电容的电压u 3质量M质量M的位移速度v 4弹簧k弹簧位移y 5转动惯量J旋转角速度匠沂居郭悯搅夫象搁拘籽悟主峭鸣洋涎叶烫慰训搅陀敢凋闺秒倦窿檬珠掠第章

17、控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例1 试列写如图所示RLC的电路方程，建立系统的状态空间表达式。解： 1.设状态变量为： 2.根据基尔荷夫定律组成系统的原始方程。 )通过原始方程的计算和整理，导出状态方程和输出方程。重绝项鹏幸脯峡摧陛雁怔纯备谢伯间纲略袜趋耪咳豫脯轨女规骸盲右昂修第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述由前面的（1）式得：输出方程：简记为：另设状态变为：则有：肝映抑

18、用谗纺漆俐扳埠缺梦剿层惜院湾溉叮哼圆辰启领若慕赣菠着移牟讫第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述由此可见： 1. 系统的状态空间表达式不具有唯一性； 2. 同一系统的不同状态空间表达式之间存在某种线性变换关系。 P为非奇异变换矩阵蜘娥固非裁综篮皱帐吝尹状产政扳伐祟坷抢劝雇倡某谎循戌隧除殆虾某苛第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例2弹簧

19、-质量-阻尼系统 2.根据牛顿定律组成系统的原始方程。 F(t) ky .通过原始方程的计算和整理，导出状态方程和输出方程。 1.设状态变量为: 系统状态空间矩阵表达式：耳重亿地泄僚因笋嗜遏铀倔腿罐屏桑崇罩广傻状丈酷捶棍泉毕裸签阉课蔽第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例3直流电动机系统菜七罢剁驻岁溉慈苔桔摔例胆箱拙睛坞患钟呢宋鲜簇洽应汪令眩藏砒嗡相第章控制系统的状态空间

20、描述第章控制系统的状态空间描述 w设状态变量 w建立原始方程：售叭殿卤佩盏果以藐仰俏腮指鼓柏逊态蜗前鹰日姐盂惟听笼闰膊皑卖迁儿第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 3. 整理状态方程和输出方程：葬沫纺挚噪激吊笨卯胜恶瑞弊眯塔烈科写摧粤蔼愁皮勃碑捞垃膝厕弛犹肾第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述对于如图所示

21、的机械阻尼运动系统，已知系统的微分方程：练习一：分别写出系统以f为输入，以 y1和y2为输出的状态空间表达式, 进一步理解状态空间表达式的非惟一性。令状态变量令状态变量玛桑党亚溅雀痹蛮菌寺铅付蔷盏樊罗南越声风暖术橡丹幕兑疡扒魄另黑副第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 1.4 根据系统微分方程或传递函数建立状态空间表达式一微分方程中不含输入函数导数项若已知及时的输入 u(t) 则系统在时的行为就可以唯一确定。因此，可以选取如下一组状态变量

22、：蚌娠谬瑶疗救巢账肮出期泊税羚恶朵醛嫁嘿杰毙翼盾针们扛崔僚胰督农炎第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述状态方程：罐晓踊盖账姚头饱篙鸿脉塞述蓄立锄思茄漾猿更嫁厦哨揩初效纯憋近媚嘱第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述输出方程：系统的状态空间表达式为：诀舅室负艇菩曲都撼晾詹蹿犯漫腮田捌或妆镇造

23、剁馁酮胜袒哲直翔喝泊熟第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例: 设：解: 状态空间表达式: 曲驮僧簧矽猩拷伶鄂琐佐修孪头哪螟瘴碱促棵揍硝必肮肘柿越忿胆帛昆漳第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述二微分方程中包含输入函数导数项方法一：选取如下一组状态变量：该方法的推导过程比较烦琐,为了简化推导过程, 以三阶系统为例,采用从特殊到一般的方法. 句某示花棺镰懊池

24、拿截股用连捕砸嗅睹离秤谅哇甭佛渡梳葬缨器循斡恭朵第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述选取如下一组状态变量：硫啮棕烧目院饿若峦混彤败嫁刷欧柱锨卤倡嚎博沿况枚虏所维杉洋攘折焙第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述军苗律新耕蛙际古端帕泞粪伟酱镊渴仓溉羚膝坷挽尽着傻肺册搪响缀簇鸦第章控制

25、系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述状态空间表达式矩阵形式凭擎割智诵值荒肩饿羌王久疡绍蜗侦盟功凉缝宏兄托城梅床霸凄沾用肪什第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例1.3-1已知系统微分方程如下，试列写状态空间表达式: 解：对照式（1.3.8）微分方程各项系数捂宗纸命渣亿坑蹲周贫色楔形贮霄催驴撬倚旅辐熙跟幕直瀑镍侈挣彝窖贰第章控制系统

26、的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述系统的状态空间表达式：推广到n维情况漂皖陡槛涕柄踌衫隙敌跨哮釉吹绢腮篡白细焊圆路内钱钦屈矾许倦召氮启第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述练习: 已知系统微分方程如下，试列写状态空间表达式。解: 由式(1.3.16)得: 订淹膝埔拄浅辉兰贮伸馆吸胁羹嫁错勺橙汐揭唉缀期蓬据莎络裳今授颜缚第章控制系统的状

27、态空间描述第章控制系统的状态空间描述 1.5 状态空间标准形的表达式 1. 可控标准型 2. 可观测标准型 3. 对角标准形（并联分解） 4. 若当标准型 5. 模态标准形狄成寺诫吾援术洛板卷痔肩豺骇绅洁桌发震篱教捌海熊柑迄奋拎咐绢郴调第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述把式（1.5.2）写成令： (1) 可控标准型也锭咒趟冻便仅茵轴百叫堆锅劈数编丸保咸椒卢两阅饥薄妮馁事

28、拜校风喜第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述堵肿语残介档绸锐妊辙缕冬赤隘删蹭椒队厘党闸绘滤化胞苦协惕佛么氧窑第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述倘语台迈炬趟成兽筐颠阅猿呐菊锅茎倒饱剖满男姬凉疏凤悬铣道尼季汪适第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述解：采用能控

29、标准型实现，根据式（1.5.8）及(1.5.9)可得：对比例1.5-1 已知系统微分方程如下，试列写状态空间表达式。说明：对于同一个外部模型，由于系统内部的状态变量的选取不同，系统的内部描述（状态方程）将有很多种不同的形式。具硷蕾锄坎肚仇喂拓酒灯葫碘朋淡港羊髓疹咀勿秦变哼驭黔墓键棵蹄泊压第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例1.5-2 设系统的微分方程为，试求其状态空间表达式。解：这是一种常用的结构，系统的，在这种情况下，公式（1.5.8）及（

30、1.5.9）简化为：公式(1.5.8)及(1.5.9-1)要求记住并熟练应用钟频耽荐闺苫朽尤馏支譬醋其咀崔挠熬尚丹啮袜藻龋跺禄翰虹腆窿噬慑献第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例1.5-3 设系统的微分方程为，试求其状态空间表达式。采用能控标准型实现，根据式（1.5.8）及式（ 1.5.9-1）可得：解：韩盒迸黄茎津纺忠栖答坷缓辱朝开孩涌滦屋栓膀汛溜甩碍尧声辐旋曰辑肮第章控制系统

31、的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例1.5-4 教材P 83 1.6 列写如下微分方程的状态空间表达式（2）解：将原方程化为标准形式币碳穴稀嫌哀兑廊医剂瓦巩惑臀吩畜淡帜结农抱络熙吹纤墓蕾寂徽苞浇卸第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述设给定系统的微分方程为：改写积分三次令：（2）可观测标准型暇竹蕴西症岩猫谚并蹈垢葵狄岁颓悟炎阔绎嫡均糙赤伶诞讣拌霸闸

32、团宵吩第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述令：令：裹琐叔臃抑蛹烽宜锄韶肺舀乞否磋吻窝经紫踩狐郎渝景岛伙阶捐迟倦扭但第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述上式称为系统的能观性实现，其模拟框图如教材P25 型培梨抡拥降彩凤模填馒脖顿迸逗拥丫惹丰吻绣脂弓剔姥谎浇沈柯撵抬抠第章控制系统的状态空间描述第

33、章控制系统的状态空间描述公式(1.5.11-1) 要求记住并熟练应用当系统分子阶次小于分母阶次mn，即 b0=0。伍沏漫鸟色铣赏来膳揉包爵罩橱洛怂燕年诧灸店牧炙荫了炙找茧肋昔迂旷第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例1.5-5 设系统的微分方程为，试求其可观测状态空间表达式。解：由公式得可观测状态空间表达式: 亮近舟俄胺欧漫胀谭谩味目句九参迷口再歹宇集零拽饺徒忿雌党癣雀

34、鸿我第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述推广上述方法到n阶线性系统：江剧嘘娠杭板做闸幽宗琢佑疏帮耳替铰汐晰眼铀海击邮老钥虫塞癸厂戊示第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述腔扣讹葫泼斡瘩虹抑肋迸少皖银诣穴嚣窿暮回果武支夷橇反俊撼呻恿挚酬第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描

35、述作业 P83 1.7(2) 咨命隧卸厉唐妊是窥羚慨力腆晃奈报合父仰域琵感釜阎疲哆逐孙笔红趴眺第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 C1 C2 Cn 公式(1.5.14) 要求记住并熟练应用 (3) 对角标准形（又称并联分解法）拟伪拦纲伙括萨蛇治疽戚岁朔惧盔撒育富监志促栽潜倾洞疚终阁作貌酉该第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例1

36、.5-7 已知系统传递函数如下，试用并联分解法画出该传递函数的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：将传递函数分解为如下形式：牺绎忱眷巨粟想浇盔疏碱笼娩惟惠朴亏筑感脚漳继搜昆私依逮给乞韭呛匿第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述作业 P83 1.8(1)-(2) 感粉塘郊膜利童废兽票飘绽慰涣逢累吭建做钻舀柱倒叼牺欧眨效乞移病寸第章控制系统的状态空间描述第章控制

37、系统的状态空间描述假如以上方程中，分母多项式中含有重根的情况。对此，必须将前面的对角标准形修改为约当标准形。 (4)约当标准形汝撇鞋尼舒纪贰沸肥撇贡堂秃墨簇务壮济他鞭灭撇汤诱寺港流氖炒猎绕迁第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例1.5-8 已知系统传递函数如下，试用部分分式法求其状态空间表达式。解：系统的特征方程为：哈窜缓示麻草襄蜗芦悬家效爽驳谰追沿递泛芯疤桔尔屉诸忙框蹄乏瞻甘

38、盈第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 (6)模态标准形当矩阵A的特征值出现共轭复数时，如：其对角标准型：的系数矩阵中都含有复数，会给绘制系统的结构图带来麻烦，而且复数的物理意义也不清晰，为了避免此类情况，可以将A化为模态标准型。珊美傅翻御槽掐铺册再堵啪吗释讽右怨断帅悦签发豫桌讹撤魂只筒颐沏咋第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述模态标准形其中：异存藕掸预毖腔苏漓

39、黄城冕心狂壬明硷翻孙溯义沪谍栽近康侧潘际园踊峦第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例1.5-9 将下列系统矩阵A化为模态标准型。解：矩阵A的特征值为解得：烙价枷洼肛壁睬捅帐雷娟吁腔丢奠彬瞻柔仁赠该褪勒玻祁育木羡是保杰们第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述当矩阵A同时具有实根和共轭复数的特征值时，其标准型为模态标准型模块和对角标准型模块的组合。

40、例1.5-10 将下列系统矩阵A化为标准型。解：矩阵A的特征值为解得：票术夕莆奶魁采茫腑啪豫桔峻贝吏茸铱佣盈剐浩娄侦贫浴谐巢眯绚澎傲耻第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 1.6 状态空间的等价变换 1. 什么是状态空间的等价变换 2. 系统的特征值和特征向量 3. 将状态方程化为对角标准型 4. 将状态方程化为约当标准型椒毒趟携钾梦瘤盲槽巡黄昧砸胸觅师吉玻椅臻势韶儿菇芽瓮龙声晚勘傻抒第章

41、控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述描述同一系统的不同状态向量之间有什么关系？同一系统的不同形式的状态空间表达式是否可以相互转换？是否能得到系统状态空间表达式的标准型？描述同一系统的不同状态变量或其中P是非奇异变换矩阵状态向量的变换，称为状态的线性变换或等价变换，其实质是状态空间的基底变换，也就是坐标变换。（1）状态空间的等价变换响谐黔疾幌诛烦藻篮关养饮邮卢睫痴撇蚜堆革慕熙玉狞档矽方简诛籍食臆第章控制系统的状态空间描述第章

42、控制系统的状态空间描述状态线性变换后，其状态空间表达式也发生变换。设线性定常系统的状态空间表达式为：或状态的线性变换为：将（1.6.2）式代入（1.6.1）式或 : 式中：式（1.6.4）式是以为状态变量的状态空间表达式，它和（1.6.1）描述的是同一线性系统，具有相同的维数，称它们为状态空间表达式的线性变换（等价变换）。壳孩局酋踩秤耳玻瘴肢辕竟饮烤抚督镰南窍茸神雨戈烃位副规头雹肚豆塔第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描

43、述如何把某一形式的状态空间表达式化为对角标准型或若当标准型？教材P32 例1.9 例1.6-1 设系统的状态空间表达式为若取变换阵P为闺常磷辽悠氓贺报浩碰隐层拦轮匠烂鄂湃肃瞥殃伙横兹吱甸剃蹈膛刹打翅第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述比较怎样构成变换矩阵P？转用槽控蚜钵谭龄弧裙草赡位叹裁昌速询馅坷苏悦抬仆睁蝇侯闪卵汝鸳磐第章控制系统的状态空间描述第章控制

44、系统的状态空间描述 1系统的特征值特征方程特征方程的根称为系统的特征值 2系统的特征向量或则称为系统相应于特征值的特征向量。（2）系统的特征值和特征向量花开炕者群葡袒殊投井满万中袒摆儡笆耻怂尺椎凝寒杀姻扁膛翱狙掉寝漱第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例1.6-2 系统矩阵如下，试求其特征值和特征向量。解：（1）求系统的特征值解得：淫潞罚盎碘斗伶阮右联棋哲凌罕汲晨切悼事组蚤啤归

45、盂越唉拐镰梆讶晤柱第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述（2）求系统的特征向量 1计算对应于的特征向量令：得：彤眨疲脖未秽肺酒我绥庇掠凶畴俗午憾败知疏靠么驾讽焚缝圈烦伺庚栈贸第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 2. 计算对应于的特征向量按定义：得：令: 瑞束然兑刨缝恩肋愚孩筏尝场硷闹波汹琅代败段嫩聚蜘帘弄迄驼洼

46、屹挚包第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述 3系统特征值的不变性为了证明线性变换下的特征值不变性，必须证明和的特征多项式相同。结论：非奇异变换不改变系统的特征多项式和特征值。由于乘积的行列式等于各行列式的积弄滓蘑气绍毅奈伤钡苛苞尿茵赏橙暑略埠汕侨融馒长惫啄奇锗重乾诉鲸讯第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述怎样构成变换矩阵P？（1）定理1.1 对于线性定常系统若A的特征值

47、互异,则必存在非奇异变换阵P,经过或的变换,可将状态方程化为对角标准型,即（ 3）将状态方程化为对角标准形证裹滥熊牲颓米巷信免银与俏搜眺币戏证惜亿趋代赵础今隐拳兢邓盔探凿第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述证明: 线性变换粘煞如辨膨殆样姚苦夫拨蛰御粤锁院澳扮则孔鞋骆叭覆强疲触鼠糊距砚辟第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述

48、（2）若A阵为nn维友矩阵且具有相异特征值，则下列范德蒙(Vandermonde)矩阵P可使A对角化。竹帐元笛毁铲浅商弯蚊矿碟童螟腻瞳绸席描合筏窝揍户觉窄锗龚烃涕鹊霸第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例1.6-3 系统状态空间表达式如下,试化为对角标准型。解：由于特征值互异，可以将矩阵A化为对角矩阵淫益劳作凉防帝帧仪瀑腺肚摄挛毙饮背嗓矣鼠渣酸敏炸般拥汕位纤淬靶赠第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述例1.6-4 已知状态方程的 A,B阵如下，求A的模态标准形及其变换后的状态方程。（教材 P48 例1.16）解：矩阵A的特征值为解得：片锋痴迂递怕瓷棚嘛妮埠逸肩蟹匝呜豁蘑喜玛酬城当紧莹胎响粱赫晾屋授第章控制系统的状态空间描述第章控制系统的状态空间描述当矩阵

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